WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #328

إذا قمت برمي حجر نرد واحد 20 مرة، ما هو احتمال أن تضرب جميع الجوانب الستة مرة واحدة على الأقل؟

Ace2

الإجابة هي تقريبًا 0.847987541

يمكن تقريب الإجابة على النحو التالي: 1 - (احتمال (لا يوجد 1) + احتمال (لا يوجد 2) + ... + احتمال (لا يوجد 6)) = 1 - 6*(5/6)^20 = تقريبًا 0.84349568.

مع ذلك، سيؤدي ذلك إلى طرح مضاعف للحالات التي لم يُرمى فيها وجهان مختلفان. هناك combin(6,2)=15 طريقة لاختيار وجهين من أصل ستة. احتمال عدم رمي أي وجهين معلومين هو (4/6)^20. علينا إضافة هذه الاحتمالات إلى الاحتمال، لأنها طُرحت مرتين في الخطوة السابقة. إذن، لدينا الآن 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 = تقريبًا 0.84800661.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

مع ذلك، إذا طُرِحَت أي مجموعة من ثلاثة أضلاع لم تُدحرج قط، لتُضاف ثلاثة أضلاع في الخطوة الأولى وتُطرح ثلاثة أضلاع في الخطوة الثانية. علينا طرحها مجددًا في حالة عدم دحرجة جميع الأضلاع الستة. هناك 20 طريقة لاختيار ثلاثة أضلاع من أصل ستة. احتمال عدم دحرجة أي ثلاثة أضلاع محددة هو (3/6)^20. إذن، لدينا الآن 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 = تقريبًا 0.847987537.

مع ذلك، إذا طُرِحَت أي مجموعة من أربعة أضلاع لم تُدحرج قط، أربع مرات في الخطوة الأولى، ثم جُمِعَت أربع مرات في الخطوة الثانية، ثم طُرِحَت أربع مرات في الخطوة الثالثة. علينا إعادة جمعها، لأن كل حالة من هذه الحالات طُرِحَت مرتين بالفعل. هناك 15 طريقة لاختيار أربعة أضلاع من أصل ستة. احتمال عدم دحرجة أي أربعة أضلاع محددة هو (2/6)^20. إذن، لدينا الآن 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 = تقريبًا 0.84798754089.

مع ذلك، لو كانت جميع الرميات العشرين متطابقة، لكان هذا الوضع قد طُرح خمس مرات في الخطوة الأولى، ثم جُمعت خمس مرات في الخطوة الأولى، ثم طُرح خمس مرات في الخطوة الثالثة، ثم جُمعت خمس مرات في الخطوة الرابعة. علينا طرحها مجددًا. إذن، لدينا الآن 1 - 6*(5/6)^20 + 15*(4/6)^20 - 20*(3/6)^20 + 15*(2/6)^20 - 6*(1/6)^20 = تقريبًا 0.84798754089.

إذن الإجابة هي 1-6*(5/6)^20+COMBIN(6,4)*(4/6)^20-COMBIN(6,3)*(3/6)^20+COMBIN(6,2)*(2/6)^20-6*(1/6)^20 = تقريبًا 0.84798754089.

تحتوي لافتة على عشرة مقابس لمبات إضاءة، كل منها يحتوي على مصباح إضاءة. كل مقبس مزود بمصباح إضاءة مختلف الحجم. بالإضافة إلى المصباح الموجود في كل مقبس، يوجد مصباح إضاءة احتياطي واحد لكل مقبس. عمر كل مصباح إضاءة موزع بشكل أسي*، بمتوسط عمر تشغيلي ليوم واحد. بمجرد تلف أي مصباح إضاءة، يُستبدل المصباح الاحتياطي فورًا، إذا كان لا يزال هناك مصباح إضاءة احتياطي لذلك المقبس.

ما هو الوقت المتوقع حتى يحترق المصباح الأخير؟

Ace2

الإجابة هي تقريبًا 4.622957063944816 يومًا.

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

يعمل موزع كازينو على نسخة جديدة من لعبة بوكر الثلاث أوراق. يأخذ جميع الأوراق ذات الوجوه من مجموعة أوراق قياسية ويخلطها جيدًا. ثم يوزع ثلاث أوراق على اللاعب رقم 1، وثلاث أوراق على اللاعب رقم 2، وثلاث أوراق على اللاعب رقم 3، والأوراق الثلاث الأخيرة على اللاعب رقم 4. ما احتمال أن تحتوي جميع الأيدي الأربع على ستريت (JQK من أي نوع)؟

Gialmere

الإجابة هي ٢١٦/٥٧٧٥ = تقريبًا ٠٫٠٣٧٤٠٢٥٩٧.

[spoiler=الحل]

احتمال أن تكون اليد الأولى هي AKQ هو 1*(8/11)*(4/10) = 29.09%.

احتمال أن يكون عقرب الثواني هو AKQ، مع العلم أن العقرب الأول هو AKQ بالفعل، يساوي 1*(6/8)*(3/7) = 32.14%.

احتمال أن تكون اليد الثالثة هي AKQ، مع الأخذ في الاعتبار أن اليد الأولى والثانية هي بالفعل AKQ، يساوي 1*(4/5)*(2/4) = 40.00%

يجب أن تكون البطاقات المتبقية من نوع AKQ، نظرًا لأن الأيدي الثلاثة الأولى هي كذلك. وبالتالي، فإن الاحتمال هو حاصل ضرب الاحتمالات الثلاثة أعلاه، وهو ٢١٦/٥٧٧٥ = تقريبًا ٠٫٠٣٧٤٠٢٥٩٧.

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

أظهر ربحًا بعد 6000 رهان رياضي مقابل الفارق، ووضع 11 للفوز بـ 10. ما هي احتمالات تحقيق ذلك، بافتراض وجود فرصة 50٪ للفوز بكل رهان؟

Lawrence

يمكنك أن تتوقع أن تكون أقل بمقدار 6000/22 = 272.73 رهان.

الانحراف المعياري لـ 6000 رهان هو sqrt(6000)*0.954545 = 73.93877.

وبالتالي، فإنك تتفوق على التوقعات بمقدار ٢٧٢.٧٣/٧٣.٩٤ = ٣.٦٨٨٥٥٦ انحرافًا معياريًا. وباستخدام المنحنى الغاوسي، فإن احتمالية تجاوز هذا العدد من الانحرافات المعيارية أو أكثر هي تقريبًا ٠٫٠٠٠١١٢٧٦٥ = تقريبًا ١ في ٨٨٦٨.