اسأل الساحر #273

هذا أمرٌ غير معتاد. ربما لا يعلم الكازينو المذكور ما يفعله. لفائدة القراء الآخرين، دعوني أُراجع ما هي رقاقة اللعب المتطابق. هذه هي الرقائق التي تُطابقها بأموال حقيقية عند وضع رهان. إذا فزت، تحصل على كليهما، ويُعاد لك رهانك الحقيقي. إذا خسرت، تخسر كليهما. لا يحدث شيء في حالة الدفع.

لذا، لا يجوز استخدام رقاقة اللعب إلا مرة واحدة في الرهان المُحسم. إذا سمح الكازينو باستخدامها في أي رهان، فالاستراتيجية الأنسب هي وضعها في رهان احتمالات ضعيفة. ذلك لأن تكلفة عدم استعادة اللعب بعد الفوز أقل بكثير في رهان احتمالات ضعيفة مقارنةً برهان بقيمة متساوية.

يوضح الجدول التالي رهانات مختلفة في ثلاث ألعاب مختلفة، وعدد الوحدات المتوقعة للفوز. لأغراض هذا الجدول، يُفترض أنه في حال التعادل، سيُكرر اللاعب نفس الرهان حتى يُحسم. كما هو موضح، أعلى قيمة متوقعة هي 87% من القيمة الاسمية لرهان رقم واحد في الروليت.

APR هو اختصار لـ "معدل النسبة السنوية". الغرض منه هو معادلة معدل الفائدة مع النقاط المحتملة، مع احتسابه شهريًا كمعدل عائد سنوي مئوي (APY)، وهو معدل فائدة بدون نقاط، ويُحسب سنويًا.

لمن لا يعلم، عند الحصول على قرض عقاري، غالبًا ما يفرض البنك رسوم تمويل بناءً على قيمة القرض. لكل نقطة، يجب على المقترض دفع 1% من قيمة القرض للبنك كرسوم إضافية. أحيانًا تُضاف هذه الرسوم إلى أصل القرض.

معدل الفائدة السنوي (APR) افتراضي. إذا تفاوض المقترض مع المُقرض على زيادة معدل الفائدة، مقابل عدم احتساب أي نقاط، وفائدة مركبة سنوية، فإن معدل الفائدة السنوي سيؤدي إلى نفس المبلغ تمامًا. لنأخذ مثالًا.

لنفترض أن المقترض يريد قرضًا بقيمة 250,000 دولار أمريكي. يفرض البنك فائدة بنسبة 5.625%، تُحسب شهريًا، بنقطتين، بناءً على قرض عقاري مدته 30 عامًا. ما هو معدل الفائدة السنوي؟ تبلغ رسوم التمويل 2% من 250,000 دولار أمريكي، أي ما يعادل 5,000 دولار أمريكي. يطلب المقترض من البنك إضافة هذه النسبة إلى أصل القرض، للحصول على قرض بقيمة 255,000 دولار أمريكي. لن أخوض في حساب القسط الشهري، لذا افترض أن المبلغ يساوي 1,467.92 دولارًا أمريكيًا.

بافتراض عدم وجود نقاط، وتراكم الفائدة سنويًا، ما هو معدل الفائدة الذي يعادل نفس القسط الشهري البالغ 1,467.92 دولارًا أمريكيًا على قرض بقيمة 250,000 دولار أمريكي؟ بالتجربة والخطأ، وجدتُ أن معدل الفائدة 5.9635% بدون نقاط، وتراكم الفائدة سنويًا، ينتج عنه نفس القسط الشهري البالغ 1,467.92 دولارًا أمريكيًا. لذا، يمكن صياغة ذلك كالتالي: "قرض ثابت لمدة 30 عامًا بفائدة 5.625% مع نقطتين، يبلغ معدل الفائدة السنوي 5.9635%."

ليس لديّ ما يدعوني للشك في وجود مليون دولار في هذه القضية. عرضهم الأقدم، والأفضل بكثير، كان يضمّ بوضوح مليون دولار على شكل 100 ورقة نقدية من فئة 10,000 دولار. لمن لا يعرفها، تُعدّ أوراق الـ 10,000 دولار نادرة للغاية، وتُباع بعشرة أضعاف هذا المبلغ تقريبًا في المزاد. سبب آخر يجعلني لا أشكّ في وجود مليون دولار في الموقع هو ضرورة امتلاك كل كازينو في نيفادا سيولة نقدية كافية لإدارة أعماله، وأعتقد أن مجلس مراقبة ألعاب القمار في نيفادا يسمح لبينيون بحساب الأموال المعروضة كحل أخير. ومن المفارقات أن عدم وجود سيولة نقدية كافية كان سبب إغلاق بينيون عام 2004 ( المصدر ).

بالعودة إلى سؤالك، يتطلب الأمر 10,000 ورقة نقدية من فئة 100 دولار لتكوين مليون دولار. بما أن طول الورقة النقدية 6 بوصات وارتفاعها 2.625 بوصة، وارتفاع كومة من 100 ورقة نقدية حوالي نصف بوصة، فإن مليون دولار سيشغل 787.5 بوصة مكعبة فقط. أي ما يعادل 46% فقط من القدم المكعبة. يمكنك بسهولة وضع مليون دولار في حقيبة أوراق من فئة 100 دولار. لذا، من الواضح أن هناك بعض الأوراق النقدية من فئة أخرى غير فئة 100 دولار في هذه الحالة.

أدى نقاش حول هذا الموضوع في منتداي إلى مقالة تتناول تفاصيل العملة المتكررة ، نُشرت في صحيفة لاس فيغاس ريفيو جورنال بتاريخ 22 أغسطس/آب 2008. يذكر المقال أن العرض يحتوي على 42,000 ورقة نقدية من فئة دولار واحد، و34,400 ورقة نقدية من فئة 20 دولارًا، و2,700 ورقة نقدية من فئة 100 دولار.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

قبل أن أجيب على هذا السؤال، دعوني أستعرض جينات الأمراض المتنحية، كما هو الحال في التليف الكيسي. يمتلك البشر نسختين من كل جين، واحدة من الأم وأخرى من الأب. عند حدوث تزاوج، يرث الطفل نسخة من الأب ونسخة من الأم عشوائيًا، مما ينتج عنه جينان خاصان به.

في حالة التليف الكيسي، يتطلب الأمر جينين إيجابيين ليكون الشخص إيجابيًا. في حالة وجود جين إيجابي وآخر سلبي، يسود الجين السلبي. في هذه الحالة، يكون الشخص حاملًا للجين، أي سلبيًا للتليف الكيسي، ولكن لديه احتمال 50% لنقل جين التليف الكيسي الإيجابي. يؤدي وجود جينين سلبيين إلى خلو الشخص تمامًا من التليف الكيسي.

بما أن كلا الوالدين حاملين للمرض، فإليك احتمال كل نتيجة ممكنة لأطفالهما:

موجب: 0.5×0.5= 0.25
الناقل: 0.5×0.5 + 0.5×0.5 = 0.5
سلبي: 0.5×0.5 = 0.25

في حالة وجود ناقل واحد ووالد سلبي واحد، فإليك احتمال كل نتيجة ممكنة لنسلهما:

إيجابي: 0
الناقل: 0.5×1 = 0.5
سلبي: 0.5×1 = 0.5

في حالة وجود والدين سلبيين، فإن النسل سيكون سلبيًا بنسبة 100%.

دعونا نحدد احتمال الحالات الثلاث الممكنة على النحو التالي:

ص = موجب
ج = الناقل
ن = سلبي

بالنظر إلى الوالدين العشوائيين، فلنحل كل واحد منهما بعد جيل واحد.

p = pr(والدان حاملان للجين)×pr(إيجابي مع وجود والدين حاملين للجين) +
pr(أحد الوالدين الحاملين للجين)×pr(إيجابي مع وجود أحد الوالدين الحاملين للجين) +
pr(الوالدان الحاملان للجين صفر)×pr(إيجابي مع وجود والدين حاملين للجين) =
ج ² × 0.25 + 2×ج×(1-ج)×0 + (1-ج) ² ×0 = ج ² /4.

c = pr(والدان حاملان للجينات)×pr(الناقل الذي لديه والدان حاملان للجينات) +
pr(أحد الوالدين الحاملين للجينات)×pr(الحامل الذي لديه أحد الوالدين الحاملين للجينات) +
pr(الوالدان الحاملان للجينات صفر)×pr(الناقل الذي لديه والدان حاملان للجينات) =
ج ² × 0.5 + 2×ج×(1-ج)×0.5 + (1-ج) ² ×0 = سم مكعب ² /2.

n = pr(والدان حاملان للجينات)×pr(سلبي مع وجود والدين حاملين للجينات) +
pr(أحد الوالدين الحاملين للجينات)×pr(سلبي مع وجود أحد الوالدين الحاملين للجينات) +
pr(الوالدان الحاملان للجينات صفر)×pr(سلبي مع وجود والدين حاملين للجينات) =
ج ² × 0.25 + 2×ج×(1-ج)×0.5 + (1-ج) ² ×1 = ج ² /4 - ج + 1

لذا فإن احتمال أن يكون حاملاً، إذا لم يكن موجبًا، هو:

(ج - ج ² / 2) / (1 - ج ² / 4) =
(4ج - 2×ج ² )/(4 - ج ² ) =
[2ج×(2-ج)] / [(2-ج)×(2+ج)] =
2ج/(2+ج)

لقد علمنا أن معدل الناقل الآن هو 4%، لذا في جيل واحد سيكون 2×0.04/(2+0.04) = 3.92%.

الجدول التالي يطبق هذه الصيغة على 100 جيل.

نصف المعدل الحالي البالغ ٤٪ هو ٢٪. يتضح من الجدول أن ذلك سيتحقق خلال ٥٠ جيلًا. وبافتراض ٣٠ عامًا لكل جيل، سيستغرق ذلك ١٥٠٠ عام.