اسأل الساحر #332

دع a(x) = عدد الطرق لتكوين x سنتات، باستخدام البنسات والنيكل فقط، حيث x هو عدد قابل للقسمة على 5.

أ(س) = 1+(س/5)

بعبارة أخرى، عدد الطرق هو عدد النيكلات المحتملة في التغيير، والتي تتراوح من 0 إلى x/5.

دع b(x) = عدد الطرق لتكوين x سنتات، باستخدام البنسات والنيكل والدايمات فقط، حيث x هو عدد قابل للقسمة على 5.

ب(0)=1
ب(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10)، حيث x>=10.

باللغة الإنجليزية البسيطة، عدد الطرق لتكوين x سنتات، هو مجموع (1) b(x-10) = عدد الطرق لتكوين x-10 سنتات عن طريق إضافة عشرة سنتات إلى كل طريقة و(2) a(x) = عدد الطرق التي لا تستخدم عشرة سنتات.

دع c(x) = عدد الطرق لتكوين x سنتات، باستخدام البنسات، والنيكل، والدايم، والربع دولار فقط حيث x قابل للقسمة على 25.

ج(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25)، حيث x>=25.

باللغة الإنجليزية البسيطة، عدد الطرق لتكوين x سنتات، هو مجموع (1) c(x-25) = عدد الطرق لتكوين x-25 سنتًا عن طريق إضافة ربع دولار إلى كل طريقة و(2) b(x) = عدد الطرق التي لا تستخدم فيها أي أرباع دولار.

دع d(x) = عدد الطرق لتكوين x سنتات، باستخدام البنسات، والنيكل، والدايم، والربع دولار، ونصف الدولار فقط حيث أن x قابل للقسمة على 50.

د(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50)، حيث x>=50.

باللغة الإنجليزية البسيطة، عدد الطرق لكسب x سنتات، هو مجموع (1) d(x-50) = عدد الطرق لكسب x-50 سنتًا عن طريق إضافة نصف دولار إلى كل طريقة و(2) c(x) = عدد الطرق دون استخدام نصف دولار.

فيما يلي جدول يوضح هذه القيم لـ x = 5 إلى 100.

وأخيرًا، أضف واحدًا لعملة الدولار الواحد، والإجابة هي 292 + 1 = 293.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

يمكنك أن تتوقع أن يكون عدد المرات التي تهبط فيها الكرة في الفترة من 1 إلى 12 هو 3000 * (12/38) = 947.37.

الفرق بين نتائجك وتوقعاتك هو 947.37 - 742 = 205.37.

التباين هو 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648.20.

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين = sqrt(648.20) = 25.46.

نتائجك هي 205.37/25.46 = 11.75 انحرافًا معياريًا جنوب التوقعات.

قيمة p، أو احتمال الانحراف عن الانحراف المعياري بمقدار 11.75 أو أكثر، هي 1 من 28,542,806,257,940,300,000,000,000,000,000,000.

سأكون مهتمًا بمعرفة مكان العجلة.

دعونا نتجاهل تقسيم العشرات، لأنه حتى مع هذه القاعدة، يجب على اللاعب أن يظل واقفًا على 20 ضد أي شيء.

بافتراض وجود ستة مجموعات من البطاقات، فإن احتمال الحصول على زوج من الآسات هو combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48,516 = 0.5689%.

العدد المتوقع للآسين اللذين سيتطوران إلى بلاك جاك هو 2*(16*6)/(312-2) = 0.619355.

احتمال عدم وجود بلاك جاك لدى الموزع هو 1 - (16*6)*(4*6-2)/مجموعة(52*6-2,2) = 95.590354%.

احتمال أن يسحب الموزع ٢١ نقطة هو ٧٫٧٩٨١٪. حسابات ذلك معقدة للغاية بحيث يصعب شرحها.

احتمال أن تكون القاعدة مفيدة هو 0.5689% * 95.590354% * (1-7.7981%) = 0.3368044%.

الفائدة لكل حادث = Pr (الموزع لا يحصل على 21 نقطة) * (0.2) + Pr (الموزع يحصل على 21 نقطة) * 1.2 = (1-0.122077839) * 0.2 + 0.122077839 * 1.2 = 0.3220778.

الفائدة الإجمالية للقاعدة هي حاصل ضرب تكرار حدوث الموقف والفائدة عند حدوثه = 0.003368044 * 0.322077839 = 0.11%.

[spoiler=إجابة]

النرد 1 = 1،2،2،3،3،4.
النرد 2 = 1،3،4،5،6،8.

أخشى أن حلي لهذه المشكلة كان عبارة عن تجربة وخطأ إلى حد كبير.

كتذكير، فيما يلي جداول الرواتب المذكورة:

البط ليس قبيحًا جدًا: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800.
تعادل إلينوي: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

فيما يلي جدول العائدات لـ Not so Ugly Ducks، باتباع الاستراتيجية المثلى لتلك اللعبة.

إليكم جدول عوائد إلينوي ديوسز، باستخدام الاستراتيجية الصحيحة لجدول الأرباح. تُظهر الخلية اليمنى السفلية عائدًا قدره ٠٫٩٨٩١٣١.

يوضح الجدول التالي جدول العائد باستخدام التركيبات والاحتمالات من "البط غير القبيح" في جدول ربح إلينوي ديوسز. تُظهر الخلية اليمنى السفلية عائدًا قدره 0.989131.

تكلفة الأخطاء هي العائد الأمثل لـ Illinois Deuces (الجدول الثاني) مطروحًا منه العائد لـ Illinois Deuces باستخدام استراتيجية NSUD (الجدول الثالث) = 0.989131 - 0.989038 = 0.000093.