اسأل الساحر #278

للنقاط من 4 إلى 6: ((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

للنقاط من 8 إلى 10: ((ص-7)/(19-ص))*(1/(1+o))

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

احتمالية حدوث سلامة واحدة على الأقل في كل مباراة هي 5.77%، استنادًا إلى الخبرة التاريخية.

العدد المتوقع من الأمانات لكل لعبة سيكون -ln(1-0.0577) = 0.0594.

العدد المتوقع لكل ربع سنة لكل فريق سيكون 0.0594/8 = 0.0074.

احتمال وجود اثنين من لاعبي الأمان بالضبط من نفس الفريق في ربع واحد سيكون e ^-0.0074 × 0.0074 ² /fact(2) = 1 في 36505.

يتألف موسم دوري كرة القدم الأمريكية من ٢٦٧ مباراة، و٢٦٧ × ٨ = ٢١٣٦ ربع نهائي. لذا، وفقًا لتقديري، سيحدث هذا في المتوسط مرة كل ٣٦٥٠٥/٢١٣٦ = ١٧.١ سنة.

يجب اعتبار هذا مجرد تخمين تقريبي. هناك عوامل في اللعبة لم آخذها في الاعتبار حرصًا على البساطة.

يعتمد اعتبارها لفة صحيحة على مكان تواجدك. تنص لائحة ألعاب نيوجيرسي رقم 19:47-1.9(أ) على ما يلي:

"تكون رمية النرد غير صالحة عندما يخرج أحد النردين أو كلاهما من على الطاولة أو عندما يستقر أحد النردين فوق الآخر." -- نيوجيرسي 19: 47-1.9 (أ)

ولاية بنسلفانيا لديها نفس اللائحة بالضبط، القسم 537.9 (أ) :

تصبح رمية النرد غير صالحة عندما يخرج أحد النردين أو كلاهما من على الطاولة أو عندما يستقر أحد النردين فوق الآخر. -- PA 537.9(a)

سألتُ موزع نرد من لاس فيغاس، فأجابني بأنه في هذه الحالة، تُعتبر رمية صحيحة، لو كانت رمية صحيحة. مع أنه لم يرَ ذلك يحدث قط، إلا أنه قال إنه لو حدث، لكان الموزعون ببساطة سيحركون النرد العلوي لمعرفة الرقم الذي استقر عليه النرد السفلي. مع ذلك، يُمكن تحديد نتيجة النرد السفلي دون لمس النرد العلوي أو النظر من خلاله. إليك كيفية القيام بذلك: أولًا، بالنظر إلى الجوانب الأربعة، يُمكنك تضييق الاحتمالات في الأعلى إلى اثنين. إليك كيفية تحديد الاحتمالات الثلاثة بناءً على ذلك.

• ١ أو ٦: ابحث عن الرقم ٣. إذا كانت النقطة العليا تُحدّ الرقم ٥، فالرقم ١ في الأعلى. أما إذا كانت تُحدّ الرقم ٢، فالرقم ٦ في الأعلى.
• ٢ أو ٥: ابحث عن الرقم ٣. إذا كانت النقطة العليا تُحدّ الرقم ٦، فالرقم ٢ في الأعلى. أما إذا كانت تُحدّ الرقم ١، فالرقم ٥ في الأعلى.
• ٣ أو ٤: ابحث عن الرقم ٢. إذا كانت النقطة العليا تُحدّ الرقم ٦، فالرقم ٣ في الأعلى. أما إذا كانت تُحدّ الرقم ١، فالرقم ٤ في الأعلى.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

طُرح هذا السؤال على موقع TwoPlusTwo.com، وأجاب عليه BruceZ بشكل صحيح. الحل التالي هو نفس طريقة BruceZ، الذي يستحق التقدير. الإجابة صعبة، لذا انتبه.

1. أولاً، خُذ في الاعتبار العدد المتوقع للرميات للحصول على مجموع اثنين. احتمال الحصول على اثنين هو ١/٣٦، لذا يتطلب الأمر ٣٦ رمية في المتوسط للحصول على أول اثنين.

2. بعد ذلك، لنفترض عدد الرميات المتوقعة للحصول على الرقمين اثنين وثلاثة. نعلم بالفعل أن الحصول على الرقم اثنين يتطلب 36 رمية في المتوسط. إذا حصلنا على الرقم ثلاثة أثناء انتظار الرقم اثنين، فلن نحتاج إلى رميات إضافية للحصول على الرقم ثلاثة. أما إذا لم يحدث ذلك، فسيتعين رمي النرد أكثر للحصول على الرقم ثلاثة.

   احتمال ظهور الرقم ثلاثة هو 1/18، لذا يتطلب الأمر 18 رمية إضافية في المتوسط للحصول على الرقم ثلاثة، إذا ظهر الرقمان أولاً. بما أن هناك طريقة واحدة لظهور الرقمين، وطريقتين لظهور الرقم ثلاثة، فإن احتمال ظهور الرقمين أولاً هو 1/(1+2) = 1/3.

   إذن، هناك احتمال بنسبة 1/3 أننا سنحتاج إلى 18 رمية إضافية للحصول على الرقم 3. وبالتالي، فإن عدد الرميات المتوقع للحصول على الرقمين 2 و3 هو 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. بعد ذلك، فكّر في عدد الرميات الإضافية التي ستحتاجها للحصول على أربعة أيضًا. بحلول الوقت الذي تحصل فيه على الرقمين اثنين وثلاثة، إذا لم تحصل على أربعة بعد، فسيتعين عليك رمي النرد ١٢ مرة أخرى، في المتوسط، للحصول على واحد. هذا لأن احتمال الحصول على أربعة هو ١/١٢.

   ما احتمال الحصول على أربعة قبل الحصول على اثنين وثلاثة؟ أولًا، لنراجع قاعدة شائعة للاحتمالات عندما لا يكون A وB متنافيين:

   العلاقات العامة (أ أو ب) = العلاقات العامة (أ) + العلاقات العامة (ب) - العلاقات العامة (أ و ب)

   تطرح pr(A وB) لأن هذا الاحتمال يُحسب مرتين في pr(A) + pr(B). إذًا،

   pr(4 قبل 2 أو 3) = pr(4 قبل 2) + pr(4 قبل 3) - pr(4 قبل 2 و3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0.85.

   احتمال عدم الحصول على الرقم أربعة في طريق الحصول على الرقمين اثنين وثلاثة هو 1.0 - 0.85 = 0.15. لذا، هناك احتمال بنسبة 15% للحاجة إلى 12 رمية إضافية. وبالتالي، فإن عدد الرميات المتوقع للحصول على الرقمين اثنين وثلاثة وأربعة هو 42 + 0.15 × 12 = 43.8.

4. بعد ذلك، فكّر في عدد الرميات الإضافية التي ستحتاجها للحصول على خمسة أيضًا. بحلول الوقت الذي تحصل فيه على الرقم من اثنين إلى أربعة، إذا لم تحصل على خمسة بعد، فسيتعين عليك رمي النرد 9 مرات أخرى، في المتوسط، للحصول على واحد، لأن احتمال الحصول على خمسة هو 4/36 = 1/9.

   ما احتمال الحصول على الخمسة قبل تحقيق الاثنين، أو الثلاثة، أو الأربعة؟ القاعدة العامة هي:

   pr (A أو B أو C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A و B) - pr(A و C) - pr(B و C) + pr(A و B و C)

   إذن، pr(5 قبل 2 أو 3 أو 4) = pr(5 قبل 2)+pr(5 قبل 3)+pr(5 قبل 4)-pr(5 قبل 2 و3)-pr(5 قبل 2 و4)-pr(5 قبل 3 و4)+pr(5 قبل 2 و3 و4) = (4/5)+(4/6)+(4/7)-(4/7)-(4/8)-(4/9)+(4/10) = 83/90. احتمال عدم الحصول على الرقم أربعة في الطريق إلى الرقمين اثنين وأربعة هو 1 - 83/90 = 7/90. لذا، هناك احتمال بنسبة 7.78% للحاجة إلى 7.2 رمية إضافية. وبالتالي، فإن العدد المتوقع للرميات للحصول على اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة هو 43.8 + (7/90)*9 = 44.5.

5. استمر بنفس المنطق، لمجموع من ستة إلى اثني عشر. عدد العمليات الحسابية المطلوبة لإيجاد احتمال الحصول على الرقم التالي قبل الحاجة إليه هو عدد العمليات الحسابية، إذ يتضاعف الرقم الأخير تقريبًا في كل مرة. عند الوصول إلى اثني عشر، سيكون عليك إجراء 1023 عملية حسابية.

   هذه هي القاعدة العامة لـ pr(A أو B أو C أو ... أو Z)

   pr(A أو B أو C أو ... أو Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr (A و B) - pr(A و C) - ... - pr(Y و Z) اطرح احتمال كل مجموعة من حدثين
   + pr (A و B و C) + pr(A و B و D) + ... + pr(X و Y و Z) أضف احتمال كل مجموعة من ثلاثة أحداث
   - pr (A و B و C و D) - pr(A و B و C و E) - ... - pr(W و X و Y و Z) اطرح احتمال كل مجموعة من أربعة أحداث

   ثم كرر العملية، وتذكر إضافة احتمالات الأحداث الفردية وطرح احتمالات الأحداث الزوجية. من الواضح أن هذا الأمر يصبح مملاً مع وجود عدد كبير من الأحداث المحتملة، مما يتطلب عملياً استخدام جدول بيانات أو برنامج حاسوبي.

يوضح الجدول التالي العدد المتوقع لكل خطوة. على سبيل المثال، ٣٦ للحصول على اثنين، و٤٢ للحصول على اثنين، وثلاثة. توضح الخلية اليمنى السفلية العدد المتوقع للرميات للحصول على جميع النتائج الإحدى عشرة، وهو ٦١٫٢١٧٣٨٥.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .