اسأل المعالج، العمود 158، الملحق

في دوري كرة السلة الأمريكي للمحترفين (NBA)، هناك ثلاثة أقسام لكل مؤتمر، ويتأهل ثمانية فرق من كل مؤتمر إلى التصفيات. أصحاب التصنيفات الثلاثة الأولى في كل مؤتمر هم أبطال الأقسام، بينما أصحاب التصنيفات من الرابع إلى الثامن هم أبطال الأقسام غير التابعة لهم والذين يحققون أفضل سجل. هذا العام، يمتلك فريقان من نفس القسم في المؤتمر الغربي، وهما سان أنطونيو سبيرز ومافريكس، أفضل سجل في الغرب. إذا استمر هذا الوضع، فهذا يعني أن ثاني أفضل فريق في المؤتمر الغربي سيحتل المركز الرابع، وسيواجه أفضل فريق في الجولة الثانية في حال فوزهما معًا. يشير الكثيرون إلى هذا على أنه مشكلة في النظام، بينما يعتبره الدوري الأمريكي للمحترفين (NBA) شذوذًا. في محاولة لتوضيح أن هذا ليس استثناءً، إذ قد يحدث بشكل متكرر، أدلى محلل من ESPN مؤخرًا بالبيان التالي في مدونة: "هناك 15 فريقًا في كل مؤتمر، وخمسة فرق في كل قسم من الأقسام الثلاثة. هذا يعني أن هناك احتمالًا بنسبة 4 من 14 أن يكون الفريق صاحب ثاني أفضل سجل من نفس القسم الذي ينتمي إليه الفريق صاحب أفضل سجل." هل هو محق في أن احتمال حدوث ذلك في مؤتمر معين هو 4 من 14؟ كيف يمكنك استنتاج ذلك؟ إذا كان محقًا، فسيحدث ذلك في مؤتمر واحد على الأقل بنسبة 57%، أليس كذلك؟ — AJ من هنتنغتون وودز، ميشيغان

نعم، هو مُحق. هناك 105 طرق لاختيار أفضل فريقين من أصل 15. هناك 3 طرق لاختيار أفضل فريقين من القسم الذي حُفظت فيه الأوراق. لذا، فإن احتمال أن يكون أفضل فريقين من نفس القسم هو 30/105 = 4/14. واحتمال حدوث ذلك في مؤتمر واحد على الأقل هو 1-(10/14) ² = 48.98%.

كتب لي أحد القراء منتقدًا افتراضاتي. إليكم رسالته الإلكترونية كاملةً .

مرحباً أيها الساحر،

أنا من أشد المعجبين بموقعكم، فهو غني بالمعلومات المفيدة. أثناء تصفحي لبعض صفحات "اسأل الساحر" القديمة، وجدتُ سؤالاً أعتقد أنه مُبسّطٌ للغاية. هناك ما هو أكثر من مجرد المعلومات المستخدمة في حل المسألة. أعتقد أن إجابتكم أعلى بقليل من الإجابة الصحيحة.

السؤال موجود في "اسأل الساحر" رقم ١٥٨، ويتعلق بتصنيف فرق دوري كرة السلة الأمريكي للمحترفين. الادعاء هو أن الفريقين الأولين في أي مؤتمر سيكونان من نفس القسم ٤ مرات خلال ١٤ جولة. يبدو أن إجابتك تفترض أن لكل فريق فرصة متساوية لإنهاء الموسم في أي مركز محدد في الترتيب النهائي للمؤتمر. قد يكون هذا صحيحًا، ويمكن اعتباره افتراضًا مقبولًا لحل المشكلة، إلا أنك تفترض أن لكل فريق من تلك القائمة فرصة متساوية للتواجد في أي من الأقسام الثلاثة. لا أعتقد أن هذا هو الحال تمامًا، وأعتقد أن السبب هو طريقة تحديد التصنيف. أي، تُلعب المباريات وتُحتسب النقاط، وترتيب كل فريق ليس مستقلًا عن ترتيب الفريق الآخر، ولا يعتمد أيضًا على القسم الذي ينتمي إليه.

لستُ بارعًا في شرح الأمور غالبًا، لكنني سأحاول شرح السبب هنا. أعتقد أن هناك تأثيرًا على الترتيب النهائي يأتي من حقيقة أن الفرق تلعب جدولًا غير متوازن قليلاً. سيلعب كل فريق 16 مباراة ضد فرق في قسمه - 4 مباريات ضد كل فريق. لكن كل فريق سيلعب 36 مباراة فقط ضد الفرق الأخرى في مجموعته - 4 مباريات ضد 6 فرق و3 مباريات فقط ضد 4 فرق. هذا له تأثير أن الفرق تتنافس ضد فرق في قسمها على النقاط أكثر من أخذها من أقسام أخرى. ونتيجة لذلك، فإن الفريق الذي ينهي الموسم في المركز الأول في المجموعة غالبًا ما يكون قد وصل إلى هناك عن طريق أخذ المزيد من النقاط من مجموعته أكثر من الفائزين الآخرين بالقسمين. هذا يعني أن الفريق صاحب المركز الثاني في مجموعته الفائزة بالمجموع واجه صعوبة أكبر في تجميع النقاط، ومن غير المرجح أن ينتهي به الأمر إلى الحصول على ثاني أكبر عدد من النقاط في المجموعة نتيجة لذلك.

أدرك أن هذا التناقض سيكون ضئيلاً، وليس لدي أي فكرة عما يمكن قياسه به، ولكنني أعتقد أنه من الممكن كتابة محاكاة حاسوبية (تتجاوز قدراتي بكثير) لمعرفة التأثير الذي قد يحدثه هذا.

ولتوضيح الأمر أكثر، يعتمد دوري الهوكي الوطني (NHL) جدولًا أكثر اختلالًا. يلعب كل فريق 82 مباراة كما في دوري كرة السلة الأمريكي للمحترفين (NBA). لكن كل فريق يلعب 32 مباراة في قسمه الخاص - 8 مباريات ضد كل فريق من الفرق الأربعة الأخرى. ثم يلعب 40 مباراة ضد فرق من مؤتمرات مختلفة - 4 مباريات ضد كل فريق من الفرق العشرة الأخرى في المؤتمر.لذلك، هنا، قد يأخذ الفريق الأول في قسم معين عددًا أكبر بكثير من النقاط من الفريق صاحب المركز الثاني في ذلك القسم، مما يجعل من الصعب على الفريق صاحب المركز الثاني في القسم إنهاء الموسم بأكبر عدد من النقاط في المؤتمر بشكل عام.

أخيرًا، ولتوضيح الأمر بشكل أكبر، لنفترض أن هناك بطولة تضم أربعة فرق فقط - قسمين يضم كل منهما فريقين. باستخدام المنطق الذي استخدمته للإجابة على سؤال NBA الأصلي، فإن احتمال أن يكون أفضل فريقين من نفس القسم هو 1 من 3.

إذا استخدمنا جدولًا متوازنًا، فلنفترض أن كل فريق يلعب ضد الآخر مرة واحدة. إذا وزّعنا المواجهات في الترتيب بشكل صحيح، فإن محاكاة حاسوبية تُظهر أن الفريقين الأولين سيأتون من نفس القسم بنسبة 33.33%، كما هو متوقع.

ومع ذلك، إذا التزمنا بجدول غير متوازن، فسيؤدي ذلك إلى تغيير الأمور. لنفترض أن كل فريق يلعب مع الفريق الآخر في قسمه مرتين، لكنه يلعب مع كل فريق في القسم الآخر مرة واحدة فقط. ولنفترض أن المباراتين ضد خصمك من نفس القسم تحدثان أولاً. لذا، بعد أن يلعب كل فريق مباراتين، يجب أن يكون من الواضح أن الفريق صاحب المركز الثاني في أي من القسمين سيكون متعادلاً أو خلف الفريق صاحب المركز الأول في القسم المقابل. لذا، سيكون من الصعب جدًا تعويض تلك الانتصارات في المباراتين الأخيرتين لتجاوز الفرق التي يحتاج إليها حتى يتمكن من الصعود إلى المركز الثاني بشكل عام في المؤتمر. تُظهر لي محاكاة حاسوبية سريعة لهذه الظروف باستخدام هذا الجدول أن أفضل فريقين سيأتيان من نفس القسم بنسبة 27.07٪ فقط من الوقت. انخفاض بنحو 6.26٪.

هذا ينطبق فقط على مؤتمر يضم أربعة فرق على جدول مباريات من أربع مباريات، حيث تكون نسبة المباريات داخل القسم إلى المباريات بين الأقسام ٢:١. وإذا توسعنا في هذا ليشمل مؤتمرًا يضم ١٥ فريقًا على جدول مباريات من ٨٢ مباراة، حيث تكون نسبة المباريات داخل القسم إلى المباريات بين الأقسام أقرب بكثير إلى ٤:٣.٦، فكما ذكرتُ سابقًا، أتوقع أن يكون الانحراف عن رقم ٤/١٤ الذي توصلت إليه ضئيلًا للغاية. أعتقد أنه سيكون أقل بكثير من ١٪ بهامش كبير جدًا. ولكنه سيظل موجودًا، لذا لا يمكن أن تكون الإجابة ٤/١٤ بالضرورة.

على أية حال، أردت فقط الإشارة إلى ذلك، وأشكرك أيضًا على تزويدي بمشكلة ممتعة للتفكير فيها وتوسيع ذهني.

يعتبر،
جوناثان برادفورد