اسأل الساحر #293

نعم! في لعبة بوكر الجوكر ، مع وجود يد ضعيفة، يُفضّل عادةً الاحتفاظ بإحدى البطاقات الوسطى التي تُعطي أفضل فرصة لتشكيل ستريت أو فلش عند السحب. مع ذلك، أحيانًا، تكون أفضل بطاقة للاحتفاظ بها هي تلك التي تكون قريبة من الفوز، أو حتى التعادل.

على سبيل المثال، في جدول ربح 97.19% لبوكر الجوكر ثنائي الأزواج، وQh، و10d، و5d، و7c، و2c في السحب، فإن أفضل طريقة هي التعادل بين امتلاك 10d، و5d، و7c فقط، بقيمة متوقعة 0.240703 لجميع الأوراق الثلاثة. يمكن التحقق من ذلك باستخدام مُحلل يد فيديو بوكر الخاص بي.

وفيما يلي مسرحيات أخرى مماثلة لنفس جدول الدفع في لعبة البوكر الجوكر:

• QC 10S 5D 7H 2C
• QH 10D 5D 7H 2C
• KH 10D 5D 8C 3C
• كيه سي 10 إس 5 دي 8 إتش 3 سي
• خ 10د 5د 8ح 3ج

شكرًا لغاري كوهلر على مساعدته في هذا السؤال.

لفائدة القراء الآخرين، إحدى حيلتي هي الاستفادة من نصف النقاط الإضافية من فارق النقاط بين 3 و7 في بطاقات البارلاي بنصف النقاط. لقد أثبتتُ أن هذه طريقة موثوقة، وإن كانت متقلبة للغاية، لتحقيق أفضلية.

القاعدة الجديدة تُعيد الركلة الإضافية إلى خط الـ 15 ياردة. هذا من شأنه أن يُقلل من احتمالية نجاح الركلة ويزيد من محاولات تحويل النقاط إلى نقطتين. مع زيادة محاولات تحويل النقاط إلى نقطتين، سواءً نجحت أم لا، يُفترض ألا يكون هناك الكثير من المباريات التي تُحسم بثلاث أو سبع نقاط، مما يُقلل من قيمة الحصول على نصف نقطة إضافية من هذه الأرقام الرئيسية في بطاقات البارلاي بنصف نقطة. هل يجب أن نقلق؟ لنرَ.

أولاً، يجب أن نقلق، ولكن بالضرورة لهذا السبب. فقد أعاقت تغييرات أخرى في القواعد قوة دفاع الفريق، مما أدى إلى ارتفاع معدل تسجيل الأهداف. يوضح الرسم البياني التالي متوسط عدد النقاط المسجلة في المباراة الواحدة لكل موسم من عام ١٩٩٤ إلى عام ٢٠١٤.



كما يوضح الرسم البياني، ظل متوسط النقاط في المباراة الواحدة قريبًا من 42 نقطة حتى عام 2006. ومع ذلك، بدءًا من عام 2007، بدأ المتوسط يرتفع بنحو نصف نقطة سنويًا. وهذا يقودنا إلى التساؤل عما إذا كانت هذه الزيادة في متوسط النقاط تميل إلى تثبيت هامش الفوز، خاصةً بالنسبة للأرقام السحرية 3 و7. يوضح الرسم البياني التالي احتمالية تحقيق هامش فوز بثلاث وسبع نقاط سنويًا.



كما ترون، فإن احتمال الفوز بفارق سبع نقاط ثابت عند 9.1%. مع ذلك، فإن احتمال الفوز بفارق ثلاث نقاط يتناقص باستمرار، خاصةً منذ عام 2004. وهذا أمرٌ سيئ نظرًا لكثرة فروق النقاط في دوري كرة القدم الأمريكية (NFL).

مهما كان سبب انخفاض هامش الفوز بثلاث نقاط، فإن قيمة بطاقات البارلاي بنصف نقطة آخذة في الانخفاض. هل سيزداد الأمر سوءًا مع قاعدة النقاط الإضافية الجديدة؟

إجابتي هي أنه من المفترض أن يكون هناك تأثير سلبي، ولكن ليس بدرجة كبيرة. قبل تغيير القواعد، أحسب أن حوالي 4.8% من الهبوطات كانت تتبعها محاولة تحويل بنقطتين. في الوقت الذي أكتب فيه هذه الكلمات، لم تُلعب سوى أسبوعين من المباريات منذ تغيير القواعد. في الأسبوعين الأولين من موسم 2015، سُجِّل 167 هبوطًا، و15 منها تبعتها محاولة تحويل بنقطتين، بنسبة محاولات بلغت 9.0%.

رياضيًا، أعتقد أن اللجوء إلى تحويل النقطتين يجب أن يكون أكثر شيوعًا، خاصةً للفرق الأضعف التي تسعى إلى التباين، ولا أفهم سبب عدم شيوعه. ليس هذا ما سألته، ولكن كان عليّ أن أكشفه.

سؤال جيد. ميزتك في الرهان من ١١ إلى ١٠ هي ٣.٠٩٪، وفي الرهان المضاعف هي ١٠.٢٢٪. يبدو أن هذا يُمثل دافعًا قويًا للرهان المضاعف.

مع ذلك، تذكر أن الاستراتيجية المثلى لزيادة رصيدك مع أي لعبة ذات ميزة هي استخدام معيار كيلي . ووفقًا لكيلي، فإن حجم الرهان الأمثل هو الذي يُعظم اللوغاريتم المتوقع لرصيدك بعد الرهان. بالنسبة للرهانات ذات احتمالين فقط، يكون حجم الرهان الأمثل هو ببساطة قسمة الميزة على ما يدفعه الرهان على أساس "إلى واحد".

الرهانات المباشرة تدفع من ١٠ إلى ١١. هذا يجعل حجم الرهان الأمثل ٠.٠٣٠٩٠٩/(١٠/١١) = ٠.٠٣٤٠٠٠. مع ميزة لاعب بنسبة ٣.٠٩٪، يمكنك توقع ربح ٠.٠٠١٠٥١ ضعف رصيدك في كل مباراة من الرهان المباشر.

حجم الرهان الأمثل في الرهانات الثنائية هو 0.102248/6 = 0.017041. مع ميزة لاعب قدرها 0.102248، يمكنك توقع ربح 0.001742 ضعف رصيدك في كل مباراة من خلال الرهان المباشر.

مع ذلك، يُعدّ الرهان المباشر أفضل لأنه يتيح لك المراهنة ثلاث مرات. لذا، اضرب الربح المتوقع لكل رهان في الرهان الثابت بثلاثة لتحصل على: 3 × 0.001051 = 0.003153. وهذا يزيد بنسبة 81% عن نمو رأس مال رهانات البارلاي.

إذا كان رصيدك كبيرًا جدًا لدرجة أنك تصطدم بحدود الرهان القصوى، فربما يتعين عليك إجراء رهان تراكمي أولاً، والذي يميل إلى عدم تحريك الخطوط، ثم قم بإدخال رهاناتك المباشرة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

إنه قرارٌ حرج، وهو ما أعتقد أنه ما كان يسعى إليه اتحاد كرة القدم الأميركي عندما غيّر القاعدة. الأمور التي يجب مراعاتها عند اتخاذ القرار هي:

• احتمال النجاح بالركل.
• احتمال النجاح من خلال الذهاب إلى التحويل بنقطتين.
• الفرص الإجمالية لفوز كل فريق.

في المراحل المتأخرة من المباراة، من الضروري أيضًا مراعاة الأرقام الرئيسية. على سبيل المثال، إذا كانت المباراة في مراحلها الأخيرة وسجلتَ للتو هبوطًا ليتقدم فريقك بثلاث نقاط، فعليك الركل. إذا نجحت، ستتقدم بأربع نقاط وتجبر الفريق الآخر على تسجيل هبوط للفوز. إذا سجلت نقطتين وأخفقت، فسيتعادل الفريق الآخر بركلة ميدانية واحدة فقط. لذا، سأقتصر نقاشي على المراحل المبكرة من المباراة، عندما لا تكون الأرقام الرئيسية عاملًا مهمًا.

للإجابة على سؤالك، كتبتُ برنامج محاكاة. مع أنه بدائي نوعًا ما، إلا أنني أعتقد أنه دقيق إلى حد ما في تمثيل طبيعة دوري كرة القدم الأمريكية (NFL) من حيث الأهداف الميدانية، والهبوط، وفقدان الكرة.

وفقًا لمقال "ما تأثير نقل النقاط الإضافية إلى خط الـ ١٥ ياردة؟" بقلم كيفن رودي، فإن احتمالية تسجيل النقطة الإضافية من خط الـ ١٥ ياردة هي ٩٤.٢٪. وقد وضعتُ هذه النسبة في برنامجي للحفاظ على دقة الأرقام.

هناك خلافٌ أكبر حول احتمالية تحويل نقطتين. يبدو جليًا أن هذا يختلف اختلافًا كبيرًا باختلاف الدفاع والهجوم. ما قمتُ به هو إجراء محاكاة بنسبة نجاح تحويل نقطتين تتراوح بين 46% و50%، في مجموعات من 1%.

في كل محاكاة، كان أحد الفريقين يسدد دائمًا، بينما يسعى الخصم إلى التحويل عند كل احتمال نجاح. كما أجريتُ محاكاةً سدد فيها كلا الفريقين دائمًا، ليكون لديّ ما أقارن به نتائج التحويل بنقطتين.

يوضح الجدول 1 أدناه نتائج فريقين متساويين في المهارة. يسدد الفريق (أ) الكرة دائمًا بعد تسجيل هبوط. ويوضح الجدول احتمال فوز الفريق (ب) ومتوسط النقاط الإضافية المسجلة لكل مباراة، بناءً على ما إذا كان الفريق (ب) يسدد الكرة أم يحاول تحويل النقطتين (2PC)، واحتمال نجاحه.



لاحظ أنه باحتمال نجاح يبلغ 47%، فإن النقاط الإضافية المتوقعة هي 0.94 سواءً بالركل أو بالمحاولة للحصول على نقطتين. ومع ذلك، فإن احتمال الفوز أقل بنسبة 0.1% عند محاولة الحصول على نقطتين. أعتقد أن السبب في ذلك هو أنه في حال إضاعة الكرة، فإن الفريق الآخر لديه فرصة التعادل بركلتين ميدانيتين. تجدر الإشارة إلى أن هذا التأثير الرقمي الرئيسي ضئيل جدًا، ولكنه يُفضّل التحفظ والركل، مع ثبات جميع العوامل الأخرى. خلاصة القول، مع وجود فريقين متساويين، يجب أن يكون احتمال النجاح في تحويل النقطتين 49% على الأقل.

يوضح الجدول ٢ أدناه نتائج فريقين غير متكافئين، حيث يكون الفريق (أ) أقوى. يسدد الفريق (أ) دائمًا بعد تسجيل هبوط. ويوضح نفس الإحصائيات الموضحة في الجدول ١ أعلاه.

يوضح الجدول ٢ أن الفريق الأضعف يجب أن يسعى لتحويل نقطتين عند جميع احتمالات النجاح المذكورة، حتى عند نسبة ٤٥٪، حيث يكون إجمالي النقاط المتوقعة أقل. قد تتساءلون عن السبب. ذلك لأنه في أي مباراة، يجب على الفريق الأضعف أن يسعى لتحقيق التباين، بينما يجب على الفريق الأقوى أن يكرهه.

يوضح الجدول 3 أدناه نتائج فريقين غير متكافئين، حيث يكون الفريق (ب) أقوى. يسدد الفريق (أ) دائمًا بعد تسجيل هبوط. ويوضح نفس الإحصائيات الواردة في الجدولين 1 و2 أعلاه.

لاحظ أن الجدول 3 يُظهر احتمال فوز الفريق (ب) بنسبة 71.17% بالركل. وهو أقل من ذلك لجميع احتمالات النجاح الموضحة، على الرغم من أن عدد النقاط المتوقع يكون أكبر عند احتمال نجاح 49% أو 50%. والسبب، مجددًا، هو أن الفرق الضعيفة يجب أن تسعى إلى التباين، بينما يجب على الفرق القوية تجنبه. تُضيف محاولة تحويل النقطتين تقلبًا إلى اللعبة، ولذلك يُفترض أن تكون الفرق الضعيفة أكثر ميلًا لمحاولة ذلك، مع ثبات جميع العوامل الأخرى، من الفرق القوية.