اسأل الساحر #319

يوضح الجدول التالي خطوط أرباحفيغاس إنسايدر لكلا الفريقين لكل مباراة. يقسم عمود خط الأرباح العادلة لوقت اللعب خارج أرضه الأرباح بالتساوي بين الفريقين. ويوضح عمود الاحتمالات احتمالية زيارة الفريق الضيف، بناءً على هذا الخط.

إذا أخذنا حاصل ضرب احتمال فوز الفريق الضيف في كل مباراة، فسنحصل على 0.00422، وهو ما يقرب من 1 إلى 237.

كان فوز الفريق المضيف بـ 100 دولار سيؤدي إلى خسارة قدرها 28081.06 دولارًا.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

أولاً، سأستعرض عدد التباديل. هذا يعني أن الأرقام ليست مهمة فحسب، بل ترتيبها على البطاقة أيضاً. هناك معادلة (١٥، ٥) = ١٥!/(١٥-٥)! = ١٥*١٤*١٣*١٢*١١ = ٣٦٠،٣٦٠ تبديلاً محتملاً للأعمدة B وI وG وO. أما بالنسبة للعمود N، فعدد التباديل هو معادلة (١٤، ٤) = ١٥!/(١٥-٤)! = ١٥*١٤*١٣*١٢ = ٣٢،٧٦٠. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي لتباديل بطاقات البنغو هو ٣٦٠،٣٦٠ ^٤ × ٣٢،٧٦٠ = ٥٥٢٤٤٦٤٧٤٠٦١١٢٨٦٤٨٦٠١٦٠٠٠٠٠٠.

ثانيًا، سأستعرض عدد التباديل. هذا يعني أن الأرقام مهمة، وليس ترتيبها على البطاقة. هناك 3003 تباديل محتملة للأعمدة B وI وG وO، وهي: combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3003 تباديل محتملة للأعمدة B وI وG وO. أما بالنسبة للعمود N، فعدد التباديل هو: combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1365. وبالتالي، فإن إجمالي عدد تباديل بطاقات البنغو هو 3003 ⁴ × 1365 = 111007923832370565.

في البرنامج، يتساءل شيلدون عن كيفية وجود بطاقات بنغو فريدة. بناءً على الصيغ الخاطئة لاحقًا، أفترض أنه يقصد التباديل. بمعنى آخر، بطاقتان بنفس الأرقام ولكن في مواقع مختلفة ستكونان فريدتين.

تُظهر الصورة أعلاه صيغة شيلدون للأعمدة B وI وG وO. في البداية، حصل على الصيغة الصحيحة عند 5! × combin(15,5). إلا أنه بسّطها بشكل خاطئ إلى 15!/(15!-5)!. كان من المفترض ألا تظهر علامة التعجب الثانية، بل 15!/(15-10)!. ثم عاد إلى الإجابة الصحيحة عند 360,360.

لدينا نفس المشكلة تمامًا مع العمود N. يجب أن تكون الصيغة 15!/(15-4)!، وليس 15!/(15!-4)!. علامة التعجب الثانية تُفسدها.

الشيء المثير للسخرية هو أنه في وقت لاحق من الحلقة، أصبح شيلدون مهووسًا بالأخطاء في التسلسل الزمني لسيد الخواتم، تمامًا كما أنا مهووس بهذا.

أولاً، لنحدد عدد مجموعات بطاقات اللاعب واللوحة التي يُمكن أن يحدث فيها هذا. بالطبع، هناك أربع مجموعات. ثم هناك combin(13,4)=715 طريقة لاختيار أربع بطاقات من أصل 13 من المجموعة المُعطاة.

ثانيًا، إحدى طرق تحقيق ذلك هي استخدام ثلاث بطاقات من نفس النوع على اللوحة، واثنتين أخريين من بين 39 بطاقة أخرى. هناك 84 طريقة لاختيار ثلاث بطاقات من أصل 9 بطاقات متبقية من النوع المختار على اللوحة. ثم هناك 741 طريقة لاختيار بطاقتين إضافيتين من بين 39 بطاقة أخرى من الأنواع الثلاثة الأخرى. إذن، هناك 84 × 741 = 62,244 طريقة لاختيار ثلاث بطاقات من النوع المعني على اللوحة.

ثالثًا، هناك طريقة أخرى يمكن أن يحدث بها هذا وهي باستخدام أربع بطاقات من نفس النوع التي يمتلكها اللاعبون على اللوحة والبطاقة الأخرى من بين 39 بطاقة أخرى. هناك combin(9,4)=126 طريقة يمكن أن تحتوي بها اللوحة على أربع بطاقات من أصل 9 بطاقات متبقية من النوع المختار. ثم هناك 39 طريقة لاختيار بطاقة أخرى من بين 39 بطاقة أخرى في الأنواع الثلاثة الأخرى. ومع ذلك، لن تؤدي كل هذه الطرق إلى استخدام كلا اللاعبين لكلا البطاقتين المخفيتين. لكي يتحقق هذا الشرط، يجب أن تكون أقل بطاقة في النوع المعني موجودة على اللوحة. احتمال ذلك، من بين 8 بطاقات من نفس النوع قيد اللعب، هو 4/8 = 1/2. لذا، هناك 126*39*(1/2)=2457 طريقة مع وجود أربع بطاقات من النوع المعني على اللوحة.

رابعًا، آخر طريقة ممكنة لتحقيق ذلك هي وجود خمس بطاقات من نفس النوع على اللوحة. هناك 126 طريقة للحصول على خمس بطاقات من أصل تسع بطاقات متبقية من النوع المختار. مع ذلك، لن يؤدي كل هذا إلى استخدام كلا اللاعبين للبطاقتين المخفيتين. لتحقيق هذا الشرط، يجب أن تكون أقل بطاقتين من النوع المعني على اللوحة. احتمال ذلك، من بين 9 بطاقات من نفس النوع في اللعبة، هو 10/36 = 5/18. إذن، هناك 126*(5/18) = 35 طريقة للحصول على أربع بطاقات من النوع المعني على اللوحة.

وبالتالي، فإن عدد التركيبات التي سيحدث فيها هذا هو 715*(62,244 + 2,457 + 35) = 46,286,240.

العدد الإجمالي لمجموعات الطرق لاختيار أربع بطاقات للاعب من بين 52 بطاقة مخفية ثم 5 بطاقات أخرى من بين 48 بطاقة متبقية على اللوحة هو combin(52,4)*combin(48,5) = 463,563,500,400.

وبالتالي، فإن الاحتمال هو 46,286,240 / 463,563,500,400 = 0.000399395 = 1 في 2,504.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في المنتدى الخاص بي في Wizard of Vegas .

لتحليل هذا الرهان، سأُقدّر أولًا عدد النقاط التي سيسجلها كل فريق. أفعل ذلك باستخدام جبر بسيط مع فارق النقاط وأعلى/أقل. على سبيل المثال، لنفترض أن المباراة الأولى بين فريقي بنغلس ورايفنز. رايفنز مُرشّح للفوز بفارق 12 نقطة، وأعلى/أقل من 48 نقطة. لنفترض أن:

ب = النقاط التي أحرزها فريق بنغلس
r = النقاط التي سجلها فريق Ravens

ب+12=ر
ب+ر=48

لإعادة ترتيب المعادلة الأولى: ب-٤ = -١٢. ثم أضف هذه المعادلة إلى ب+ر = ٤٨، فنحصل على ٢ب = ٣٦، إذًا ب = ١٨. إذا كان من المتوقع أن يسجل فريق بنغالز ١٨ نقطة، فمن المتوقع أن يسجل فريق رايفنز ١٨ + ١٢ = ٣٠.

بعد تقدير إجمالي النقاط، يُمكننا حساب عدد الهبوطات المُقدّر. أقوم بذلك بطرح ست نقاط من كل فريق، ثم قسمة الباقي على 7.

إجمالي عدد الهبوطات المتوقع تسجيلها بين هذه الفرق هو 29.57. بعد ذلك، اقسم عدد الهبوطات المتوقع لكل فريق على هذا الإجمالي. سيعطيك هذا احتمالًا مُقدّرًا لتسجيل الفريق الهبوط الأول. ثم حدد القيمة المتوقعة بناءً على هذا الاحتمال وقيمة الرهان.

كما ترون في الجدول، أرى قيمة متوقعة إيجابية لفريقين فقط. ريدسكينز (نعم، أسميهم كذلك) بفارق 0.48%، وفريق بنغالز بفارق 21.7%. الفارق ضئيل جدًا مع ريدسكينز، لكنني أراهن بالتأكيد على بنغالز.

PS: لقد سجل فريق Bengals الهدف الأول في ذلك اليوم!

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .