اسأل الساحر #345

إذا قمت بتوزيع 13 بطاقة من مجموعة بطاقات مختلطة (من المفترض أنها عشوائية)، فكم عدد الرتب المختلفة التي يجب أن أتوقع رؤيتها؟

Suited89

الإجابة هي 9.05037214885954 رتبة.

[spoiler=الحل]

هذه مشكلة من نوع سلسلة ماركوف إذا كان هناك واحدة على الإطلاق.

يوضح الجدول التالي عدد الرتب المتوقعة من 0 إلى 4 بطاقات لجميع أعداد البطاقات الموزعة من 1 إلى 52.

الرتب المتوقعة حسب البطاقات الموزعة

بطاقات	0 رتبة	1 رتبة	2 رتب	3 رتب	4 رتب	مُتوقع الرتب
1	12.000000	1.000000	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000
2	11.058824	1.882353	0.058824	0.000000	0.000000	1.941176
3	10.174118	2.654118	0.169412	0.002353	0.000000	2.825882
4	9.343577	3.322161	0.324994	0.009220	0.000048	3.656423
5	8.564946	3.893157	0.519088	0.022569	0.000240	4.435054
6	7.836014	4.373589	0.745498	0.044178	0.000720	5.163986
7	7.154622	4.769748	0.998319	0.075630	0.001681	5.845378
8	6.518655	5.087731	1.271933	0.118319	0.003361	6.481345
9	5.926050	5.333445	1.561008	0.173445	0.006050	7.073950
10	5.374790	5.512605	1.860504	0.242017	0.010084	7.625210
11	4.862905	5.630732	2.165666	0.324850	0.015846	8.137095
12	4.388475	5.693157	2.472029	0.422569	0.023770	8.611525
13	3.949628	5.705018	2.775414	0.535606	0.034334	9.050372
14	3.544538	5.671261	3.071933	0.664202	0.048067	9.455462
15	3.171429	5.596639	3.357983	0.808403	0.065546	9.828571
16	2.828571	5.485714	3.630252	0.968067	0.087395	10.171429
17	2.514286	5.342857	3.885714	1.142857	0.114286	10.485714
18	2.226939	5.172245	4.121633	1.332245	0.146939	10.773061
19	1.964946	4.977863	4.335558	1.535510	0.186122	11.035054
20	1.726771	4.763505	4.525330	1.751741	0.232653	11.273229
21	1.510924	4.532773	4.689076	1.979832	0.287395	11.489076
22	1.315966	4.289076	4.825210	2.218487	0.351261	11.684034
23	1.140504	4.035630	4.932437	2.466218	0.425210	11.859496
24	0.983193	3.775462	5.009748	2.721345	0.510252	12.016807
25	0.842737	3.511405	5.056423	2.981993	0.607443	12.157263
26	0.717887	3.246098	5.072029	3.246098	0.717887	12.282113
27	0.607443	2.981993	5.056423	3.511405	0.842737	12.392557
28	0.510252	2.721345	5.009748	3.775462	0.983193	12.489748
29	0.425210	2.466218	4.932437	4.035630	1.140504	12.574790
30	0.351261	2.218487	4.825210	4.289076	1.315966	12.648739
31	0.287395	1.979832	4.689076	4.532773	1.510924	12.712605
32	0.232653	1.751741	4.525330	4.763505	1.726771	12.767347
33	0.186122	1.535510	4.335558	4.977863	1.964946	12.813878
34	0.146939	1.332245	4.121633	5.172245	2.226939	12.853061
35	0.114286	1.142857	3.885714	5.342857	2.514286	12.885714
36	0.087395	0.968067	3.630252	5.485714	2.828571	12.912605
37	0.065546	0.808403	3.357983	5.596639	3.171429	12.934454
38	0.048067	0.664202	3.071933	5.671261	3.544538	12.951933
39	0.034334	0.535606	2.775414	5.705018	3.949628	12.965666
40	0.023770	0.422569	2.472029	5.693157	4.388475	12.976230
41	0.015846	0.324850	2.165666	5.630732	4.862905	12.984154
42	0.010084	0.242017	1.860504	5.512605	5.374790	12.989916
43	0.006050	0.173445	1.561008	5.333445	5.926050	12.993950
44	0.003361	0.118319	1.271933	5.087731	6.518655	12.996639
45	0.001681	0.075630	0.998319	4.769748	7.154622	12.998319
46	0.000720	0.044178	0.745498	4.373589	7.836014	12.999280
47	0.000240	0.022569	0.519088	3.893157	8.564946	12.999760
48	0.000048	0.009220	0.324994	3.322161	9.343577	12.999952
49	0.000000	0.002353	0.169412	2.654118	10.174118	13.000000
50	0.000000	0.000000	0.058824	1.882353	11.058824	13.000000
51	0.000000	0.000000	0.000000	1.000000	12.000000	13.000000
52	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000	13.000000	13.000000

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

في نصائح برمجة فيديو بوكر ، تشرح كيف أنه على الرغم من وجود 2,598,960 يد بداية محتملة في فيديو بوكر، مع مجموعة أوراق مكونة من 52 بطاقة، هناك فقط 134,459 فئة من الأيدي اللازمة للتحليل.

سؤالي هو كم عدد الفئات التي تحتوي على مجموعتين إلى ستة مجموعات من البطاقات؟

مجهول

في هذه الحالة، لجأتُ إلى زميلي الموقر، غاري كوهلر، الخبير في رياضيات فيديو بوكر. إليكم إجاباته، حسب عدد أوراق اللعب:

فئات الأيدي في لعبة فيديو بوكر

الطوابق	التركيبات	الفصول الدراسية
1	2,598,960	134,459
2	91,962,520	202,735
3	721,656,936	208,143
4	3,091,033,296	208,468
5	9,525,431,552	208,481
6	23,856,384,552	208,481

تم رمي خمسة نرد حمراء وخمسة نرد زرقاء. ما احتمال أن تكون النتيجة نفسها لكلا النردين، بغض النظر عن الترتيب؟ على سبيل المثال، النتيجة في كلتا الرميتين هي ١-٢-٣-٣-٦؟

مجهول

3,557 / 559,872 = 0.006353238، أو حوالي 1 / 157.

[spoiler=الحل]

يوضح الجدول التالي أي نوع من اللفائف:

عدد الطرق المختلفة لتحقيق هذه النتيجة. على سبيل المثال، للحصول على فول هاوس، هناك ست مجموعات للثلاثة من نفس النوع، وخمس مجموعات للزوج، بإجمالي 30 فول هاوس مختلفة.
عدد الطلبات. على سبيل المثال، للحصول على منزل كامل، هناك 10 طرق لاختيار ثلاثة من خمسة أحجار نرد للحصول على ثلاثة من نفس النوع. يجب أن يكون لدى الحجرين الآخرين زوج من الأحجار.
عدد طرق رمي النرد. هذا هو حاصل ضرب العمودين الأولين. على سبيل المثال، هناك 30 × 10 = 300 طريقة لرمي النرد (فول هاوس).
احتمالية الفوز. على سبيل المثال، في حالة "فول هاوس"، الاحتمال هو ٣٠٠/٦ = ^٠ ٫٠٣٨٥٨٠.
احتمال أن تكون كلتا الرميتين متماثلتين، وأن تكونا من اليد المعطاة. هذا هو الاحتمال من العمود الرابع مُربعًا مقسومًا على العمود الثاني. على سبيل المثال، احتمال أن تكون كلتا الرميتين فول هاوس هو 0.038580 ^2. ومع ذلك، فإن احتمال أن تكون كلتا الرميتين نفس البيت هو 1/30. لذا، فإن احتمال أن تكون كلتا الرميتين نفس الفول هاوس هو 0.038580 ^2/30 = 0.00004961.

تُظهر الخلية اليمنى السفلية إجمالي احتمالية أن تكون كلتا اللفافتين متماثلتين وهي 0.00635324.

لفة مطابقة

يكتب من لفة	مختلف أنواع	طلبات	المجموع التركيبات	احتمال لفة واحدة	احتمال لفافتين
خمسة من نوع واحد	6	1	6	0.00077160	0.00000010
أربعة من نفس النوع	30	5	150	0.01929012	0.00001240
منزل كامل	30	10	300	0.03858025	0.00004961
ثلاثة من نفس النوع	60	20	1200	0.15432099	0.00039692
زوجان	60	30	1800	0.23148148	0.00089306
زوج	60	60	3,600	0.46296296	0.00357225
خمسة مفردة	6	120	720	0.09259259	0.00142890
المجموع			7,776	1.00000000	0.00635324