اسأل الساحر #258

أعتقد بالفعل أن هذا عاملٌ يجب مراعاته، وإن كان ثانويًا، عند اتخاذ قرار شراء تذكرة يانصيب. للإجابة على سؤالك، استخدمتُ قيمة الجائزة الكبرى وأرقام المبيعات الموجودة على موقع lottoreport.com . اطلعتُ على بيانات Powerball حتى يناير ٢٠٠٨، لأن هذه هي آخر بيانات متوفرة على الموقع. اطلعتُ أيضًا على بيانات Mega Millions حتى يونيو ٢٠٠٥، وهي الفترة التي طرأ فيها تغيير على القواعد. يلخص الجدول التالي نتائجي.

لذا، فإن متوسط احتمالية تقسيم الجائزة الكبرى في باوربول هو 0.74%، بينما في ميجا مليونز 1.29%. مع ارتفاع قيمة الجائزة الكبرى وزيادة المبيعات، يزداد احتمال تقسيمها. ويعود ارتفاع احتمالية تقسيم الجائزة الكبرى في ميجا مليونز إلى ارتفاع احتمالية الفوز وازدياد المنافسة من اللاعبين الآخرين.

بالنظر إلى جميع العوامل، أُظهر خسارة 4.01% من العائدات نتيجةً لمشاركة الجائزة الكبرى في باوربول، وخسارة 6.59% في ميجا مليونز. مع ذلك، لا تشمل هذه الأرقام الضرائب، أو أن الجوائز الكبرى تُدفع على شكل معاش سنوي. لتعديل ذلك، افترضتُ أن اللاعب يحصل على نصفها فقط، إما باختيار خيار المبلغ الإجمالي أو خسارة القيمة الناتجة عن اختيار المعاش السنوي. كما افترضتُ أن 30% من الباقي يُفقد في الضرائب، لذا يمكن للفائز أن يتوقع الحصول على 35% بعد كلا العاملين. بعد هذا التعديل، أُظهر خسارة 1.20% من العائدات نتيجةً لمشاركة الجائزة الكبرى في باوربول، و1.98% في ميجا مليونز.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

بناءً على محاكاة 7.7 مليار يد، وبافتراض أن اللاعب اتبع طريقة الكازينو، فإن احتمال التعادل في اليد الأولى (الأقل) هو 2.55%، أي 1 من 39.24. واحتمال التعادل في اليد الثانية (الأعلى) هو 0.038%، أي 1 من 2637. واحتمال التعادل المزدوج هو حوالي 1 من 78200.

أولاً، "قاعدة 72" هي تقدير تقريبي للمدة اللازمة لمضاعفة أموالك، وليست إجابة دقيقة. يوضح الجدول التالي قيم "قاعدة 72" وعدد السنوات بدقة، لمعدلات فائدة سنوية مختلفة.

لماذا ٧٢؟ ليس بالضرورة أن يكون ٧٢ بالضبط. هذا هو الرقم المناسب لمعدلات الفائدة الواقعية التي من المرجح أن تراها على أي استثمار. وهو يُطابق تقريبًا معدل فائدة ٧٫٨٤٦٩٪. لا يوجد شيء مميز في ٧٢، كما هو الحال مع π أو e. لماذا يُجدي أي رقم نفعًا؟ إذا كان معدل الفائدة هو i، فلنحسب عدد السنوات (y) اللازمة لمضاعفة الاستثمار.

2 = (1+i) ^y
ln(2)= ln(1+i) ^y
ln(2)= y×ln(1+i)
y = ln(2)/ln(1+i)

قد لا تكون هذه أفضل إجابة لي على الإطلاق، ولكن حاول اتباع هذا المنطق: دع y = ln (x).
dy/dx=1/x.
1/x =~ x عند قيم x قريبة من 1.
وبالتالي فإن dy/dx =~ 1 لقيم x القريبة من 1.
وبالتالي فإن ميل ln(x) سيكون قريبًا من 1 لقيم x القريبة من 1.
وبالتالي فإن ميل ln(1+x) سيكون قريبًا من 1 لقيم x القريبة من 0.
تقول "قاعدة 72" أن .72/i =~ .6931/ln(1+i).
لقد أثبتنا أن i وln(1+i) متشابهتان لقيم i القريبة من 0.
لذا فإن 1/i و1/ln(1+i) متشابهان لقيم i القريبة من 0.
يؤدي استخدام 72 بدلاً من 69.31 إلى تعديل الاختلافات بين i وln(1+i) لقيم i حوالي 8%.

آمل أن يكون هذا منطقيًا. حساباتي صدئة نوعًا ما؛ استغرق شرح هذا لنفسي ساعات.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

يبدو هذا مفارقة رياضية، ولكنه في الحقيقة مجرد إساءة استخدام لمعادلة القيمة المتوقعة. كما ذكرتَ في السؤال، يبدو أن الظرف الآخر يجب أن يحتوي على قيمة أكبر بنسبة 25% من الظرف الذي اخترته. مع ذلك، إذا اخترتَ ذلك، فمن الأفضل اختيار الظرف الآخر من البداية. علاوة على ذلك، يمكنك استخدام هذه الحجة للتبديل بين الظرفين باستمرار إذا لم تتمكن من فتحهما قبل اتخاذ قرار التبديل. من الواضح أن هناك خللًا ما في حجة القيمة المتوقعة. السؤال هو: أين يكمن الخلل؟

لقد قضيتُ وقتًا طويلًا في قراءة هذه المسألة ومناقشتها على مر السنين. سمعتُ وقرأتُ العديد من الشروحات حول خطأ حجة ص = ٠٫٥س + ٠٫٥ × ٢س = ١٫٢٥س. استخدم الكثيرون صفحاتٍ طويلةً من الرياضيات المتقدمة في الشرح، وهو ما لا أعتقد أنه ضروري. إنه سؤال بسيط يتطلب إجابةً بسيطة. لذا، هذه هي محاولتي.

يجب أن تكون حذرًا جدًا فيما تفعله مع حقيقة أن أحد الظرفين يحتوي على ضعف المبلغ الموجود في الآخر. لنسمِّ المبلغ في الظرف الأصغر S، والأكبر L. إذن لدينا:

ل=2×س
S=0.5×L

لاحظ كيف يُطبّق العاملان 2 و0.5 على مظروفين مختلفين . لا يمكنك استخدام كلا العاملين وتطبيقهما على نفس المبلغ. إذا كان المظروف الأول يحتوي على 100 دولار، فإذا كان المظروف الأصغر، فسيكون المظروف الآخر 200 دولار. إذا كان المظروف الأكبر يحتوي على 100 دولار، فسيكون المظروف الآخر 50 دولارًا. وبالتالي، سيكون المظروف الآخر 50 دولارًا أو 200 دولار. ومع ذلك، لا يمكنك الجزم بأن هناك احتمالًا 50/50 لكل منهما. هذا لأن ذلك يعني تطبيق العاملين 0.5 و2 على نفس المبلغ، وهو أمر غير ممكن. بدون معرفة توزيع الجوائز في البداية، لا يمكنك تحديد مبالغ محتملة للمظروف الثاني.

إذا كانت معادلة 0.5x/2x خاطئة، فما هي الطريقة الصحيحة لحساب القيمة المتوقعة للظرف الآخر؟ سأقول إن الفرق بين الظرفين هو LS = 2S-S = S. بالتبديل، ستربح أو تخسر S، أيًا كان. إذا كان الظرفان يحتويان على 50 دولارًا و100 دولارًا، فإن التبديل سيربح أو يخسر 50 دولارًا. إذا كان الظرفان يحتويان على 100 دولار و200 دولار، فإن التبديل سيربح أو يخسر 100 دولار. في كلتا الحالتين، الربح المتوقع بالتبديل هو 0. أعتقد أنه يمكنني القول إنه إذا كان الظرف الأول يحتوي على 100 دولار، فهناك احتمال بنسبة 50% أن يكون الفرق في الظرف الآخر 50 دولارًا، واحتمال بنسبة 50% أن يكون 100 دولار. لذا، فإن الفرق المتوقع هو 75 دولارًا. وبالتالي، فإن القيمة المتوقعة للظرف الآخر هي 0.5×(100 دولار + 75 دولار) + 0.5×(100 دولار - 75 دولار) = 0.5×(175 دولار + 25 دولار) = 100 دولار.

آمل أن يكون هذا مفهومًا. هذه المشكلة دائمًا ما تثير الكثير من التعليقات. إذا كانت لديكم أي تعليقات، فلا تراسلوني مباشرةً، بل انشروها في منتدى Wizard of Vegas. الرابط أدناه.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

الروابط

• ويكيبيديا
• ديفيد تشالمرز
• www.cut-the-knot.org
• physorg.com