اسأل الساحر #320

أولاً، علينا إيجاد احتمال الفوز لأي يد، والذي يعتمد على القواعد التي لم تُذكر في سؤالك الأصلي. في صفحتي حول التباين في البلاك جاك ، أُعطي احتمال الفوز الصافي، والتعادل، والخسارة وفقًا لقواعد "الستريب الليبرالية"، وهي: ست مجموعات أوراق، دفع البلاك جاك 3 إلى 2، وقوف الموزع عند 17 ناعمة، يُسمح بالمضاعفة بعد التقسيم، يُسمح بالاستسلام، يُسمح بإعادة تقسيم الآسات. وفقًا لهذه القواعد، إليك الاحتمالات المطلوبة:

• الفوز: 42.43%
• دفع: 8.48%
• الخسارة: 49.09%

لم يذكر سؤالك أيضًا كيفية التعامل مع الدفعات. سأفترض أن الدفعة تُحتسب يدًا لعبت، لكنها لا تُقدم أو تُعيد ضبط سلسلة الخسائر. بعد استبعاد الدفعات، تكون احتمالات الفوز والخسارة، في حال حُسم الرهان، هي:

• الفوز: 46.36%
• الخسارة: 53.64%

ومع ذلك، فإن التقريب الجيد جدًا لأسئلة مثل هذا هو:

ن × ل × ث ^م

أين:
n = عدد الأيدي التي تم لعبها
ل = احتمال الخسارة
w = احتمال الفوز
م = الحد الأدنى لعدد الأيدي في سلسلة الخسارة

في هذه الحالة، عدد الخسائر المتوقع هو ١٠٠٠٠٠ × ٤٦.٣٦٪ × ٦٣.٦٤٪ ^{، ١٠} = ٩١.٤. بمعنى آخر، ستكون هناك سلسلة خسائر لا تقل عن ١٠ أيادٍ كل ١٠٩٤ يدًا، في المتوسط. وتؤكد محاكاة عشوائية ذلك.

في هذه المرحلة، أنا متأكد من أن قرائي الباحثين عن الكمال يستعدون لإرسال رسائل بريد إلكتروني لي تتضمن انتقادات فكرية على سلاسل ماركوف . أود التأكيد على أن صيغتي تقديرية، وهي في الواقع جيدة جدًا.

دعونا نبدأ بتعريف زوج من المتغيرات:

• س = كجم من الملح في الخزان
• t = دقائق منذ إلقاء الملح في الخزان

علمنا أن ١٠٪ من الملح يُصرف في الدقيقة. وبعبارة رياضية:

ds/dt = (-10/100) × s

دعونا نعيد ترتيب ذلك إلى:

ds = (-10/100) × s dt

-10/ثانية ds = dt

دمج كلا الجانبين:

(1) -10×ln(s) = t + c

الآن، لنوجد ثابت التكامل المهم. للقيام بذلك، نعلم أن s = 10 عندما t = 0. بتطبيق ذلك في الصيغة (1) أعلاه، نحصل على:

-10 × ln(10) = 0 + c

لذا c = -10×ln(10)

بوضع ذلك في المعادلة (1) نحصل على:

(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)

السؤال المطروح هو: ما كمية الملح الموجودة في الخزان عند t=30؟ حل s عند t=30:

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10). ثم اقسم كلا الطرفين على -10...

ln(s) = -3 + ln(10)

س = exp(-3 + ln(10))

س = exp(-3) × exp(ln(10))

س = exp(-3) × 10

س = ~ 0.4979 كجم من الملح.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

الرياضيات لا تكذب أبدًا. وفقًا لملحق البلاك جاك رقم 1 ، إليك القيم المتوقعة لجميع طرق اللعب الأربع (A، A مقابل 10)، بافتراض وجود عدد لا نهائي من أوراق اللعب، وثبات الموزع على ورقة 17 ناعمة، وعدم السماح بإعادة تقسيم الآسات.

• الموقف = -0.540430
• الضربة = -0.070002
• ضعف = -0.514028
• الانقسام = 0.179689

  لذا، الوضع ليس متقاربًا، فالتقسيم أفضل بحوالي ١١٪ من الرهان الأولي. وسيكون أفضل لو سُمح بإعادة تقسيم الآسات.

أولاً، لنحسب احتمال أن يكون لأي رقم لعبة ثلاثة أيام متطابقة من أصل خمسة. الإجابة هي COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0.001523682. هذا هو عدد طرق اختيار الأيام الثلاثة المتطابقة من أصل خمسة أضعاف احتمال تطابق اليومين الثاني والثالث مع الأول، مضروبًا في احتمال عدم تطابق اليومين الآخرين.

لذا، فإن احتمال عدم وجود مباراة لمدة 3 أيام من أصل 5 أيام لأي رقم لعبة معين هو 1 - 0.001523682 = 0.9984763.

احتمال عدم حدوث ذلك لمدة 300 يوم هو 0.9984763 ³⁰⁰ = 63.29%.

وبالتالي، فإن احتمال البديل، وهو وجود رقم رسم واحد على الأقل مع 3 من أصل 5 أيام تتطابق مع نفس رقم عين الثور، هو 36.71%.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .