WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #324

في المتوسط، كم عدد لفات النرد العادل اللازمة لتدوير كل وجه مرتين على الأقل؟

Ace2

انقر على الزر أدناه للحصول على الإجابة.

الإجابة هي 1,172,906,043 / 48,600,000 = تقريبًا 24.13387

هذا هو الحل الخاص بي. (PDF)

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

هناك لوحة رمي سهام مربعة أبعادها ١ × ١. رُمي سهم عليها بحيث يسقط في أي مكان باحتمالية متساوية. لنفترض أن إحداثيات نقطة سقوطها هي (س، ص)، حيث يكون كلٌّ من س وص موزعين بالتساوي وبشكل مستقل من ٠ إلى ١.

ليكن z = تقريب (س/ص). بمعنى آخر، z = س/ص، مُقرَّبًا لأقرب عدد صحيح. ما احتمال أن يكون z زوجيًا؟

مجهول

سيكون من المفيد جدًا معرفة السلسلة اللانهائية في التلميح التالي.

[المفسد=تلميح]

تنص صيغة لايبنتز لـ π على:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

[/كابح]

للحصول على الإجابة فقط انقر على الزر التالي.

[سبويلر=الإجابة](5 - π)/4 = apx. 0.464601836602552. [/كابح]

انقر على الزر أدناه للحصول على الحل.

[spoiler=الحل]

إذا كانت x/y < 0.5، فسيتم تقريب النسبة إلى n، أي إلى 0، أو إلى عدد زوجي. أي نقطة على لوحة السهام على يسار الخط المكوّن من (0،0) و(0.5) سيتم تقريبها إلى 0. هذه المساحة مثلث قائم الزاوية طول ضلعه 1 و1/2. تذكر أن مساحة المثلث هي (1/2) × القاعدة × الارتفاع. وبالتالي، فإن مساحة هذه النقاط عند تقريبها إلى 0 هي (1/2) × (1/2) = 1/4.

المنطقة التالية على الرسم البياني التي سيتم تقريبها إلى العدد الزوجي التالي، 2، هي عندما يكون 1.5 < x/y < 2.5. ستكون هذه المنطقة مثلثًا قاعدته 2/3 - 2/5 وارتفاعه 1. لاحظ أن هذه هي معكوسات حدود x/y، لأن x يساوي 1، لذا نحتاج إلى عكس y. إذن، المنطقة التي سيتم تقريبها إلى 2 هي (1/2)*(2/3 - 2/5).

المنطقة التالية على الرسم البياني التي سيتم تقريبها إلى العدد الزوجي التالي، 4، هي عندما يكون 3.5 < x/y < 4.5. ستكون هذه المنطقة مثلثًا قاعدته 2/7 - 2/9 وارتفاعه 1. لذا، فإن المنطقة التي سيتم تقريبها إلى 2 هي (1/2)*(2/7 - 2/9).

المنطقة التالية على الرسم البياني التي سيتم تقريبها إلى العدد الزوجي التالي، 6، هي عندما يكون 5.5 < x/y < 6.5. ستكون هذه المنطقة مثلثًا قاعدته 2/11 - 2/13 وارتفاعه 1. لذا، فإن المنطقة التي سيتم تقريبها إلى 2 هي (1/2)*(2/11 - 2/13).

هل بدأت ترى نمطًا؟ إنه كالتالي:

1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =

1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

دعنا ننقل -1 داخل هذه الأقواس.

5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =

بعد ذلك، تذكر تلميحنا أعلاه:

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11

العودة إلى السؤال المطروح ...

5/4 - π/4 =

(5 - π) / 4 = أبكس. 0.464601836602552.

من المثير للاهتمام كيف يستمر ظهور π و e في كل مكان في الرياضيات.

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

ليكن 9x + 12x = 16x

ما هو x؟

مجهول

انقر على الزر أدناه للحصول على الإجابة.

x = [ln(1 + sqrt(5)) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3) ] = تقريبًا 1.67272093446233.

انقر على الزر أدناه للحصول على الحل.

9x + 12x = 16x =

اقسم كلا الطرفين على 9 ×

1 + (12/9) x = (16/9) x

1 + (4/3) x = ((4/3) x ) 2

(1) ليكن u = (4/3) x

1 + u = u 2

بالصيغة التربيعية...

u = (1+sqrt(5)) / 2 (النسبة الذهبية)

وبإعادة ذلك إلى المعادلة (1):

(4/3) x = (1+sqrt(5)) / 2

خذ السجل لكلا الجانبين:

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = تقريبًا 1.67272093446233.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

الإقرار: لقد حصلت على اختلاف لهذه المشكلة من Presh Talwalkar من Mind Your Decisions .

لنفترض أن حجر نرد سداسي الأوجه رُمي حتى ظهر الرقم ١، ٢، ٣، أو ٦. إذا كان أول رقم يظهر في نهاية اللعبة هو ١، ٢، أو ٣، فلن تربح شيئًا. أما إذا كان أول رقم يظهر في نهاية اللعبة هو ٦، فستربح دولارًا واحدًا لكل رمية نرد. ما متوسط ربح هذه اللعبة؟

Klopp

انقر على الزر أدناه للحصول على بعض صيغ السلسلة اللانهائية التي قد تجدها مفيدة.

[المفسد=تلميحات]

تلميح 1: مجموع i = 0 إلى ∞ من n i = 1 / (1-n)

تلميح 2: مجموع i = 0 إلى ∞ من i × n i = n / (1-n) 2

[/كابح]

انقر على الزر أدناه للحصول على الإجابة.

الإجابة هي 3/4.

انقر على الزر أدناه للحصول على الحل.

[spoiler=الحل]

لنفترض أن حجر نرد سداسي الأوجه رُمي حتى ظهر الرقم ١، ٢، ٣، أو ٦. إذا كان أول رقم يظهر في نهاية اللعبة هو ١، ٢، أو ٣، فلن تربح شيئًا. أما إذا كان أول رقم يظهر في نهاية اللعبة هو ٦، فستربح دولارًا واحدًا لكل رمية نرد. ما متوسط ربح هذه اللعبة؟

تلميح 1: مجموع i = 0 إلى ∞ من n i = 1 / (1-n)

تلميح 2: مجموع i = 0 إلى ∞ من i × n i = n / (1-n) 2

يمكن التعبير عن الفوز المتوقع كمجموع i = 0 إلى ∞ من (1 + i) * (1/3) i * (1/6). =

(1/6) * مجموع i = 0 إلى ∞ من (1/3) i + (1/6) * مجموع i = 0 إلى ∞ من (i * (1/3) i ).

دعونا نقوم بتقييم هذه الأمور واحدة تلو الأخرى.

المجموع لـ i = 0 إلى ∞ من (1/3) i =

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

المجموع لـ i = 0 إلى ∞ من (i * (1/3) i ) =

(1/3) / (1 - (1/3)) 2 =

(1/3) / (4/9) =

(1/3) * (9/4) =

3/4

إذا جمعنا كل ذلك معًا، فإن الإجابة هي

(1/6) * (3/2) + (1/6) * (3/4) =

(1/4) + (1/8) =

3/8

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .