WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #331

لنفترض أن جميع أعضاء مجلس النواب الأمريكي، البالغ عددهم 435 عضوًا، انضموا إلى مكالمة زوم واحدة، من التاسعة صباحًا إلى العاشرة صباحًا. مع ذلك، ليس من الضروري حضور المكالمة بأكملها، بل جزء منها فقط. يختار كل عضو عشوائيًا لحظة محددة للدخول والخروج من المكالمة، ضمن نطاق الساعة الواحدة. ما احتمال أن يتداخل حضور نائب واحد على الأقل مع حضور أي نائب آخر في المكالمة؟ بمعنى آخر، رؤية وجوه جميع الأعضاء الآخرين خلال فترة حضورهم، وليس بالضرورة في نفس الوقت.

مجهول

انقر على الزر أدناه للحصول على الإجابة.

2/3

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

لقد تم طرح هذه المشكلة ومناقشتها في المنتدى الخاص بي في Wizard of Vegas .

تم اقتباسها من اللغز، هل يمكنك الانضمام إلى أكبر مكالمة زووم في العالم؟ على موقع FiveThirtyEight.

لا تتناول مخططات الاستراتيجية الأساسية الخاصة بك ما يجب فعله بزوج من الآسات، إذا وصل اللاعب إلى حد إعادة التقسيم، ويُسمح بالسحب لتقسيم الآسات.

J.R. من Las Vegas

من المستبعد جدًا العثور على لعبة بلاك جاك تسمح بالسحب لتقسيم الآسات، أي توزيع زوج من الآسات ثم الوصول إلى حد التقسيم. مع ذلك، أسعى جاهدًا لمعالجة أكثر الحالات غموضًا، وأقر بأن جداول استراتيجياتي الأساسية وقت كتابة هذا السؤال لم توضح كيفية التصرف في هذه الحالة.

الجواب هو الضرب، باستثناء الضرب المزدوج إذا:

  • لدى الموزع ستة (مع أي عدد من المجموعات)
  • يملك الموزع خمسة أوراق مع مجموعة أو مجموعتين من الأوراق.

وهنا القيمة المتوقعة لهذا الوضع في ظل مثل هذه المواقف المختلفة.

القيمة المتوقعة لضرب ومضاعفة Soft 12

الطوابق يقف
ناعم 17		 تاجر
بطاقة علوية		 يضرب
سيارة كهربائية		 مزدوج
سيارة كهربائية		 أفضل
يلعب
1 يقف 5 0.182014 0.215727 مزدوج
1 يضرب 5 0.182058 0.215933 مزدوج
1 يقف 6 0.199607 0.247914 مزدوج
1 يضرب 6 0.201887 0.258415 مزدوج
2 يقف 5 0.169241 0.170637 مزدوج
2 يضرب 5 0.169339 0.171311 مزدوج
2 يقف 6 0.192311 0.213109 مزدوج
2 يضرب 6 0.194397 0.227011 مزدوج
4 يقف 5 0.162849 0.148228 يضرب
4 يضرب 5 0.162955 0.149183 يضرب
4 يقف 6 0.18902 0.196249 مزدوج
4 يضرب 6 0.19074 0.211466 مزدوج

القيم المتوقعة مأخوذة من حاسبة يدي في لعبة البلاك جاك .

في الانتخابات الرئاسية القادمة لعام ٢٠٢٠، ما هي أقل نسبة من الأصوات الشعبية يمكن أن يحصل عليها مرشح ويفوز؟ يُرجى افتراض أن الجميع يصوتون لمرشح واحد فقط.

مجهول

الجواب هو أن المرشح قد يحصل على ما لا يقل عن 21.69% من الأصوات الشعبية ومع ذلك يتمكن من الفوز.

للتوضيح، يوضح الجدول التالي عدد السكان والأصوات الانتخابية لكل ولاية. أُخذت أعداد السكان اعتبارًا من عام ٢٠١٩، بينما عُدِّلت الأصوات الانتخابية آخر مرة في عام ٢٠١٠. وللتذكير، يحصل كل ولاية على صوتين انتخابيين إضافيين. والنتيجة هي أن الولايات ذات الكثافة السكانية المنخفضة تتمتع بتأثير أكبر بكثير على الانتخابات من الولايات ذات الكثافة السكانية العالية. واعتبارًا من انتخابات عام ٢٠٢٠، كان تأثير الناخبين في وايومنغ في الانتخابات الرئاسية يفوق تأثير الناخبين في تكساس بأربعة أضعاف تقريبًا.

بموجب القواعد، يمكن لأي مرشح الحصول على 100% من الأصوات في ولايات تكساس، وفلوريدا، وكاليفورنيا، وكارولاينا الشمالية، ونيويورك، وجورجيا، وأريزونا، وفرجينيا، وأوهايو، وبنسلفانيا، ونيوجيرسي، وميسوري، بالإضافة إلى نصف الأصوات (ناقص صوت واحد) في جميع الولايات الأخرى، ويضمن بذلك ما مجموعه 257,085,170 صوتًا شعبيًا. في المقابل، سيحصل المرشح الآخر على 71,215,374 صوتًا فقط، ويفوز بالعدد المطلوب تمامًا من أصوات المجمع الانتخابي، وهو 270 صوتًا.

يوضح الجدول التالي توزيع السكان، مُرتَّبًا حسب عدد السكان لكل صوت انتخابي (من الأقل إلى الأكثر).

سيناريو افتراضي للمجمع الانتخابي

ولاية سكان انتخابي
الأصوات		 مليون شخص
لكل صوت انتخابي		 الأصوات لصالح أ الأصوات لصالح ب
تكساس 28,995,881 38 1.311 - 28,995,881
فلوريدا 21,477,737 29 1.350 - 21,477,737
كاليفورنيا 39,512,223 55 1.392 - 39,512,223
كارولينا الشمالية 10,488,084 15 1.430 - 10,488,084
نيويورك 19,453,561 29 1.491 - 19,453,561
جورجيا 10,617,423 16 1.507 - 10,617,423
أريزونا 7,278,717 11 1.511 - 7,278,717
فرجينيا 8,535,519 13 1.523 - 8,535,519
أوهايو 11,689,100 18 1.540 - 11,689,100
بنسلفانيا 12,801,989 20 1.562 - 12,801,989
كولورادو 5,758,736 9 1.563 2,879,369 2,879,367
واشنطن 7,614,893 12 1.576 3,807,447 3,807,446
نيوجيرسي 8,882,190 14 1.576 - 8,882,190
إلينوي 12,671,821 20 1.578 6,335,911 6,335,910
ماساتشوستس 6,949,503 11 1.583 3,474,752 3,474,751
ميشيغان 9,986,857 16 1.602 4,993,429 4,993,428
تينيسي 6,833,174 11 1.610 3,416,588 3,416,586
ميسوري 6,137,428 10 1.629 - 6,137,428
إنديانا 6,732,219 11 1.634 3,366,110 3,366,109
ماريلاند 6,045,680 10 1.654 3,022,841 3,022,839
أوريغون 4,217,737 7 1.660 2,108,869 2,108,868
ويسكونسن 5,822,434 10 1.717 2,911,218 2,911,216
لويزيانا 4,648,794 8 1.721 2,324,398 2,324,396
كارولينا الجنوبية 5,148,714 9 1.748 2,574,358 2,574,356
أوكلاهوما 3,956,971 7 1.769 1,978,486 1,978,485
مينيسوتا 5,639,632 10 1.773 2,819,817 2,819,815
كنتاكي 4,467,673 8 1.791 2,233,837 2,233,836
ألاباما 4,903,185 9 1.836 2,451,593 2,451,592
يوتا 3,205,958 6 1.872 1,602,980 1,602,978
أيوا 3,155,070 6 1.902 1,577,536 1,577,534
نيفادا 3,080,156 6 1.948 1,540,079 1,540,077
كونيتيكت 3,565,287 7 1.963 1,782,644 1,782,643
أركنساس 3,017,825 6 1.988 1,508,913 1,508,912
ميسيسيبي 2,976,149 6 2.016 1,488,075 1,488,074
كانساس 2,913,314 6 2.060 1,456,658 1,456,656
أيداهو 1,787,065 4 2.238 893,533 893,532
نيو مكسيكو 2,096,829 5 2.385 1,048,415 1,048,414
نبراسكا 1,934,408 5 2.585 967,205 967,203
ولاية فرجينيا الغربية 1,792,147 5 2.790 896,074 896,073
مونتانا 1,068,778 3 2.807 534,390 534,388
هاواي 1,415,872 4 2.825 707,937 707,935
نيو هامبشاير 1,359,711 4 2.942 679,856 679,855
مين 1,344,212 4 2.976 672,107 672,105
ديلاوير 973,764 3 3.081 486,883 486,881
داكوتا الجنوبية 884,659 3 3.391 442,330 442,329
رود آيلاند 1,059,361 4 3.776 529,681 529,680
داكوتا الشمالية 762,062 3 3.937 381,032 381,030
ألاسكا 731,545 3 4.101 365,773 365,772
دي سي 705,749 3 4.251 352,875 352,874
فيرمونت 623,989 3 4.808 311,995 311,994
وايومنغ 578,759 3 5.184 289,380 289,379
المجموع 328,300,544 538 71,215,374 257,085,170

مصادر:

بافتراض أن خروج سبعة لاعبين لم يتسبب في خسارة الرهان الناري، فكم عدد اللفات التي ستستغرق للفوز بكل النقاط الست، في المتوسط؟

مجهول

الجواب هو 219.149467.

هناك طريقتان أفكر بهما لحل هذه المشكلة. الأولى هي استخدام سلسلة ماركوف. يوضح الجدول التالي عدد الرميات المتوقعة المطلوبة من أي حالة من الحالات الـ ١٢٨ الممكنة.

رهان النار - سلسلة ماركوف

النقطة 4
صنع		 النقطة 5
صنع		 النقطة 6
صنع		 النقطة 8
صنع		 النقطة 9
صنع		 النقطة 10
صنع		 مُتوقع
لفات
لا لا لا لا لا لا 219.149467
لا لا لا لا لا نعم 183.610129
لا لا لا لا نعم لا 208.636285
لا لا لا لا نعم نعم 168.484195
لا لا لا نعم لا لا 215.452057
لا لا لا نعم لا نعم 177.801038
لا لا لا نعم نعم لا 203.975216
لا لا لا نعم نعم نعم 160.639243
لا لا نعم لا لا لا 215.452057
لا لا نعم لا لا نعم 177.801038
لا لا نعم لا نعم لا 203.975216
لا لا نعم لا نعم نعم 160.639243
لا لا نعم نعم لا لا 211.272344
لا لا نعم نعم لا نعم 170.911638
لا لا نعم نعم نعم لا 198.520513
لا لا نعم نعم نعم نعم 150.740559
لا نعم لا لا لا لا 208.636285
لا نعم لا لا لا نعم 168.484195
لا نعم لا لا نعم لا 196.113524
لا نعم لا لا نعم نعم 149.383360
لا نعم لا نعم لا لا 203.975216
لا نعم لا نعم لا نعم 160.639243
لا نعم لا نعم نعم لا 189.938796
لا نعم لا نعم نعم نعم 137.865939
لا نعم نعم لا لا لا 203.975216
لا نعم نعم لا لا نعم 160.639243
لا نعم نعم لا نعم لا 189.938796
لا نعم نعم لا نعم نعم 137.865939
لا نعم نعم نعم لا لا 198.520513
لا نعم نعم نعم لا نعم 150.740559
لا نعم نعم نعم نعم لا 182.290909
لا نعم نعم نعم نعم نعم 121.527273
نعم لا لا لا لا لا 183.610129
نعم لا لا لا لا نعم 136.890807
نعم لا لا لا نعم لا 168.484195
نعم لا لا لا نعم نعم 113.177130
نعم لا لا نعم لا لا 177.801038
نعم لا لا نعم لا نعم 126.849235
نعم لا لا نعم نعم لا 160.639243
نعم لا لا نعم نعم نعم 98.046264
نعم لا نعم لا لا لا 177.801038
نعم لا نعم لا لا نعم 126.849235
نعم لا نعم لا نعم لا 160.639243
نعم لا نعم لا نعم نعم 98.046264
نعم لا نعم نعم لا لا 170.911638
نعم لا نعم نعم لا نعم 113.931818
نعم لا نعم نعم نعم لا 150.740559
نعم لا نعم نعم نعم نعم 75.954545
نعم نعم لا لا لا لا 168.484195
نعم نعم لا لا لا نعم 113.177130
نعم نعم لا لا نعم لا 149.383360
نعم نعم لا لا نعم نعم 80.208000
نعم نعم لا نعم لا لا 160.639243
نعم نعم لا نعم لا نعم 98.046264
نعم نعم لا نعم نعم لا 137.865939
نعم نعم لا نعم نعم نعم 53.472000
نعم نعم نعم لا لا لا 160.639243
نعم نعم نعم لا لا نعم 98.046264
نعم نعم نعم لا نعم لا 137.865939
نعم نعم نعم لا نعم نعم 53.472000
نعم نعم نعم نعم لا لا 150.740559
نعم نعم نعم نعم لا نعم 75.954545
نعم نعم نعم نعم نعم لا 121.527273
نعم نعم نعم نعم نعم نعم 0.000000

باختصار، فإن اللفائف المتوقعة من أي حالة معينة هي اللفائف المتوقعة حتى يتم الحصول على نقطة أو خسارتها (5.063636) بالإضافة إلى عدد اللفات المتوقعة إذا تقدم اللاعب إلى حالة أخرى، مقسومًا على احتمال عدم التقدم في الحالة.

الطريقة الأخرى تستخدم حساب التكامل. أولاً، احسب الرميات المتوقعة لكل نتيجة محتملة. ثم احسب حاصل الضرب النقطي لاحتمال كل حدث ومتوسط الرميات للحصول على متوسط الرميات لحل رهان خط النجاح، والذي يظهر في الزاوية اليمنى السفلية وهو 3.375758 = 557/165.

رهان النار - اللفات المتوقعة

حدث احتمال متوسط عدد اللفات اللفات المتوقعة
فوز النقطة 4 0.027778 5 0.138889
فوز بالجزء الخامس 0.044444 4.6 0.204444
فوز الجزء السادس 0.063131 4.272727 0.269743
فوز الجزء الثامن 0.063131 4.272727 0.269743
فوز الجزء التاسع 0.044444 4.6 0.204444
فوز الجزء العاشر 0.027778 5 0.138889
خسارة الجزء الرابع 0.055556 5 0.277778
خسارة الجزء الخامس 0.066667 4.6 0.306667
خسارة الجزء السادس 0.075758 4.272727273 0.323691
خسارة الجزء الثامن 0.075758 4.272727273 0.323691
خسارة الجزء التاسع 0.066667 4.6 0.306667
خسارة الجزء العاشر 0.055556 5 0.277778
تعال واربح لفة 0.222222 1 0.222222
خسارة لفة الخروج 0.111111 1 0.111111
المجموع 1.000000 3.375758

ومن هناك يمكننا الحصول على اللفات المتوقعة بين أي نقطة فوز معينة:

  • اللفات بين نقطة 4 فائزة = (3/36) * (3/9) * 5 * (557/165) = 6684/55 = تقريبًا 121.527273.
  • اللفات بين نقطة 5 فائزة = (4/36) * (4/10) * 4.6 * (557/165) = 1671/21 = حوالي 75.954545.
  • الرميات بين نقطة 6 فائزة = (5/36) * (5/11) * (47/11) * (557/165) = 6684/125 = حوالي 53.472.

النتائج المتوقعة للفائز بـ 10 و9 و8 نقاط هي نفسها للفائز بـ 4 و5 و6 على التوالي.

لنفترض أنه بدلًا من أن يحدث فائز بنسبة 0.4 على أساس منفصل، فإنه يتبع توزيعًا أُسيًا بمتوسط 6684/55. احتمالية عدم حدوث هذا المتغير العشوائي لمدة x وحدات زمنية هي exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

احتمال حدوث ذلك خلال x وحدات من الزمن، مرة واحدة على الأقل، هو 1-exp(-55x/6684).

إذا مثلنا جميع النقاط الست كمتغيرات مستمرة، فإن احتمال حدوث كل هذه النقاط الست خلال x وحدات من الزمن هو (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

احتمال عدم وقوع حدث واحد على الأقل من الأحداث الستة خلال x وحدات زمنية هو 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

يمكننا الحصول على الوقت المتوقع لحدوث جميع الأحداث الستة عن طريق دمج ما سبق من 0 إلى ما لا نهاية.

إن استخدام هذه الآلة الحاسبة التكاملية يعطي إجابة 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = تقريبًا 219.1494672902.

من الصعب تفسير سبب نجاح هذا الأمر، لذا يرجى أخذ هذا الجزء على محمل الإيمان.