اسأل الساحر #339

سؤال جيد! لحسن الحظ، يوجد تطبيق NFL Scorigami الذي يُظهر لنا عدد جميع مجموعات النتائج في تاريخ NFL.

أنا متأكد من أن المؤمنين بالتكرارية سوف يكرهون إجابتي، ولكن كان عليّ أن أقوم ببعض الافتراضات للحصول على احتمالية حدوث حدث لم يحدث أبدًا.

أولًا، للحصول على نتيجة فردية لكل فريق، راجعتُ مباريات دوري كرة القدم الأمريكية (NFL) التاريخية، وتحديدًا المباريات بين عامي ١٩٩٤ و٢٠١٨. سبب اختياري لعام ١٩٩٤ هو أنه العام الذي بدأ فيه تطبيق قاعدة تحويل النقطتين، مما يُفترض أن يُحسّن توزيع نتائج الفرق الفردية قليلًا. انتهيتُ في عام ٢٠١٨ لأنه كان الحد الأقصى للبيانات المتاحة لدي. هذا هو التوزيع.

ليس أن هذا مهم، ولكن متوسط نتيجة الفريق هو 21.60165.

ثانيًا، لكل نتيجة xy لم تحدث قط، حسبتُ الاحتمالية بـ 2×احتمال(x)×احتمال(y). لماذا نضرب في اثنين؟ لأن نتيجة xy يمكن أن تحدث بطريقتين. على سبيل المثال، قد تنتهي مباراة سوبر بول 55 بنتيجة كانساس سيتي x - تامبا باي y، أو كانساس سيتي y - تامبا باي x. قد لا تنتهي مباراة سوبر بول بالتعادل، لذا لا داعي للقلق بشأن نتائج xx. لو فعلنا ذلك، لما ضربنا في 2.

على سبيل المثال، لم يحدث قط نتيجة ١١-١٥. أضع احتمالية الحصول على ١١ عند ٠.٠٠٢٥٣٩ و١٥ عند ٠.٠١٠١٥٧. هذا يعني أن احتمالية الحصول على نتيجة ١١-١٥ هي ٢×٠.٠٠٢٥٣٩×٠.٠١٠١٥٧ = ٠.٠٠٠٠٥١٥٨٣٥.

عند تطبيق هذا على كل نتيجة لم تحدث، يكون الاحتمال الإجمالي ٠٫٠١٧٩٢٥١. الحدّ الأمثل للرهان على ذلك هو +٥٤٧٩، أي حوالي ٥٥ إلى ١. لذا، فإنّ المراهنة بنسبة ١١ إلى ١ فقط رهان ممتاز! أتمنى لو كان بإمكاني الوصول إليه.

أعترف أن هذا يُعطي صفرًا لاحتمالية حصول أيٍّ من الفريقين على نقطة واحدة، وهو أمر لم يحدث قط، ولكنه ممكن. نعم، هناك ما يُسمى بنقطة أمان واحدة . أعتقد أن احتمالية حصول أيٍّ من الفريقين على نقطة واحدة ضئيلة للغاية.

في الواقع، كان احتمال الفوز في مباراة السوبر بول 55 هو 56.5. مباراة عالية النتائج كهذه ستزيد من احتمالية فوز سكوريجامي. لو اضطررتُ لتقدير ذلك، لقلتُه 2%، أي بنسبة 49 إلى 1.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=الحل]

هناك طريقة سهلة للحصول على مثل هذه الإجابات في جدول بيانات. لتوضيح ذلك، لنفترض سؤالاً بديلاً: ما احتمال الحصول على مجموع ٢٠ باستخدام ثمانية نرد؟

بالنسبة لعمود "النرد 1" هناك طريقة واحدة واضحة لتدوير كل إجمالي من 1 إلى 6.

لكل خلية لحجرَي نرد أو أكثر، انتقل إلى خلية واحدة إلى اليسار، ثم أضف الخلايا الست التي فوقها. يجب أن يكون سبب نجاح هذه العملية واضحًا. انسخ هذه الصيغة والصِقها في الخلية لثمانية أحجار نرد، ليصبح المجموع ٢٠.

كما ترى، مجموع الأرقام في الخلية هو 36,688. هناك 8 ⁶ = 262,144 طريقة لرمي ثمانية أحجار نرد سداسية الأوجه. هذا يجعل احتمال الحصول على مجموع 20 بثمانية أحجار نرد هو 36688 / 262,144 = 0.139954.

وباستخدام نفس المنطق، فإن احتمال الحصول على مجموع 53 مع 20 نردًا هو 0.059511.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=الحل]

يترك:
t = الوقت منذ نفاد وقود الصاروخ.
r = الوقت الذي استمر فيه وقود الصاروخ.

سأعبّر عن التسارع باتجاه تصاعدي. إذًا، التسارع بعد احتراق وقود الصاروخ يساوي -9.8.

للتذكير، تكامل التسارع هو السرعة، وتكامل السرعة هو الموقع. لنحسب الموقع بالنسبة للأرض.

عندما تم إطلاق الصاروخ لأول مرة، علمنا أن التسارع هو 4.

بأخذ التكامل، فإن سرعة الصاروخ بعد r ثانية تساوي 4r.

بأخذ تكامل السرعة نحصل على موقع الصاروخ بعد r ثانية من 2r ² .

الآن دعونا ننظر إلى ما يحدث بعد احتراق وقود الصاروخ.

لقد علمنا أن تسارع الجاذبية يساوي -9.8.

سرعة الجاذبية الأرضية عند اللحظة t هي -9.8t. ومع ذلك، لها أيضًا سرعة تصاعدية قدرها 4r من الصاروخ.

ليكن v(t) = السرعة عند الزمن t

v(t) = -9.8t + 4r

سيصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع عندما يكون v(t) = 0. دعنا نحل ذلك.

v(t) = 0 = -9.8t + 4r
4r = 9.8t
t = 40/98 r = 20r/49.

بمعنى آخر، مهما كان الوقت الذي يستمر فيه وقود الصاروخ، فإن الصاروخ سيستمر في السفر إلى الأعلى لمدة 20/49 من ذلك الوقت.

وقد أعطينا أيضًا المسافة المقطوعة عند أقصى ارتفاع تم تحقيقه وهو 138.

لنأخذ تكامل v(t) للحصول على صيغة المسافة المقطوعة، والتي سنسميها d(t).

d(t) = -4.9t ² + 4rt + c، حيث c هو ثابت التكامل.

كما أوضحنا سابقًا، قطع الصاروخ مسافة 2r ² عند احتراق الوقود، لذا لا بد أن يكون هذا ثابت التكامل. وهذا يعطينا:

d(t) = -4.9t ² + 4rt + 2r ²

نحن نعلم أن الارتفاع الأقصى 138 تم الوصول إليه في الوقت 20r/49، لذا دعنا ندخل t=20r/49 في المعادلة لحل r:

د ((20 ص / 49) = -4.9 ((20 ص / 49) ² + 4 ص (20 ص / 49) + 2 ص ² = 138

r ² *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

r ² = 49

ر = 7

لذا، فإن وقود الصاروخ استمر لمدة سبع ثوان.

نحن نعلم بالفعل أن الصاروخ استمر في الارتفاع لمدة 20/49 من ذلك الوقت، وهو ما يعادل 140/49 = تقريبًا 2.8571 ثانية.

وبالتالي، فإن الوقت من الإطلاق إلى السرعة القصوى هو 7 + 140/49 = 483/49 = حوالي 9.8571 ثانية

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .