إدارة التباين ورأس المال لدعامات اللاعب

فهم التباين في الرهان الدعائي

حتى مع القيمة المتوقعة الإيجابية، تتقلب النتائج قصيرة المدى بسبب التباين. نسبة فوز 60% (وهي نسبة ممتازة في المراهنات الرياضية) تعني أنك ستخسر 4 من كل 10 رهانات. يساعد فهم التباين رياضيًا على وضع توقعات واقعية.

الانحراف المعياري للنتائج الثنائية

عادةً ما تكون نتائج اللاعب ثنائية: إما الفوز أو الخسارة. بالنسبة لرهان واحد باحتمالية فوز p، يكون الانحراف المعياري للنتائج:

يقيس هذا مدى عدم اليقين في نتيجة رهان واحد. لرهان احتمالية 60%:

الانحراف المعياري هو 0.49، وهو في الواقع مرتفع للغاية نسبيًا مقارنة بالقيمة المتوقعة وهي 0.20 (إذا كنت تراهن، على سبيل المثال، بفرص +100 مع معدل فوز 60٪).

الانحراف المعياري على الرهانات المتعددة

إذا قمت بإجراء n رهانات مستقلة بنفس الخصائص، فإن الانحراف المعياري للنتائج الإجمالية هو:

ملاحظة مهمة: يزداد الانحراف المعياري مع الجذر التربيعي لعدد الرهانات. إذا راهنتَ بـ 100 رهان بدلاً من رهان واحد، يزداد انحرافك المعياري بمقدار √100 = 10 مرات، لكن القيمة المتوقعة تزداد 100 مرة. لهذا السبب، يرغب المقامرون ذوو الميزة في وضع أكبر عدد ممكن من رهانات القيمة المتوقعة الموجبة - فالقيمة المتوقعة تنمو أسرع من عدم اليقين.

معامل التباين

المقياس المفيد هو معامل التباين (CV)، الذي يقيس عدم اليقين النسبي:

حيث μ هي القيمة المتوقعة.أكثر من n رهانات:

يتناقص معامل التباين مع √n، مما يعني أن عدم اليقين النسبي يتقلص مع زيادة الرهانات. هذا هو الأساس الرياضي لقانون الأعداد الكبيرة: مع تكرارات كافية، تتقارب النتائج الفعلية مع القيمة المتوقعة.

معيار كيلي: حجم الرهان الأمثل

يقدم معيار كيلي، الذي طوره جون كيلي في عام 1956، صيغة رياضية لتحديد حجم الرهان الأمثل الذي يعمل على تعظيم نمو رأس المال على المدى الطويل مع التحكم في مخاطر الخراب.

الصيغة

بالنسبة للرهان مع احتمال الفوز p والاحتمالات b (الربح لكل دولار يتم المراهنة عليه في حالة الفوز)، فإن الكسر الأمثل من رأس مالك للمراهنة هو:

أين:

• f* = الكسر الأمثل لرأس المال للمراهنة
• ب = الاحتمالات العشرية - 1 (الربح لكل دولار في حالة الفوز)
• p = الاحتمال الحقيقي للفوز
• q = 1 - p (احتمال الخسارة)

الاشتقاق (المبسط)

استنتج كيلي ذلك بتعظيم لوغاريتم الثروة المتوقع. إذا راهنت على الكسر (f) من رأس المال (ب):

• إذا فزت (الاحتمال p): رأس المال الجديد = B(1 + fb)
• إذا خسرت (الاحتمال q): رأس المال الجديد = B(1 - f)

ثروة السجل المتوقعة:

لتحقيق أقصى قدر من التعظيم، خذ المشتقة بالنسبة إلى f واضبطها على الصفر:

حل f يعطي:

تعمل هذه الصيغة على تعظيم معدل النمو الهندسي لرأس مالك بمرور الوقت.

كيلي الجزئي: النهج المحافظ

يُعظّم رهان كيلي الكامل النمو على المدى الطويل، ولكنه قد يُؤدي إلى تقلبات كبيرة في رأس المال. يستخدم معظم المراهنين الجادّين كيلي الجزئي لتقليل التباين على حساب تباطؤ النمو.

الكسور الشائعة

• كيلي الكامل (1.0x): أقصى نمو، تباين مرتفع
• نصف كيلي (0.5x): 75% من معدل النمو، 50% من التباين
• ربع كيلي (0.25x): 50% من معدل النمو، 25% من التباين

صيغة كيلي الكسرية:

لماذا تستخدم Fractional Kelly؟

1. خطأ التقدير: إذا كان تقديرك الاحتمالي خاطئًا، فقد يكون كيلي الكامل أكثر عدوانية. كيلي الجزئي يوفر هامش أمان.
2. تقلبات منخفضة: يقلل نصف كيلي بشكل كبير من تقلبات رأس المال مع الحفاظ على معظم النمو.
3. الراحة النفسية: من الأسهل الالتزام بأحجام الرهان الأصغر أثناء فترات الخسارة.
4. الرهانات المتعددة المتزامنة: إذا كنت تراهن على عدة دعائم في نفس الوقت، فإن كيلي الكسري يأخذ في الاعتبار مخاطر المحفظة.

مثال: نصف كيلي مقابل كيلي الكامل

من مثالنا السابق عند -110 مع احتمال فوز بنسبة 55%:

على رصيد بنكي بقيمة 1000 دولار:

• كيلي الكامل: 55 دولارًا لكل رهان
• نصف كيلي: 27.50 دولارًا لكل رهان
• ربع كيلي: 13.75 دولارًا لكل رهان

يستخدم معظم المراهنون المحترفين ما بين ربع كيلي ونصف كيلي لهذه الأسباب بالتحديد.

خطر الخراب: فهم كيفية بقاء رأس المال

خطر الخسارة هو احتمال انخفاض رصيدك إلى الصفر (أو إلى حد أدنى) قبل أن يتعافى. حتى مع القيمة المتوقعة الإيجابية، يبقى خطر الخسارة قائمًا إذا راهنت بحماس شديد.

الصيغة المبسطة

بالنسبة للرهانات المتكررة بقيمة متوقعة إيجابية، يكون تقريب خطر الخراب هو:

أين:

• EV = القيمة المتوقعة لكل رهان (بالدولار)
• ن = حجم رأس المال (بالدولار)
• σ² = التباين لكل رهان

صيغة خراب المقامر (منفصلة)

للحصول على حساب أكثر دقة مع أحجام الرهان الثابتة، إذا بدأت برأس المال الأولي B وحجم الرهان b:

هذا هو التقريب القياسي لخسائر المقامر بقيمة متوقعة موجبة (p > q). يُقدّر هذا التقريب احتمال خسارة كامل رصيدك قبل أن تتحقق ميزتك.

مثال عملي

يفترض:

• رأس المال: 1000 دولار
• حجم الرهان: 50 دولارًا (5% من رأس المال)
• احتمال الفوز: 55%
• الاحتمالات: -110 (ربح 45.45 دولارًا، خسارة 50 دولارًا)

عدد الرهانات الخاسرة التي قد تؤدي إلى الإفلاس: 1000 دولار / 50 دولارًا = 20

هناك احتمال بنسبة 2% تقريبًا للإفلاس قبل ظهور ميزتك، حتى مع رهان بحجم كيلي بنسبة 5% وقيمة متوقعة إيجابية.

كيف يقلل كيلي من خطر الخراب

تكمن روعة مراهنة كيلي في أنها تُكيّف حجم الرهان تلقائيًا مع رصيدك. كلما زاد رصيدك، زاد حجم رهانك. وكلما تقلص، قلّ حجم رهانك. هذا التعديل الديناميكي يعني أنك لن تُرهق نفسك أبدًا.

مع مراهنات كيلي الحقيقية (مع تعديل حجم الرهان باستمرار)، يقترب خطر الخسارة من الصفر بمرور الوقت (مع أنه لا يصل إلى الصفر تمامًا في وقت محدود). ولهذا السبب، يُعتبر كيلي مثاليًا رياضيًا: فهو يُعظّم النمو مع القضاء على خطر الخسارة للمراهنين على المدى الطويل.

تأثيرات المحفظة: المراهنة على الدعائم المتعددة

عمليًا، لن تراهن على رهان واحد فقط في كل مرة، بل سيكون لديك عدة رهانات نشطة في آنٍ واحد. هذا يُحدث تأثيرات على محفظة الاستثمار، مما يؤثر على حجم الرهان الأمثل.

الدعائم المستقلة من ألعاب مختلفة

إذا راهنت على رهانات من مباريات مختلفة (فرق مختلفة، رياضات مختلفة)، فإن هذه الرهانات تكون مستقلة تقريبًا. تشير نظرية المحفظة إلى أن تباين المحفظة هو:

بالنسبة لـ n رهانات متطابقة:

هذا يعني أنه إذا كنتَ تراهن بأربع رهانات متزامنة بحجم كيلي على رهانات مستقلة، فإن رصيدك سيواجه ضعف الانحراف المعياري لرهان واحد. للحفاظ على مستوى المخاطرة نفسه، يجب عليك تقليل كل رهان إلى نصف كيلي.

القاعدة العامة للرهانات المستقلة

إذا كنت تخطط لإدراج n رهانات مستقلة متزامنة نشطة في المتوسط:

أمثلة:

• رهان واحد في كل مرة → 1.0x كيلي
• 4 رهانات في وقت واحد → 0.5x كيلي (نصف كيلي)
• 9 رهانات في وقت واحد → 0.33x كيلي (ثلث كيلي)
• 16 رهانًا في المرة الواحدة → 0.25x كيلي (ربع كيلي)

الدعائم المرتبطة من نفس اللعبة

ترتبط الرهانات في اللعبة نفسها، كما ناقشنا في المادة 4. إذا راهنت على عدة رهانات في اللعبة نفسها، فأنت تُخاطر أكثر، لأنها من المرجح أن تفوز أو تخسر معًا.

بالنسبة للرهانات المترابطة، قلّل حجم الرهان أكثر. إرشادات تقريبية:

• ارتباط منخفض (ρ < 0.2): تعامل على أنها مستقلة
• الارتباط المعتدل (ρ = 0.2-0.5): تقليل حجم الرهان بنسبة 25-50%
• ارتباط مرتفع (ρ > 0.5): قلل حجم الرهان بنسبة 50% أو تجنب الرهانات المتعددة من نفس اللعبة

إن الرياضيات الدقيقة لرهانات كيلي المترابطة معقدة وخارج نطاق هذه المقالة، ولكن المبدأ واضح: الارتباط يزيد من المخاطر، مما يتطلب رهانات أصغر.

الأخطاء الشائعة في إدارة رأس المال

1. المراهنة كثيرًا بعد الفوز

"لقد حصلت للتو على ثلاثة فائزين على التوالي، اسمحوا لي أن أزيد حجم رهاني!"

المشكلة: هذا يُخالف مبادئ كيلي. يجب زيادة حجم رهانك فقط مع نمو رصيدك، وليس لمجرد تحقيق سلسلة انتصارات متتالية. قد يكون الفوز بثلاثة انتصارات نتيجة حظ، وليس دليلاً على مهارتك.

2. المراهنة بأقل من اللازم بعد الخسائر

"لقد خسرت خمسة على التوالي، يجب أن أراهن بمبلغ صغير حتى أتعافى."

المشكلة: إذا كانت ميزتك حقيقية، فإن سلسلة الخسائر هي الوقت المناسب للحفاظ على رهان كيلي المناسب. إن تقليل حجم الرهان إلى أقل من كيلي بسبب سلسلة خسائر يكلفك النمو المتوقع. (مع ذلك، فإن تقليل حجم الرهان إلى كيلي جزئيًا للراحة النفسية أمر مقبول).

3. استخدام الأموال الخائفة

"سأراهن بمبلغ 10 دولارات لكل دعامة لأنني متوتر بشأن رصيدي المالي."

المشكلة: إذا كنت تخشى المراهنة بمبالغ مناسبة، فإما أن رصيدك صغير جدًا أو أنك لا تتمتع بأفضلية حقيقية. إما أن تزيد رصيدك أو لا تراهن.

4. تجاهل تأثيرات المحفظة

"سأراهن بنسبة 5% على كيلي في 10 دعامات مختلفة في وقت واحد."

المشكلة: أنت في الواقع تتحمل مخاطرة √١٠ ≈ ٣.١٦ ضعف ما تتوقعه. مجموع رهاناتك يشبه رهانًا بنسبة ١٥.٨٪ على رهان واحد - وهو رهان مبالغ فيه.

5. عدم إعادة الحساب أبدًا

"بدأت بـ 1000 دولار وراهنت دائمًا بـ 50 دولارًا لكل دعامة."

المشكلة: إذا انخفض رصيدك إلى ٥٠٠ دولار، فإن المراهنة بـ ٥٠ دولارًا (١٠٪ من رصيدك الحالي) تهور. إذا ارتفع إلى ٢٠٠٠ دولار، فإن المراهنة بـ ٥٠ دولارًا (٢.٥٪) تحفظ شديد. حدِّث أحجام الرهانات مع تغير رصيدك.

6. المبالغة في تقدير الحافة

"أنا بالتأكيد سأفوز بهذا الرهان بنسبة 60%، لذلك سأراهن بمبلغ كبير."

المشكلة: كما نوقش في المادة ٢، تنطوي تقديرات الاحتمالات على عدم يقين. فالتأكد من نسبة ٦٠٪ بينما هي ٥٣٪ في الواقع يؤدي إلى رهانات مفرطة. استخدم تقديرات متحفظة ونسبة كيلي الكسرية.