WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #340

إذا قام الكازينو بزيادة الفوز في رهان التعادل إلى 9 إلى 1، فوق المعتاد 8 إلى 1، فما مقدار الرهان الإضافي الذي سيحتاجه على التعادل للحصول على نفس الفوز المتوقع؟

dandolos2000

احتمال التعادل في لعبة الباكارات هو 0.095155968.

في حالة الفوز المعتاد بنسبة 8 إلى 1، فإن العائد المتوقع للاعب هو 0.095156 × (8+1) - 1 = -0.143596.

في حالة فوز 9 إلى 1، فإن العائد المتوقع للاعب هو 0.095156 × (9+1) - 1 = --0.048440.

خسارة اللاعب المتوقعة هي 0.143596/0.048440 = 2.9643960 مرة أعلى عند فوز 8 إلى 1. وبالتالي، سيحتاج الكازينو إلى 2.9643960 مرة أكثر في حالة التعادل إذا زاد الفوز إلى 9 إلى 1 ليكون فوز الكازينو المتوقع هو نفسه.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

لنفترض أن هناك صندوقًا فيه مئة كرة مرقمة من ١ إلى ١٠٠. سُحبت عشر كرات عشوائيًا دون استبدال. ما هو متوسط عدد الكرات الأقل سحبًا؟

ThatDonGuy

يوضح الجدول التالي عدد التركيبات، والاحتمال، والمساهمة في أصغر كرة (حاصل ضرب الكرة في الاحتمال). تُظهر الخلية اليمنى السفلية أن أصغر كرة متوقعة هي 9.1818182.

الكرة الأدنى

أدنى
كرة		 التركيبات احتمال مُتوقع
كرة منخفضة
1 1,731,030,945,644 0.100000 0.100000
2 1,573,664,496,040 0.090909 0.181818
3 1,429,144,287,220 0.082560 0.247681
4 1,296,543,270,880 0.074900 0.299600
5 1,174,992,339,235 0.067878 0.339391
6 1,063,677,275,518 0.061448 0.368686
7 961,835,834,245 0.055564 0.388950
8 868,754,947,060 0.050187 0.401497
9 783,768,050,065 0.045278 0.407498
10 706,252,528,630 0.040800 0.407995
11 635,627,275,767 0.036720 0.403915
12 571,350,360,240 0.033006 0.396076
13 512,916,800,670 0.029631 0.385199
14 459,856,441,980 0.026565 0.371917
15 411,731,930,610 0.023785 0.356780
16 368,136,785,016 0.021267 0.340271
17 328,693,558,050 0.018988 0.322801
18 293,052,087,900 0.016929 0.304728
19 260,887,834,350 0.015071 0.286354
20 231,900,297,200 0.013397 0.267933
21 205,811,513,765 0.011890 0.249680
22 182,364,632,450 0.010535 0.231771
23 161,322,559,475 0.009319 0.214347
24 142,466,675,900 0.008230 0.197524
25 125,595,622,175 0.007256 0.181388
26 110,524,147,514 0.006385 0.166007
27 97,082,021,465 0.005608 0.151425
28 85,113,005,120 0.004917 0.137673
29 74,473,879,480 0.004302 0.124766
30 65,033,528,560 0.003757 0.112708
31 56,672,074,888 0.003274 0.101491
32 49,280,065,120 0.002847 0.091100
33 42,757,703,560 0.002470 0.081512
34 37,014,131,440 0.002138 0.072701
35 31,966,749,880 0.001847 0.064634
36 27,540,584,512 0.001591 0.057276
37 23,667,689,815 0.001367 0.050589
38 20,286,591,270 0.001172 0.044534
39 17,341,763,505 0.001002 0.039071
40 14,783,142,660 0.000854 0.034160
41 12,565,671,261 0.000726 0.029762
42 10,648,873,950 0.000615 0.025837
43 8,996,462,475 0.000520 0.022348
44 7,575,968,400 0.000438 0.019257
45 6,358,402,050 0.000367 0.016529
46 5,317,936,260 0.000307 0.014132
47 4,431,613,550 0.000256 0.012032
48 3,679,075,400 0.000213 0.010202
49 3,042,312,350 0.000176 0.008612
50 2,505,433,700 0.000145 0.007237
51 2,054,455,634 0.000119 0.006053
52 1,677,106,640 0.000097 0.005038
53 1,362,649,145 0.000079 0.004172
54 1,101,716,330 0.000064 0.003437
55 886,163,135 0.000051 0.002816
56 708,930,508 0.000041 0.002293
57 563,921,995 0.000033 0.001857
58 445,891,810 0.000026 0.001494
59 350,343,565 0.000020 0.001194
60 273,438,880 0.000016 0.000948
61 211,915,132 0.000012 0.000747
62 163,011,640 0.000009 0.000584
63 124,403,620 0.000007 0.000453
64 94,143,280 0.000005 0.000348
65 70,607,460 0.000004 0.000265
66 52,451,256 0.000003 0.000200
67 38,567,100 0.000002 0.000149
68 28,048,800 0.000002 0.000110
69 20,160,075 0.000001 0.000080
70 14,307,150 0.000001 0.000058
71 10,015,005 0.000001 0.000041
72 6,906,900 0.000000 0.000029
73 4,686,825 0.000000 0.000020
74 3,124,550 0.000000 0.000013
75 2,042,975 0.000000 0.000009
76 1,307,504 0.000000 0.000006
77 817,190 0.000000 0.000004
78 497,420 0.000000 0.000002
79 293,930 0.000000 0.000001
80 167,960 0.000000 0.000001
81 92,378 0.000000 0.000000
82 48,620 0.000000 0.000000
83 24,310 0.000000 0.000000
84 11,440 0.000000 0.000000
85 5,005 0.000000 0.000000
86 2,002 0.000000 0.000000
87 715 0.000000 0.000000
88 220 0.000000 0.000000
89 55 0.000000 0.000000
90 10 0.000000 0.000000
91 1 0.000000 0.000000
المجموع 17,310,309,456,440 1.000000 9.181818

هناك طريقة أسهل لحل مسائل كهذه، حيث تكون قيمة الكرة الأصغر هي 1. صيغة الكرة الأصغر هي (م+1)/(ب+1)، حيث م هي أقصى قيمة للكرة و ب هي عدد الكرات. في هذه الحالة، م=100 و ن=10، لذا فإن قيمة الكرة الأصغر هي 101/11 = 9.181818.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

ظهر اللغز التالي في صحيفة نيويورك تايمز بتاريخ 6 مارس 2021.

القواعد بسيطة جدًا:

  1. يجب أن يحتوي كل صف وعمود ومنطقة على نجمتين بالضبط.
  2. لا يجوز أن يلمس نجمان بعضهما البعض، حتى ولو بشكل قطري.

هل يمكنك المساعدة في الحل؟

مجهول

هذا لغز "اثنان لا يلمسان بعضهما". الزر أدناه يعرض إجابتي وحلّها.

حل مشكلتين لا تلامسان

 

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

ما هو العدد المتوقع من رميات حجر نرد عادل ذي ستة أوجه بحيث يتم رمي أي وجه ست مرات؟

Ace2

انقر على الزر أدناه للحصول على إجابتي.

الإجابة هي 2597868106693535971 / 131621703842267136 = التقريب: 19.73738396371749

وهنا الحل الخاص بي (PDF).