اسأل الساحر #346

نعم. يُشير إلى تغيير في استراتيجية اللاعب الثاني إذا كانت نتيجة اللاعب الأول أعلى من ثلثي النتيجة.

دعونا نبسط الوضع إلى لعبة لاعبين، على النحو التالي:

• الحالة أ: المركز الثاني يحتوي على أقل من نصف المركز الأول.
• الموقف ب: اللاعب الثاني لديه ما بين 1/2 و 2/3 من المركز الأول.
• الحالة ج: المركز الثاني حصل على أكثر من ثلثي المركز الأول.

قبل أن أواصل، دعوني أذكّر القارئ بتغيير في قواعد لعبة "جيوباردي" يتعلق بالتعادل بعد المرحلة النهائية. لم يعد كلا اللاعبين يتقدمان، ولكن أصبح هناك الآن سؤال لكسر التعادل بالموت المفاجئ. هذا هو الوضع .

الوضع أ

ليكن A = 10000 دولار و B = 4000 دولار

لا ينبغي للاعب "أ" المخاطرة بالخسارة بمراهنة لا تزيد عن "أ-2ب-1". إذا لم يكن واثقًا من هذه الفئة، فيمكنه المراهنة بـ 0 دولار. في كلتا الحالتين، يضمن الفوز. في هذه الحالة، يجب على "أ" المراهنة بمبلغ يتراوح بين 0 و1999 دولارًا.

لا أمل للاعب "ب" إلا إذا راهن "أ" كثيرًا وأخفق. هنا، على "ب" أن يأخذ في الاعتبار نتيجة المركز الثالث ويحاول البقاء متفوقًا عليه، إن استطاع، ويفوز بـ ٢٠٠٠ دولار للمركز الثاني، بدلًا من ١٠٠٠ دولار للمركز الثالث.

الوضع ب

ليكن A = 10000 دولار و B = 6000 دولار

استراتيجية اللاعب (أ) هي توقع أن يراهن (ب) بكل شيء، وأن يراهن بما يكفي لتغطية 2B إذا كانت الإجابة صحيحة. مع ذلك، وللتأكد من سلامته، يجب ألا يراهن كثيرًا حتى لا ينخفض عن (ب) إذا كانت الإجابة خاطئة. في هذه الحالة، يجب أن يراهن على الأقل على 2B-A+1 وAB-1. في هذه الحالة، يتراوح النطاق بين 2001 دولار و3999 دولار.

استراتيجية "ب" هي الحصول على ما يكفي لاجتياز "أ" إذا كان صحيحًا، ورفع نتيجته الإجمالية. في هذه الحالة، 4001 دولار و6000 دولار.

إذا نفّذ كلا اللاعبين ما هو متوقع منهما واتبعا هذه الاستراتيجية، فلن يفوز اللاعب ب إلا إذا كان أ مخطئًا و ب مُصيبًا. احتمال ذلك حوالي ١٩٪.

الوضع ج

هنا تصبح الأمور أكثر تعقيدًا وتتضمن المزيد من نظرية الألعاب والعشوائية.

ليكن A=10,000 دولار و B=7,000 دولار.

قبل الخوض في التفاصيل، من المهم تقدير احتمالية الإجابة الصحيحة على لغز "الخطر النهائي". بناءً على المواسم من 30 إلى 34، كانت إجابة اللاعب صاحب المركز الأول صحيحة بنسبة 52%، بينما كانت إجابة اللاعب صاحب المركز الثاني صحيحة بنسبة 46%. مع ذلك، ترتبط هذه الاحتمالات ارتباطًا إيجابيًا. فيما يلي تفصيل لجميع الاحتمالات الأربعة:

• كلاهما صحيح: 27%
• المركز الأول صحيح، المركز الثاني غير صحيح: 25%
• المركز الأول غير صحيح، المركز الثاني صحيح: 19%
• كلاهما غير صحيح بنسبة 29%.

على الرغم من أن متوسط لعبة Jeopardy يبلغ 49% للاعبين الأولين، فإن احتمال أن يكون كلاهما على حق أو كلاهما على خطأ هو 56%.

بالطبع، يمكن أن تتغير هذه الاحتمالات بناءً على الفئة، ولكن دعونا نبقي الأمور بسيطة ونستخدم الاحتمالات المذكورة أعلاه.

في هذه الحالة، لا يضطر اللاعب ب إلى الاعتماد على خطأ أ وصواب ب. يمكنه المراهنة بمبلغ منخفض، مثلاً 0 دولار، مما يضمن الفوز إذا أخطأ أ. بمعنى آخر، إذا راهن أ بما يكفي لتغطية رهان ب، إذا كان مصيباً، فإنه يُخاطر بالخسارة تحت رهان ب إذا أخطأ وراهن ب 0 دولار.

مع ذلك، إذا تنبأ أ بأن ب سيراهن بمبلغ منخفض، لنقل 0 دولار، فيمكن لـ أ ضمان الفوز بمراهنته أيضًا بمبلغ 0 دولار. لكلا اللاعبين خياران: إما أن يكونا منخفضين أو مرتفعين. يجب أن يرغب أ في المراهنة بنفس طريقة ب، ويجب أن يرغب ب في المراهنة بعكس طريقة ب. لو كان كلا اللاعبين منطقيين بارعين، لكانا قد اتخذا قراراتهما عشوائيًا.

في هذه الحالة، يجب أن يكون أعلى رهان من قِبل A هو 2B-A+1 إلى AB-1، كما هو الحال في الحالة B. في هذه الحالة، يكون الرهان 2,999 دولارًا و4,001 دولارًا. أما الرهان المنخفض من قِبل A، فيكون 0 دولارًا.

يجب أن يكون الرهان المرتفع من قِبل (ب) مماثلاً للرهان في الحالة (ب)، مع رهانات كافية لتجاوز (أ) إذا كانت صحيحة. في هذه الحالة، 3001 دولار و7000 دولار. يجب أن يكون الرهان المنخفض من قِبل (ب) 0 دولار.

سامحني إذا تخطيت الرياضيات وانتقلت مباشرة إلى استراتيجيات التوزيع العشوائي لكلا اللاعبين.

يجب على اللاعب (أ) أن يختار الرهان العالي باحتمالية 62.3% والرهان المنخفض باحتمالية 37.7%.

يجب أن يكون اللاعب B مرتفعًا باحتمالية 61.2% ومنخفضًا باحتمالية 38.8%.

بافتراض أن كلا اللاعبين اتبعا استراتيجية التوزيع العشوائي هذه واحتمالات كون الاختيار صحيحًا المذكورة أعلاه، فإن احتمال فوز اللاعب (أ) هو 65.2%.

إذا كان لدى اللاعب أ أكثر من 2/3 من نقاط اللاعب ب، فإن احتمال فوزه سيرتفع إلى 81.0%.

يجب على كلا اللاعبين أن يأخذوا في الاعتبار أهمية قاعدة 2/3 عند المراهنة على Double Jeopardy.

في هذه الحالة، لجأتُ إلى زميلي الموقر، غاري كوهلر، الخبير في رياضيات فيديو بوكر. وكانت إجابته 15,019,680.

للإجابة على هذا السؤال كما فعلت، باستخدام حساب التفاضل والتكامل، أوصي باستخدام آلة حاسبة للتكامل مثل تلك الموجودة على integral-calculator.com/ .

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

تم طرح هذه المشكلة (بكلمات مختلفة قليلاً) ومناقشتها في منتدياتي في Wizard of Vegas .