WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #15

أعجبني موقعك كثيرًا. إنه غني بالمعلومات. شكرًا لك على إبداء رأيك. لاحظتُ استراتيجية مراهنة على لعبة الكرابس مقترحة في موقع Crappers Delight تُسمى "الانحدار الكلاسيكي". يقترح فيها وضع رهانين 6 و8 بعد تحديد نقطة، ثم سحبهما بعد ظهور إحداهما. قال إن هناك 10 طرق مُجمعة للحصول على 6 و8، ولكن 6 طرق مُجمعة فقط للحصول على 7. يبدو الأمر منطقيًا، لكنني رأيتُ في بعض الحالات أنك تُثبت أن ما يبدو منطقيًا ظاهريًا ليس بهذه الروعة بعد تحليله. ما رأيك في هذه الاستراتيجية، وما هي احتمالات الربح الحقيقية إذا سحبتَ رهاناتك بعد ظهور نقطة واحدة؟

Michael

هذا مشابه لسؤال تلقيته الأسبوع الماضي . نعم، صحيح أن هناك عشر طرق للحصول على 6 أو 8، وست طرق للحصول على 7. ومع ذلك، يجب ألا ننظر إلى الاحتمالات وحدها، بل يجب وزنها مقابل العائدات. يدفع رهان المكان على 6 و8 احتمالات من 7 إلى 6 بينما تدفع الاحتمالات العادلة من 6 إلى 5. من خلال وضع رهانات مكان بست وحدات على 6 و8، وأخذ الأخرى إذا فاز أحدهما، فإن احتمال الفوز بـ 7 وحدات هو 62.5٪ واحتمال خسارة 12 وحدة هو 37.5٪. إذا كان يجب على اللاعب تغطية كل من 6 و8، فإن رهان المكان هو الطريق الصحيح. معدل العائد هذا ليس سيئًا ولكنه يمكن أن يكون أفضل. بالنسبة للاعب الذي يضع أولوية لتقليل الحافة الإجمالية للكازينو، فإن أفضل استراتيجية هي عمل مجموعات من رهانات المرور وعدم المرور والمجيء وعدم المجيء، وأخذ الحد الأقصى المسموح به من الاحتمالات دائمًا.

كيف يُمكنني تحديد احتمالات الفوز في لعبة سلبية كالبلاك جاك، دون احتساب، مع خسارة ٠.٥٪ بعد حوالي ٤٥٠٠٠ يد؟ هل هذا مُمكن أصلًا؟

Kevin

هذا سؤال شائع قد يُصادف في دروس الإحصاء التمهيدية. ولأن مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية يقترب دائمًا من منحنى الجرس، يمكننا استخدام نظرية الحد المركزي للوصول إلى الإجابة.

من خلال قسمي حول هامش الكازينو، نجد أن الانحراف المعياري في البلاك جاك هو 1.17. لن تفهم هذا إن لم تدرس الإحصاءات، لكن احتمال الخسارة في مثالنا سيكون إحصائية Z 45000 × 0.005 / (45000 ½ × 1.17) = ~ 0.91.

يجب أن يحتوي أي كتاب إحصائي أساسي على جدول توزيعي معياري يُعطي إحصاء Z بقيمة ٠٫٨١٨٦. لذا، فإن احتمالية التقدم في مثالكم تبلغ حوالي ١٨٪.

كنتُ متشوقًا - وأنا متأكد من أنني لا أستطيع الحصول على أفضل من احتمالات الكازينو - لكنني أردتُ اختبار نهج مراهنة متواضع - سيناريو "التوقف عن اللعب وأنتَ متقدم". لنفترض أنني بدأتُ برهانٍ متساوٍ بقيمة 1000 دولار. ما هي النسبة المئوية للوقت الذي سأغادر فيه برصيد 1200 دولار، بدلًا من المغادرة بصفر دولار، بافتراض أنني سأضطر إلى المغادرة بمجرد الفوز بأحدهما. هل أراهن بنسبة 20% بدلًا من أن أخسر 100% في لعبة الباكارات؟

Brian من Denver, Colorado

هناك معلومتان رئيسيتان أغفلتهما: مبلغ رهانك وفي أي لعبة. سأفترض أنك تراهن بدولار واحد في كل مرة على رهان اللاعب في الباكارات . احتمال فوز اللاعب، في حال عدم التعادل، هو 49.3212%.

ليكن a i هو احتمال وصول اللاعب إلى 1200 دولار قبل أن يخسر كل شيء إذا كان لديه $i. ليكن p هو احتمال الفوز في أي رهان = 49.3212%.

أ 0 = 0

أ 1 = ص*أ 2
أ 2 = ص*أ 3 + (1-ص)*أ 1
أ 3 = ص*أ 4 + (1-ص)*أ 2

.

أ 1197 = ص*أ 1198 + (1-ص)*أ 1196
أ 1198 = ص*أ 1199 + (1-ص)*أ 1197
أ 1199 = ص*أ 1200 + (1-ص)*أ 1198
أ 1200 = 1

قسّم الجانب الأيسر إلى قسمين:

ص*أ 1 + (1-ص)*أ 1 = ص*أ 2
ص*أ 2 + (1-ص)*أ 2 = ص*أ 3 + (1-ص)*أ 1
ص*أ 3 + (1-ص)*أ 3 = ص*أ 4 + (1-ص)*أ 2
.
.
.
ص*أ 1197 + (1-ص)*أ 1197 = ص*أ 1198 + (1-ص)*أ 1196
ص*أ 1198 + (1-ص)*أ 1198 = ص*أ 1199 + (1-ص)*أ 1197
ص*أ 1199 + (1-ص)*أ 1199 = ص*أ 1200 + (1-ص)*أ 1198

إعادة الترتيب مع حدود (1-p) على الجانب الأيسر وحدود p على اليمين:

(1-ص)*(أ 1 ) = ص*(أ 2 - أ 1 )
(1-ص)*(أ 2 - أ 1 ) = ص*(أ 3 - أ 2 )
(1-ص)*(أ 3 - أ 2 ) = ص*(أ 4 - أ 3 )
.
.
.
(1-ص)*(أ 1197 - أ 1196 ) = ص*(أ 1198 - أ 1197 )
(1-ص)*(أ 1198 - أ 1197 ) = ص*(أ 1199 - أ 1198 )

بعد ذلك، اضرب كلا الطرفين في 1/ص:

(1-ص)/ص*(أ 1 ) = (أ 2 - أ 1 )
(1-ص)/ص*(أ 2 - أ 1 ) = (أ 3 - أ 2 )
(1-ص)/ص*(أ 3 - أ 2 ) = (أ 4 - أ 3 )
.
.
.
(1-ص)/ص*(أ 1197 - أ 1196 ) = (أ 1198 - أ 1197 )
(1-ص)/ص*(أ 1198 - أ 1197 ) = (أ 1199 - أ 1198 )

مجموع التلسكوب القادم:

(أ 2 - أ 1 ) = (1-ص)/ص*(أ 1 )
(أ 3 - أ 2 ) = ((1-ص)/ص) 2 *(أ 1 )
(أ 4 - أ 3 ) = ((1-ص)/ص) 3 *(أ 1 )
.
.
.
(أ 1199 - أ 1198 ) = ((1-ص)/ص) 1198 *(أ 1 )
(أ 1200 - أ 1199 ) = ((1-ص)/ص) 1199 *(أ 1 )

أضف المعادلات أعلاه الآن:

(أ 1200 - أ 1 ) = أ 1 * (((1-ص)/ص) + ((1-ص)/ص) 2 + ((1-ص)/ص) 3 + ... + ((1-ص)/ص) 1199 )

1 = أ 1 * (1 + ((1-ص)/ص) + ((1-ص)/ص) 2 + ((1-ص)/ص) 3 + ... + ((1-ص)/ص) 1199 )

أ 1 = 1 / (1 + ((1-ص)/ص) + ((1-ص)/ص) 2 + ((1-ص)/ص) 3 + ... + ((1-ص)/ص) 1199 )

أ 1 = ((1-ص)/ص - 1) / (((1-ص)/ص) 1200 - 1)

الآن بعد أن عرفنا 1 يمكننا إيجاد 1000 :

(أ 2 - أ 1 ) = (1-ص)/ص*(أ 1 )
(أ 3 - أ 2 ) = ((1-ص)/ص) 2 *(أ 1 )
(أ 4 - أ 3 ) = ((1-ص)/ص) 3 *(أ 1 )
.
.
.
(أ 999 - أ 18 ) = ((1-ص)/ص) 9998 *(أ 1 )
(أ 1000 - أ 19 ) = ((1-ص)/ص) 9999 *(أ 1 )

أضف المعادلات أعلاه معًا:

(أ 1000 - أ 1 ) = أ 1 * (((1-ص)/ص) + ((1-ص)/ص) 2 + ((1-ص)/ص) 3 + ... + ((1-ص)/ص) 999 )
أ 1000 = أ 1 * (((1-ص)/ص) 1000 - 1)) / ((1-ص)/ص - 1))
أ 1000 = [ ((1-ص)/ص - 1) / (((1-ص)/ص) 1200 - 1) ] * [ (((1-ص)/ص) 1000 - 1) / ((1-ص)/ص - 1) ]
أ 1000 = (((1-ص)/ص) 1000 - 1) / (((1-ص)/ص) 1200 - 1) =~ 0.004378132.

مع مرور الوقت، من المرجح أن تلحق احتمالات الفوز بلاعب في أي لعبة حظ، وسيستمر رصيدك المالي في الانخفاض تدريجيًا. مع ذلك، إذا راهنت بمبالغ أكبر، فستكون احتمالاتك أفضل بكثير. فيما يلي احتمالات الفوز بنسبة 20% قبل الخسارة بنسبة 100% عند وحدات مختلفة من حجم الرهان.

5 دولارات: 0.336507
10 دولارات: 0.564184
25 دولارًا: 0.731927
50 دولارًا: 0.785049
100: 0.809914

لمعرفة المزيد عن الرياضيات الخاصة بهذا النوع من المشاكل، يرجى زيارة موقعي MathProblems.info ، المشكلة 116.

لماذا تُبنى استراتيجيات البلاك جاك الأساسية على نظرية ظاهرية مفادها أن لدى الموزع ورقة "10" في الحفرة؟ بينما أعتقد في الواقع أن احتمالات وجود ورقة "10" في أي مكان هي 9-4. هل أغفل شيئًا؟ موقعك الإلكتروني شيق جدًا. شكرًا جزيلًا.

Eddie من New Orleans, Louisiana

افتراض أن لدى الموزع ١٠ في الحفرة هو مجرد آلية ذاكرة، ولا علاقة له بالطريقة التي بُنيت بها الاستراتيجية الأساسية. لا أستطيع أن أتحمل عندما أسمع لاعبًا يقول لآخر: "أنت دائمًا تفترض أن لدى الموزع ١٠ في الحفرة". لو كان هذا صحيحًا، لكان على اللاعب أن يحصل على ١٩ مقابل ١٠، وهذا بالتأكيد لعب غير منطقي.