اسأل الساحر #325

[spoiler=الحل]

يزرع مزارع خمس بذور تفاح. كل يوم، لكل بذرة فرصة إنبات ثلثها. ما هو متوسط الوقت اللازم لإنبات الأشجار الخمس؟

لنحسب ذلك بطريقة عكسية. إذا بقيت بذرة واحدة لم تنبت، فسيستغرق إنباتها في المتوسط يومًا واحدًا/ب، حيث p هو احتمال إنباتها في أي يوم. وبما أن p = 1/3، فسيستغرق إنباتها في المتوسط 3 أيام. لنسمِّ ذلك t = ₁ = 3.

ماذا لو تبقى بذرتان؟ احتمال ap ² = 1/9 أن تنبت كلتاهما في اليوم التالي وننتهي من ذلك. احتمال أن تنبت إحداهما في اليوم التالي هو 2×p×q، حيث q هو احتمال عدم إنباتها. وبالتالي، فإن احتمال إنبات بذرة واحدة هو 2×(1/3)(2/3) = 4/9. احتمال عدم إنبات أيٍّ من البذرتين هو q ² = (2/3) ² = 4/9. لنسمِّ عدد الأيام المتوقع لوجود بذرتين t ₂ .

t ₂ = 1 + (4/9)×t ₁ + (4/9)t ₂

t ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t ₁

t ₂ = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

t ₂ = (21/9) / (5/9)

t ₂ = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4.2

ماذا لو تبقى ثلاث بذور؟ احتمال أن تنبت جميعها في اليوم التالي هو ap ³ = 1/27. احتمال أن تنبت واحدة في اليوم التالي هو 3×p×q ² = 3×(1/3)(2/3) ² = 12/27. احتمال أن تنبت اثنتان في اليوم التالي هو 3×p ² ×q = 3×(1/3) ² ×(2/3) = 6/27. احتمال عدم إنبات أي بذور هو q ³ = (2/3) ³ = 8/27. لنسمِّ العدد المتوقع للأيام التي تحتوي على ثلاث بذور t ₃ .

t ₃ = 1 + (6/27)t ₁ + (12/27)×t ₂ + (8/27)×t ₃

t ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4.2 + (8/27)×t ₃

ت ₃ × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

t ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = تقريبًا 5.02105263

ماذا لو تبقى أربع بذور؟ هناك احتمال ap ⁴ = 1/81 أن تنبت جميع البذور الأربع في اليوم التالي وننتهي. احتمال أن تنبت واحدة في اليوم التالي هو 4×p×q ³ = 4×(1/3)(2/3) ³ = 32/81. احتمال أن تنبت اثنتان في اليوم التالي هو combin(4,2)×p ² ×q ² = 6×(1/3) ² ×(2/3) ² = 24/81. احتمال أن تنبت ثلاث بذور في اليوم التالي هو combin(4,3)×p ³ ×q = 4×(1/3) ³ ×(2/3) = 8/81. احتمال عدم إنبات أي بذور هو q ⁴ = (2/3) ⁴ = 16/81. لنسمي العدد المتوقع للأيام التي تحتوي على ثلاث بذور t ₄ .

t ₄ = 1 + (8/81)×t ₁ + (24/81)×t ₂ + (32/81)×t ₃ + (16/81)×t ₄

t ₄ = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263 + (16/81)×t ₄

t ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4.2 + (32/81)×5.02105263) / (1 - (16/81))

t ₄ = تقريبًا 5.638056680161943319838056680.

ماذا لو تبقى خمس بذور؟ احتمال ap ⁵ = 1/243 أن تنبت جميع البذور الخمس في اليوم التالي وننتهي. احتمال أن تنبت واحدة في اليوم التالي هو 5×p×q ⁴ = 5×(1/3)(2/3) ⁴ = 80/243. احتمال أن تنبت اثنتان في اليوم التالي هو combin(5,2)×p ² ×q ³ = 10×(1/3) ² ×(2/3) ³ = 80/243. احتمال أن تنبت ثلاث بذور في اليوم التالي هو combin(5,3)×p ³ ×q = 10×(1/3) ³ ×(2/3) ² = 40/243. احتمال أن تنبت أربع بذور في اليوم التالي هو combin(5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243. احتمال عدم إنبات أي بذور هو q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243. لنسمِّ عدد الأيام المتوقع لظهور ثلاث بذور t ₅ .

t ₅ = 1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ + (32/243)×t ₅

t ₅ = (1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ ) / (1 - (32/243))

t ₅ = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4.2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5.63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = تقريبًا 6.131415853.

تم تعديل هذه المشكلة من مشكلة مماثلة كتبها بريش تالوالكار في Mind Your Decisions .

[spoiler=إجابة]

1. ما هو الحد الأدنى لطول الحبل المطلوب؟ ج: الجذر التربيعي (2) × 4 = تقريبًا 5.6569.
2. بافتراض استخدام الحد الأدنى للمسافة، ما مدى قرب أي نقطة على الحبل من طرفه؟ ج: ٢*sqrt(٢) = تقريبًا ٢٫٨٢٨٤٢٧١٢٥.

[spoiler=الحل]

لنفترض أن قاع الخيمة أرضٌ عارية. بمعنى آخر، الخيمة هي الجدران فقط وليست القاعدة. بما أن نصف القطر يساوي ١، فإن قطر قاعدتها يساوي ٢*π.

قم بقص الخيمة من أي نقطة في القاعدة إلى الحافة ثم ضع المادة بشكل مسطح.

سيظل الجزء المنحني من هذه الشريحة ٢*باي. بما أن ارتفاع الميل ٤، فإذا مُدِّدت هذه الشريحة إلى دائرة كاملة، فسيكون نصف قطرها ٨*باي. وبالتالي، تُمثِّل هذه الشريحة ربع الدائرة.

بأضلاع طولها 4 وزاوية قياسها 90 درجة، يكون طول وتر المثلث بين النقاط الثلاث جذر (2) × 4 = تقريبًا 5.6569. إذا أعدت تركيب الخيمة، فستكون هذه المسافة مساوية لطول الحبل.

عند وضع الشريحة بشكل مسطح مرة أخرى، باستخدام صيغة فيثاغورس، من السهل رؤية أن أقرب نقطة من الوتر إلى طرف الخيمة هي 2*sqrt(2) = تقريبًا 2.828427125.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

احتمال تحسن الزوج إلى أربعة من نفس النوع هو 45/COMBIN(47,3) = تقريبًا 0.002775208.

احتمال حدوث ذلك في عشرة من أصل عشرة أيادي هو (0.002775208) ¹⁰ = تقريبًا 1 في 36,901,531,632,979,700,000,000,000.

إن هذا الاحتمال يشبه شراء ثلاث تذاكر Powerball مستقلة وعشوائية والفوز بها جميعًا.

التفسير هو أن هذه ليست لعبة فيديو بوكر عادية، ذات احتمالات طبيعية، حيث لكل ورقة فرصة متساوية للسحب من الأوراق المتبقية في المجموعة. لا، هذا ما يُسمى "VLT" أو جهاز يانصيب الفيديو. في مثل هذه الألعاب، تكون النتيجة مُقدّرة مسبقًا، بغض النظر عن كيفية دفع اللاعب لأوراقه. إنها مثل بطاقة يانصيب الكشط، ولكن النتيجة تُعرض للاعب كما في لعبة فيديو بوكر. قد تتساءل: ماذا لو احتفظ اللاعب بالأوراق الخمس جميعها؟ حينها سيأتي جني ليُغيّر بعض الأوراق، أو يفوز اللاعب بمكافأة تُوصله إلى 2500 نقطة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .