اسأل الساحر #342

لنبدأ بـ 100% ونطرح الاحتمالات التي تؤدي إلى أقل من أربع بدلات.

ما احتمال عدم احتواء الـ ٤٨ بطاقة على قلب، على سبيل المثال؟ هناك ٣٦ بطاقة ليست قلبًا. عدد طرق اختيار ١٥ بطاقة من أصل ٣٦ هو combin(٣٦، ١٥) = ٥,٥٦٧,٩٠٢,٥٦٠. عدد طرق اختيار ١٥ بطاقة من أصل ٤٨ هو ١,٠٩٣,٢٦٠,٠٧٩,٣٤٤. لذا، فإن احتمال عدم احتواء ١٥ بطاقة على قلب هو ٥,٥٦٧,٩٠٢,٥٦٠ / ١,٠٩٣,٢٦٠,٠٧٩,٣٤٤ = ٠.٠٠٥٠٩٣.

الآن، دعنا نضرب ذلك في أربعة، للحصول على احتمال تفويت أي نوع، وليس القلوب فقط: 4 × combin(36,15)/combin(48,15) = 0.02037174.

مع ذلك، يُحسب هذا مرتين في بعض الحالات. لنفترض أن لدينا ١٥ بطاقة سوداء. سيؤدي ذلك إلى حذف كلٍّ من القلوب والماس. سنحسب هذه الحالة مرتين. لذا، علينا تصحيح ذلك. هناك combin(4,2) = ٦ طرق لاختيار نوعين من أصل أربع بطاقات. احتمال أن تكون جميع البطاقات الـ ١٥ من أي نوعين محددين هو combin(24,15)/combin(48,15) = ١٣٠٧٥٠٤/١,٠٩٣,٢٦٠,٠٧٩,٣٤٤ = ٠.٠٠٠٠١٢٠. كما ذكرنا، هناك ست طرق لاختيار نوعين من أصل أربع بطاقات، لذا فإن عدد الطرق التي ستكون بها جميع البطاقات من نوعين هو ٦ × combin(24,15)/combin(48,15) = ٠.٠٠٠٠٧١٨.

بطرح ما حسبناه مرتين، نحصل على احتمال تمثيل بدلتين أو ثلاث بدل من 0.02037174 - 0.00000718 = 0.02036456.

لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى القلق بشأن تمثيل بدلة واحدة، لأنه من المستحيل اختيار 15 بطاقة من أصل 12.

كخطوة أخيرة، اطرح احتمال وجود 2 أو 3 بدلات من 100% للحصول على احتمال تمثيل جميع البدل الأربع: 1.00000000 - 0.02037174 = 0.97963544.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

من السهل إدراك أن هدف هذا النظام هو تغطية معظم الأرقام، لذا فهو طريقة لعب روليت منخفضة المخاطر نسبيًا. إليك ما يمكنك المراهنة عليه في كل دورة:

• 5 دولارات لكل من 3، 16، 24، 28، و33.
• قم بوضع رهان زاوية على كل من هذه المجموعات من الأرقام: 2/3/5/6، 7/8/10/11، 14/15/17/18، 19/20/22/23، 26/27/29/30، 31/32/34/35.

لاحظ أن هذا لا يشمل الأرقام التسعة التالية: 0، 00، 4، 9، 12، 13، 21، 25، و36.

يوضح جدول العائد التالي احتمالية ومساهمة كل النتائج الممكنة في العائد.

تُظهر الخلية اليمنى السفلية خسارة متوقعة قدرها 9.21 دولارًا أمريكيًا لكل دورة. يبلغ إجمالي مبلغ الرهان لكل دورة 175 دولارًا أمريكيًا. ينتج عن ذلك ميزة للكازينو قدرها 9.21 دولارًا أمريكيًا / 175 دولارًا أمريكيًا = 5.26%، وهي ميزة للكازينو في لعبة الروليت ذات الصفر المزدوج.

أود أن أضيف أنك ستخسر على الأرجح أكثر مما ستسترد من المكافآت باستخدام هذه الاستراتيجية، أو أي استراتيجية روليت أخرى. القاعدة العامة هي أن الكازينوهات سترد لك حوالي ثلث خسارتك المتوقعة من المكافآت. هناك طرق لخداع الكازينوهات بأن خسارتك المتوقعة أكبر مما هي عليه في الواقع، لكن لعب هذه الاستراتيجية ليس من بينها.

أتمنى أن تكون سعيدًا (يقول ذلك مازحًا)؛ لقد أمضيت ساعات في حل هذه المشكلة ولا أستطيع تقديم حل لها.

مع ذلك، يمكن العثور على الإجابة في مقال "الرياضيات المُحيرة وراء لعبة Spot It!، لعبة البطاقات العائلية المحبوبة" . في حالة وجود n رمز، حيث يتداخل أي رمزين مرة واحدة فقط، يكون الحد الأقصى لعدد البطاقات هو n^2 - n + 1. في هذه الحالة، n=8، لذا فإن أقصى عدد للبطاقات هو 8^2 - 8 + 1 = 57. تستخدم اللعبة الفعلية 55 بطاقة. أتخيل أنهم اختاروا عشوائيًا حذف اثنين من التركيبات الممكنة.

شخصيًا، لم أصل إلى سبب كون الصيغة n^2 -n + 1 صحيحة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .