اسأل الساحر #348

[spoiler=الحل] دع t ₁ = الوقت حتى العبور الأول
دع t ₂ = الوقت حتى العبور الثاني
r = نسبة سرعة العبارة التي تغادر فونتليروي في البداية إلى سرعة العبارة التي تغادر ساوثوورث في البداية.
ج = مسافة القناة بين مدينتين.

علمنا أن أول عبور لهم كان على بُعد خمسة أميال من ساوثوورث. للتعبير عن ذلك بالصيغ التالية:

ج-5 = ر*ت ₁
5 = _t1

بمعادلة _t1 نحصل على:

c-5 = 5r، أو r = (c-5)/5

علمنا أيضًا أن عبورهم الثاني كان على بُعد ثلاثة أميال من فونتليروي. للتعبير عن ذلك بالصيغ التالية:

3ج - 3 = r*t ₂
ج+3 = ت ₂

بمعادلة t ₂ نحصل على:

2ج - 3 = r*(ج+3)

استبدل r=(c-5)/5

2ج-3 = [(ج-5)/5] * (ج+3)
10 ج - 15 = ج^2 - 2 ج - 15
ج^2 - 12ج = 0 ج - 12 = 0 ج = 12

ويبلغ طول القناة 12 ميلاً.

كتذكير، في لعبة Crapless Craps، لا تؤدي الأرقام 2 و3 و11 و12 إلى حل رهان خط المرور على الفور، ولكنها تعتبر نقاطًا، تمامًا مثل الأرقام 4 و5 و6 و8 و9 و10.

الخطوة الأولى في حلي تتطلب حساب احتمال أي نتيجة معينة لرهان خط المرور، على النحو التالي.

إذا قمت بإضافة كل الطرق للخسارة، فستحصل على 7303/13860 = تقريبًا 0.526912.

الخطوة التالية في حل هذه المسألة تعتمد على حساب التفاضل والتكامل. تعتمد هذه الخطوة على أن النتيجة ستكون نفسها إذا كانت هناك فترة زمنية عشوائية بين حلول رهانات خط المرور. لنُسمِّ متوسط الوقت بين حلول الرهانات 1، وموزعًا حسب التوزيع الأسّي، أي أنه يتميز بخاصية عدم الذاكرة.

دع x يمثل الوقت منذ أن بدأ مطلق النار دوره.

احتمال عدم فوز الرامي بنقطة واحدة هو exp(-x/252). وبالتالي، فإن احتمال فوزه بنقطة واحدة على الأقل هو exp(-x/252).

احتمال عدم فوز الرامي بنقطة واحدة (3) هو exp(-x/72). وبالتالي، فإن احتمال فوزه بنقطة واحدة (3) على الأقل هو 1-exp(-x/72).

احتمال عدم فوز الرامي بنقطة واحدة هو exp(-x/36). وبالتالي، فإن احتمال فوزه بنقطة واحدة على الأقل هو exp(-x/36).

احتمال عدم فوز الرامي بنقطة واحدة هو (exp(-2x/45)). وبالتالي، فإن احتمال فوزه بنقطة واحدة على الأقل هو (exp(-2x/45)).

احتمال عدم فوز الرامي بنقطة 6 هو exp(-2x/45). وبالتالي، فإن احتمال فوزه بنقطة 6 واحدة على الأقل هو 1-exp(-x/72).

لاحظ أن هذه الاحتمالات هي نفسها بالنسبة للأعداد من 8 إلى 12، لذا يمكننا تربيعها لإظهار أنه تم تحقيقها مرتين لكل منها.

احتمال عدم خسارة مطلق النار هو exp(-7303x/13860).

احتمال الخسارة هو 7303/13860.

يمكننا حل المشكلة عن طريق التكامل من t = 0 إلى ما لا نهاية لاحتمال حاصل استيفاء جميع متطلبات الفوز، وعدم استيفاء النتيجة الخاسرة، وحل احتمال الخسارة في الرهان المعطى.

الدالة التي يتم دمجها هي exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(-25x/396))^2*(7303/13860).

ضع ذلك في حاسبة تكاملية مثل تلك الموجودة على موقع integral-calculator.com . تذكر إدخال الحدود من صفر إلى ما لا نهاية. ستكون الإجابة هي ما هو موضح أعلاه.

سؤال جيد. سبق أن قدّم صيغةً للاعب "قصير الأمد"، حيث يجب أن تكون الجائزة الكبرى إيجابيةً عند الرهان الأول.

مع ذلك، بالنسبة للاعب طويل الأمد، الذي يستطيع اللعب حتى الفوز بالجائزة الكبرى، تكون نقطة الفوز أقل. لقد حدّثتُ الصفحة لتشمل صيغًا لكلا النوعين من اللاعبين. باختصار، الصيغتان هما:

ج (قصيرة المدى) = م × (1-ف)/(1-ف+ر)
j (طويل المدى) = m × (1-f)/(1-f+r)

أين:

j = حجم الجائزة الكبرى المتعادل (مع 0% من حافة المنزل)
f = قيمة جميع المكاسب الثابتة بالإضافة إلى نقاط نادي ماكينات القمار والحوافز.
م = الحد الأقصى للجائزة الكبرى (النقطة التي يجب الوصول إليها)
n = الحد الأدنى للجائزة الكبرى (نقطة إعادة البذر)
r = معدل ارتفاع المتر

[spoiler=إجابة]

رقمهم 0، 1، 2، و 4.

هناك ست طرق لسحب بطاقتين من أصل أربع بطاقات، على النحو التالي.

• 0+1 = 1
• 0+2 = 2
• 1+2 = 3
• 0+4 = 4
• 1+4 = 5
• 2+4 = 6

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .