اسأل الساحر #277

أولاً، تجدر الإشارة إلى أن 16 مقابل 10 تُمثل يدًا فاصلة بين الفوز والتوقف. إذا سُمح لك بالاستسلام، فهذا أفضل بكثير من الفوز أو التوقف للاعب ذي الاستراتيجية الأساسية. وإلا، فالفوز أفضل بقليل، في المتوسط. يكفي إزالة بطاقة صغيرة واحدة فقط من مجموعة أوراق اللعب المكونة من ثماني مجموعات لتغيير احتمالات الفوز لصالح التوقف، لأنه مع انخفاض بطاقة صغيرة واحدة، يتبقى المزيد من البطاقات الكبيرة، مما يجعل الفوز أكثر خطورة. لهذا السبب أقول إنه إذا كان مجموع أوراقك الـ 16 يتكون من ثلاث بطاقات أو أكثر، فعليك التوقف، لأن مجموعة الأوراق الـ 16 المكونة من ثلاث بطاقات عادةً ما تكون قد أزالت بطاقتين صغيرتين على الأقل من المجموعة.

ثانيًا، في اليد الأولى بعد خلط الأوراق، إذا اختلفت الاستراتيجية الأساسية واستراتيجية عدّ الأوراق في كيفية لعب اليد، تُعتد بالاستراتيجية الأساسية. وُضعت الاستراتيجية الأساسية بعناية لمراعاة التركيب الدقيق لمجموعة الأوراق بناءً على الأوراق المُلاحظة. يُعدّ جدول قيم المؤشرات أداةً أكثر دقةً تُطبّق في جميع أنحاء المجموعة.

في هذه الحالة تحديدًا، يُمكن لعدّاد البطاقات إما أن يُصيب أو يُوقف، وذلك حسب طريقة تقريبه للعدد الصحيح. إذا قرّب للأسفل، فسيكون العدد الصحيح -1، مما يُؤدي إلى إصابته. وإذا قرّب لأعلى، أو لأقرب عدد صحيح، فسيكون العدد الصحيح 0، مما يُؤدي إلى إصابته. طالما أنني أذكر هذا، ووفقًا لكتاب "هجوم البلاك جاك" لدون شليزنجر، فإن المنهجية المُفضّلة للتقريب هي "الأرضية"، أو التقريب للأسفل، في هذه الحالة إلى -1، مما يُؤدي إلى إصابته بشكل صحيح.

هناك موقف مشابه آخر وهو 15 مقابل 10. في 83% من الوقت (مع 10+5 أو 8+7، ولكن ليس 9+6)، يؤدي هذا إلى عد متواصل -1 في اليد الأولى بعد الخلط، ورقم المؤشر للاستسلام هو 0. التقريب للأسفل قد يتسبب في ضرب اللاعب بشكل غير صحيح، عندما يكون الاستسلام أفضل.

خلاصة القول هي أنه في أول قرار بعد خلط الأوراق، وفي حال عدم وجود أي أوراق أخرى معروفة لدى اللاعبين الآخرين، يجب على عدّاد الأوراق استخدام الاستراتيجية الأساسية. بعد ذلك، يُستأنف استخدام أرقام الفهرس.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

لا أعرف. ما أعتقد أنه يمكنني قوله بشكل صحيح هو أن أقدم براءة اختراع للعبة كازينو تُلعب اليوم هي لعبة "كاريبي ستاد بوكر". ربما كانت هناك براءات اختراع أخرى قبلها لألعاب لم تُسجل. قُدّمت براءة اختراع "كاريبي ستاد" في ١٨ أبريل ١٩٨٨ وصدرت في ٦ يونيو ١٩٨٩. رقم براءة الاختراع ٤٬٨٣٦٬٥٥٣ .

ليس أنك سألت، ولكن في ذلك الوقت، كانت براءات اختراع ألعاب الكازينو صالحة لمدة 17 عامًا من تاريخ الإصدار، أو 20 عامًا من تاريخ التقديم، أيهما أطول. في عام 1995، مُددت المدة إلى 20 عامًا من تاريخ التقديم. في حالة لعبة "كاريبيان ستاد"، كانت براءة الاختراع ستنتهي في عام 2008. مع ذلك، أعتقد أنها لا تزال تحمل علامات تجارية صالحة، مما يعني أنه كان بإمكان الكازينو تقديم اللعبة دون دفع رسوم ملكية، ولكن كان عليه التفكير في اسم آخر غير مسجل كعلامة تجارية.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

نعم! راهن على الجانب المكشوف في يد اللاعب. خلصت الورقة البحثية الأكاديمية "التحيز الديناميكي في رمي العملة" التي أعدها بيرسي دياكونيس وسوزان هولمز وريتشارد مونتغمري إلى أن العملة ستستقر على نفس الجانب الذي بدأت منه في 51% من الحالات.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

للحصول على إجابة شبه دقيقة لأسئلة متتالية كهذه، نحتاج إلى استخدام جبر المصفوفات. أجبتُ على سؤال مشابه، وإن كان أسهل، في مقالي بتاريخ 4 يونيو/حزيران 2010. إذا كان جبر المصفوفات لديك ضعيفًا، أنصحك بالاطلاع عليه أولًا.

الخطوة ١: حدد احتمال ظهور ما بين ٠ و٦ أوراق ملكية فأكثر في أول ٥٠٠٠ يد. لنفترض أن احتمال ظهور ورقة ملكية هو ١ من ٤٠٠٠٠. العدد المتوقع في ٥٠٠٠ يد هو ٥٠٠٠/٤٠٠٠٠ = ٠٫١٢٥. باستخدام تقدير بواسون، يكون احتمال ظهور عدد محدد من الأوراق الملكية هو e ^-٠٫١٢٥ × ٠٫١٢٥ ^r / r!. إليك هذه الاحتمالات:

الخطوة الثانية: لنفترض وجود سبع حالات للـ ٢٤,٩٩٥,٠٠٠ يد المتبقية. لكل يد، يمكن أن تحتوي الخمسة آلاف يد السابقة على ٠، ١، ٢، ٣، ٤، أو ٥ أوراق ملكية، أو قد يكون اللاعب قد حقق بالفعل ستة أوراق ملكية في ٥٠٠٠ يد، وفي هذه الحالة يكون قد حقق النجاح، ولا يمكن سلبه. مع كل يد جديدة، قد يحدث أحد ثلاثة أمور لحالة اللاعب:

1. انتقل للأسفل. يحدث هذا إذا كانت اليد التي لُعبت قبل ٥٠٠٠ لعبة ملكية، وهي الآن في طور التراجع، ولم تكن اليد الجديدة ملكية.
2. البقاء على نفس المستوى. يحدث هذا عادةً إذا كانت اليد التي لعبت قبل 5000 لعبة ليست ملكية، واليد الجديدة ليست ملكية أيضًا. يمكن أن يحدث أيضًا إذا كانت اليد التي لعبت قبل 5000 لعبة ملكية، ولكن اليد الجديدة أيضًا ملكية.
3. انتقل إلى مستوى أعلى. سيحدث هذا إذا لم تكن اليد التي لعبت قبل ٥٠٠٠ لعبة ملكية، واليد الجديدة ملكية.

الخطوة 3: قم بتطوير مصفوفة الانتقال لاحتمالات كل تغيير في الحالة للعبة إضافية يتم لعبها.

سيُطابق الصف الأول المستوى ٠ قبل لعب اليد الجديدة. احتمالات التقدم إلى المستوى ١ في اليد التالية هي ١ من ٤٠,٠٠٠. واحتمال البقاء عند المستوى ٠ هي ٣٩,٩٩٩/٤٠,٠٠٠.

سيُطابق الصف الثاني المستوى ١ قبل لعب اليد الجديدة. احتمالات التقدم إلى المستوى ٢ في اليد التالية هي حاصل ضرب احتمالات عدم خسارة ورقة ملكية في اليد التي انسحبت واكتساب ورقة ملكية في اليد الجديدة = (٤٩٩٩/٥٠٠٠) × (١/٤٠٠٠٠) = ٠.٠٠٠٢٥٠. احتمالات العودة إلى المستوى ٠ هي حاصل ضرب احتمالات فقدان ورقة ملكية وعدم الحصول عليها في اللعبة الحالية = (١/٥٠٠٠) × (٣٩٩٩٩/٤٠٠٠٠) = ٠.٠٠٠٢٠٠٠. احتمالات البقاء على نفس المستوى هي pr (عدم سقوط أي فرد ملكي) × pr (عدم سقوط أي فرد ملكي جديد) + pr (سقوط أي فرد ملكي) × pr (فرد ملكي جديد) = (4999/5000) × (39999/40000) + (1/5000) × (1/40000) = 0.9997750.

تعتمد احتمالات الصفوف من ٢ إلى ٦ على عدد أوراق الملكية الموجودة في آخر ٥٠٠٠ يد. كلما زاد عددها، زاد احتمال سقوطها عند لعب يد جديدة. ليكن r هو عدد أوراق الملكية في آخر ٥٠٠٠ يد، وp هو احتمال الحصول على ورقة ملكية جديدة.

Pr(ترقية المستوى) = Pr(عدم سقوط أي ملكي) × Pr(ملكي جديد) = (1-(r/5000))× p.

Pr(البقاء على نفس المستوى) = Pr(لا يوجد انخفاض ملكي) × Pr(لا يوجد انخفاض ملكي جديد) + Pr(انخفاض ملكي) × Pr(ملكي جديد) = (1-(r/5000))× (1-p) + (r/5000)×p.

Pr(خفض مستوى) = Pr(إزالة الملكية) × Pr(لا يوجد ملكي جديد) = (r/5000)× (1-p).

الصف السابع يُعادل بلوغ حالة النجاح بالحصول على ستة أوراق ملكية في 5000 يد. بمجرد تحقيق هذا الإنجاز، لا يُمكن سلبه أبدًا، لذا فإن احتمالية الحفاظ على هذه الحالة هي 100%.

ستتوافق صفوف مصفوفة الانتقال مع المستويات قبل اليد الجديدة، بدءًا من المستوى 0 في الصف العلوي. وستتوافق الأعمدة مع المستويات بعد اليد الجديدة، بدءًا من المستوى 0 في العمود الأيسر. وسيتوافق نص الأرقام في المصفوفة مع احتمالات الانتقال من كل حالة قديمة إلى كل حالة جديدة في لعبة واحدة. لنسمِّ هذا T1 =

إذا ضربنا مصفوفة الانتقال هذه في نفسها، نحصل على احتمالات كل تغيير في الحالة في لعبتين متتاليتين. لنسمِّ هذا T2، لمصفوفة الانتقال على مدار لعبتين:

بالمناسبة، لضرب مصفوفتين متساويتين في الحجم في إكسل، حدد أولًا المنطقة التي تريد إضافة المصفوفة الجديدة إليها. ثم استخدم الصيغة =MMULT(نطاق المصفوفة 1، نطاق المصفوفة 2). ثم اضغط على Ctrl+Shift+Enter.

إذا ضربنا T2 في نفسه، نحصل على احتمالات كل تغيير في الحالة في أربع مباريات متتالية، أو T4:

لذا استمر في تكرار عملية المضاعفة هذه 24 مرة حتى نصل إلى T-16,777,216:

إذا ضاعفنا العدد مرة أخرى، فسنتجاوز هدفنا وهو T-24,995,500. لذا، علينا الآن الضرب بعناية في مصفوفات انتقالية أصغر، والتي كنا قد حسبناها مسبقًا. يمكنك الوصول إلى أي عدد باستخدام قوى العدد 2 (متعة الحساب الثنائي!). في هذه الحالة، T-24,995,500 = T-16,777,216 × T-2، ^{22 × T-2، 21} × T-2 ^{، 20} × T-2، ¹⁹ × T-2، ¹⁸ × T-2، ¹⁶ × T-2، ¹⁴ × T-2، ¹³ × T-2 ^{، 10} × T-2، ⁷ × T-2، ⁵ × T-2 ^{، 4} × T- ² ، ³ =

بصراحة، حرصًا على البساطة وتوفير الوقت، لستَ بحاجةٍ لبذل جهدٍ كبيرٍ في عمليات الضرب الأربعة الأخيرة. فهي تُخصّص فقط لآخر 56 يدًا، واحتمالية تأثير هذه الأيادي الـ 56 في النتيجة النهائية ضئيلةٌ جدًا. أنا متأكدٌ من أن قرائي المُحبّين للكمال سيُنتقدونني بشدةٍ لو استطاعوا.

الخطوة ٤: اضرب الحالة الابتدائية بعد ٥٠٠٠ يد في T-٢٤,٩٩٥,٥٠٠. ليكن S-٠، من الخطوة ١، كما يلي:

لذا S-0 × T-24,995,500 =

الرقم في الخلية السفلية هو احتمالية الفوز بستة جوائز ملكية خلال 5000 جولة مرة واحدة على الأقل خلال الـ 25 مليون جولة. أي أن الاحتمال هو 1 من 7336.

شكرًا لـ CrystalMath لمساعدته في هذا السؤال.