اسأل الساحر #268

تهانينا! آمل أن تستخدموا قوائم أسماء الأطفال الشائعة التابعة للضمان الاجتماعي، والتي بدأتُها بنفسي، لتجنب الأسماء الأكثر شيوعًا.

لم أُرِد إحراج الكازينوهات التي في أسفل قائمتي، لأن منهجيتي لم تكن علمية تمامًا. مع ذلك، أعتقد أنني أستطيع الإشادة بالثلاثة الأوائل. ها هم:

• خليج ماندالاي
• بلانيت هوليوود
• باريس

وهذا هو كازينو فينيسيا في البندقية، الذي تم إنشاؤه في عام 1638.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

كانت إجابتي الأولية هي مكافآت "القصر الذهبي" الشهرية بنسبة ٢٠٪، بحد أقصى ٢٠٠٠ دولار أمريكي، في عامي ١٩٩٩ و٢٠٠٠. لم تكن هناك ألعاب مقيدة، وكان شرط اللعب يقتصر على مبلغ المكافأة فقط. لكن هذا توقف فجأة ، للأسف.

مع ذلك، بعد نقاش في منتداي، أعتقد أن الجائزة يجب أن تُمنح لعرض روليت الصفر الواحد من كازينو أون نت، حيث دفعوا ٧٠ إلى ١ للرهانات على ٠ و٧. وهذا يُعطي أفضلية للاعب بنسبة ٩٢٪! قيل لي إن الكازينو خسر ٤ ملايين دولار في هذا العرض الذي استمر ساعتين، لكنه دفع للجميع.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

الوجوه المركزية الستة للمكعب ثابتة. بتدوير الوجوه، كل ما يمكنك فعله هو إعادة ترتيب الزوايا والحواف. إذا فككتَ المكعب، فسيكون هناك 8 طرق لترتيب الزوايا الثمانية، بغض النظر عن اتجاه كل قطعة. وبالمثل، هناك 12 طريقة لترتيب الحواف الاثني عشر، بغض النظر عن اتجاهها.

هناك ثلاث طرق لتوجيه كل زاوية، بإجمالي ٣ ^⁸ = ٦٥٦١ اتجاهًا للزوايا. وبالمثل، هناك طريقتان لتوجيه كل حافة، بإجمالي ٢ ^⁸ = ٤٠٩٦ اتجاهًا للحافة.

لذا، إذا فككنا المكعب وأعدنا ترتيب مجموعات الحواف والزوايا، فسيكون لدينا 8! × 12! × 3 ⁸ × 2 ¹² = 519,024,039,293,878,000,000 تبديل ممكن. مع ذلك، لا يمكن الوصول إلى جميع هذه التبديلات من نقطة البداية بتدوير الوجوه.

أولًا، من المستحيل تدوير زاوية واحدة فقط وترك باقي القطع كما هي. لا يمكن لأي مجموعة من الدورات تحقيق ذلك. باختصار، لكل فعل رد فعل. إذا أردت تدوير زاوية واحدة، فسيؤدي ذلك إلى اضطراب القطع الأخرى بطريقة ما. وبالمثل، من المستحيل قلب قطعة حافة واحدة فقط. لهذه الأسباب، يجب قسمة عدد التباديل على 3 × 2 = 6.

ثانيًا، من المستحيل تبديل قطعتين من الحافة دون إزعاج باقي المكعب. هذا هو الجزء الأصعب في هذه الإجابة للشرح. كل ما يمكنك فعله بمكعب روبيك هو تدوير وجه واحد في كل مرة. كل حركة تدور أربع قطع من الحافة وأربع قطع من الزوايا ليصبح المجموع ثماني قطع متحركة. يمكن تمثيل سلسلة الدورات بعدد من حركات القطع القابلة للقسمة على 8. غالبًا ما تؤدي سلسلة الحركات إلى إلغاء حركتين لبعضهما البعض. ومع ذلك، سيكون هناك دائمًا عدد زوجي من القطع المتحركة مع أي سلسلة من الدورات. إن تبديل قطعتين من الحافة سيكون حركة واحدة، وهو عدد فردي، لا يمكن تحقيقه بمجموع أي مجموعة من الأرقام الزوجية. سيطلق علماء الرياضيات على هذه مشكلة التكافؤ. لذلك يتعين علينا القسمة على 2 أخرى لأنه لا يمكن تبديل قطعتين من الحافة دون إزعاج القطع الأخرى.

إذن، هناك ١٢ مجموعة محتملة من تبديلات مكعب روبيك. إذا فككتَ مكعب روبيك وأعدتَ تركيبه عشوائيًا، فإن احتمال حله هو ١ من ١٢. لذا، فإن العدد الإجمالي للتبديلات في مكعب روبيك هو ٨! × ١٢! × ٣ ^١٢ × ٢ ^١٢ ÷ ١٢ = ٤٣,٢٥٢,٠٠٣,٢٧٤,٤٨٩,٩٠٠,٠٠٠. إذا كان لديك سبعة مليارات قرد، أي ما يعادل تقريبًا عدد سكان العالم، يلعبون عشوائيًا بمكعب روبيك، بمعدل دورة واحدة في الثانية، فسيمر المكعب عبر الموضع الذي تم حله مرة واحدة كل ١٩٦ عامًا في المتوسط.

الروابط

• نظرية المجموعات عبر مكعب روبيك بقلم توم ديفيس (PDF)
• مدخل مكعب روبيك على ويكيبيديا

أسوأ يد هي ١-٢ المرعبة. تتكون من ٦ عالي، ٦ منخفض، ٤ منخفض، وأي ٧. احتمالية هذه اليد هي ٢×٢×٢×٤/ كومبين (٣٢،٤) = ٣٢/٣٥٩٦٠ = ٠.٠٩٪، أو ١ من ١١٢٤.



من المثير للاهتمام، إذا لعب اللاعب بـ 0-3، فستكون أعلى يد هي 3-3، وهي عادةً أدنى يد منخفضة يحاول الكازينو تحقيقها. لا أعلم إن كان هذا مصادفة أم لا.

أُفضّل الرهانات الإبداعية كهذه. يُمكن إيجادها في كازينوهات بويد، بالإضافة إلى كازينوهات بالمز، وإل كورتيز، وساوث بوينت. للإجابة على هذا السؤال، اطلعتُ على مجموعة أخرى من الرهانات على اللاعب المُحدّد الذي سيُسجّل أول هبوط. هذه الاحتمالات مُوضّحة في العمود الثاني من الجدول أدناه. لتبسيط الأمور، سأتجاهل احتمالية تسجيل هبوط عند 5-1، وعدم تسجيل هبوط عند 100-1. ثم حوّلتُ تلك المكاسب إلى "الاحتمال العادل" في العمود الثالث، أي احتمال الفوز المطلوب ليكون الرهان عادلاً تماماً. هذه الاحتمالات مُضخّمة، نتيجةً لانخفاض قيمة كل فوز، ولذلك يكون المجموع 166%. يُظهر "الاحتمال المُعدّل" في العمود الرابع الاحتمالات العادلة مقسومةً على 1.660842، بحيث يكون الاحتمال الإجمالي 100%. يُظهر العمود الخامس عدد نقاط سكرابل في اسم كل لاعب. أما "نقاط سكرابل المتوقعة" في العمود السادس فهي حاصل ضرب الاحتمال في نقاط سكرابل. تُظهر الخلية السفلية اليمنى أن متوسط نقاط سكرابل هو 14.18521.

بالنظر إلى المتوسط، يبدو أن الرهان على "أوفر" هو الرهان الصحيح. مع كل لاعب على حدة، فإن احتمالية الحصول على ١١ نقطة سكرابل أو أكثر هي ٠٫٦٤١٨٩٤، وهو ما يُعادل خطًا جيدًا -١٧٩. هذا يجعل الرهان على "أوفر" عند -١١٥ رهانًا ممتازًا. عند وضع ١١٥، يتمتع اللاعب بميزة ٢٠٪ على الرهان على "أوفر".

لسوء الحظ، بحلول الوقت الذي ذهبت فيه للمراهنة كان الخط قد تحرك إلى -180.

لسوء الحظ، عندما عدت إلى الكازينو للمراهنة، كان الخط قد تحرك إلى -180.

PS: قبل ساعات من المباراة، راهنتُ على -١٧٠. للأسف، خسرتُ الرهان. كان جوردي نيلسون أول لاعب يُسجّل هبوطًا. نيلسون لديه ٩ نقاط في لعبة سكرابل.