اسأل الساحر #350

يبدو بالفعل أن هناك حافزًا للوصول إلى الوقت الإضافي في رياضة الهوكي، للسبب الذي ذكرته. لنلقِ نظرة على بعض البيانات للإجابة على سؤالك. البيانات التالية من أربعة مواسم هوكي، بدءًا من موسم 2017/2018.

يوضح الجدول التالي 7,846 مباراة لُعبت على مدار المواسم الأربعة، سواءً كانت موسمًا عاديًا أو مباراة فاصلة، أو حتى وصولها إلى وقت إضافي. يوضح الجدول أنه خلال الموسم العادي، وصلت 11.27% من المباريات إلى وقت إضافي، بينما خلال التصفيات، وصلت النسبة إلى 54/544 = 9.03%.

السؤال هو ما إذا كان هذا الفرق بين 11.27% و9.03% ذا دلالة إحصائية، أو ربما يُفسَّر بالتباين الطبيعي. لاختبار متوسطي عيّنتين، سأجري اختبار مربع كاي، مثل حاسبة مقارنة النسب على موقع MedCalc.org. من بين 7846 مباراة، امتدت 871 مباراة إلى وقت إضافي باحتمالية 11.10%. واحتمالية عدم وجود وقت إضافي هي 88.90% في العينة نفسها. إذا افترضنا عدم وجود فرق ذي دلالة إحصائية بين مباريات الموسم العادي ومباريات التصفيات، فسيكون من المفترض أن تمتد 804.6 مباراة في الموسم العادي إلى وقت إضافي و66.4 مباراة في التصفيات.

يُقارن الجدول التالي النتائج الفعلية بالتوقعات، بافتراض أن الاحتمال الحقيقي لوقت إضافي هو نفسه في كلٍّ من المواسم العادية ومباريات التصفيات. يُظهر العمود الأيمن إحصائية مربع كاي، وهي مربع الفرق بين الإجمالي الفعلي والمتوقع، مقسومًا على الإجمالي المتوقع.

يُظهر الجدول أعلاه إحصائية مربع كاي بقيمة 2.813628. بدرجة حرية واحدة، يكون احتمال نتائج منحرفة بهذا الشكل أو أكثر 9.347%. بمعنى آخر، إذا لم يكن هناك أي تغيير في السلوك بين الموسم العادي ومباراة الأدوار الإقصائية، مما أدى إلى تساوي احتمالات الوقت الإضافي، فإن احتمالية رؤية هذا التفاوت بنسبة 2.24% أو أكثر في المباريات التي تنتهي بالوقت الإضافي هي 9.347%. ببساطة، يشير هذا الدليل إلى وجود فرق ذي دلالة إحصائية بين معدلات الوقت الإضافي بين نوعي المباريات. ومع ذلك، لا يزال هناك احتمال بنسبة 9.35% لتفسير ذلك على أنه تباين عشوائي طبيعي.

أود أن أضيف أن حاسبة MedCalc التي أشرتُ إليها، بالإضافة إلى مصادر أخرى، تُطبّق تعديلًا "N-1" على إحصائية مربع كاي. وبشكل أكثر تحديدًا، تُضرب إحصائية مربع كاي في (N-1)/N، حيث N هو العدد الإجمالي للملاحظات. في هذه الحالة، ستكون إحصائية مربع كاي المُعدّلة 2.813628 * (7845/7846) = 2.813270. قيمة p لهذه الإحصائية مع درجة حرية واحدة هي 9.349%. لا أحب أن أُعكّر صفو الأمور بهذا التعديل البسيط، ولكن لو لم أفعل، فأنا متأكد من أن قرائي سيتساءلون عن سبب عدم قيامي بذلك.

أنا شخصيا أعتقد أن الفرق تلعب للوصول إلى الوقت الإضافي أكثر في الموسم العادي منه في التصفيات، والبيانات تساعد في دعم هذا، ولكن البيانات لا تدعم القضية بشكل لا يدع مجالا للشك المعقول.

الروابط الخارجية

• استخدام إحصائية مربع كاي في كلية بلومبرج للصحة العامة بجامعة جونز هوبكنز.

سيكون من الصعب تقدير فيرلاندر، لذا دعونا نضعه في المرتبة الأخيرة.

في موسم 2019/2020، بلغت نسبة رميات ستيف كاري الحرة 93.10% (المصدر: Basketball Reference ).

متوسط نسبة تسجيل هدف ميداني من مسافة 40 ياردة في دوري كرة القدم الأمريكية هو 85.83%. مع ذلك، أرى أن تاكر أفضل من المتوسط. بالنسبة للأهداف الميدانية من مسافة 30 إلى 39 ياردة، يبلغ متوسط نسبة تسجيله في دوري كرة القدم الأمريكية 89.32%، بينما يبلغ متوسط نسبة تسجيله في دوري كرة القدم الأمريكية 96.63%. بتطبيق هذه النسبة على متوسط نسبة تسجيله في دوري كرة القدم الأمريكية، أُقدّر احتمال تسجيل تاكر هدفًا ميدانيًا من مسافة 40 ياردة بـ 85.85% × (96.63% / 89.32%) = 92.86%.

تصبح الأمور معقدة في لعبة البيسبول. يجب التساؤل: هل نتحدث عن رميات حقيقية في مباريات حقيقية أم عن عرض مُحكم؟ السبب في ذلك هو أن الرماة في المباريات الحقيقية لا يسعون جاهدين لضرب الكرة في كل مرة. في أغلب الأحيان، يحرصون على الرمي بالقرب من حافة منطقة الضرب، مما يُصعّب على الضارب الحصول على ضربة صحيحة.

ليس لديّ إحصائيات تُثبت ذلك، لكنني شاهدتُ رماةً في منطقة الرمي في مباريات دوري الدرجة الثانية يُصيبون الكرة بدقة في عضلة الماسك، دون الحاجة إلى تحريكه، في كل مرة تقريبًا. أُقدّر تقريبًا أن راميًا مثل فيرلاندر يستطيع رمي الكرة في اختبار مُحكم بنسبة 95% على الأقل. مع ذلك، في المباريات الفعلية، تبلغ نسبة ضربات فيرلاندر 68.50% فقط.

للحصول على احتمالية 100 محاولة ناجحة متتالية، مع تجاهل عامل التعب، ما عليك سوى أخذ احتمالية محاولة ناجحة واحدة إلى القوة 100.

خلاصة القول هي أنه إذا كنا نتحدث عن تجربة خاضعة للرقابة، فسأذهب مع فيرلاندر وفي ظروف اللعبة الفعلية سأذهب مع كاري.

طُرح هذا السؤال أصلاً في موقع Barstool Sports . وهناك نقاشات مطولة حوله أيضًا في منتداي في Wizard of Vegas .

فيما يلي بعض الصيغ التي قد يجدها القارئ مفيدة:

قم بالتمرير إلى الأسفل للحصول على إجابتي والحلي.

عندما تقول "فعال" فسوف أفترض أنك تقصد ما هو الذي يحتوي على أقل قدر من المساحة المهدورة بين قذائف المدفع.

لتبسيط الأمور، ولتحديد حجم أيٍّ من الهرمين، لنستخدم مركز الكرات الواقعة في زوايا الهرم. لنفترض أن n هو عدد قذائف المدفع في أحد جوانب قاعدة أيٍّ من الهرمين.

دعونا ننظر إلى الهرم ذو القاعدة المربعة أولاً.

عدد قذائف المدفع في الهرم بأكمله هو 1 ² + 2 ² + ^{3 2} + 4 ² + 5 ² + 6 ² + ... + n ² = n*(n+1)*(2n+1)/6.

الآن، لنوجد ارتفاع هذا الهرم المربع عندما يكون أحد أضلاع قاعدته n. كما هو موضح في الصورة، فإن الأضلاع (باستثناء القاعدة المربعة) مثلثات متساوية الأضلاع. وبالتالي، يكون ارتفاع الزاوية المائلة n أيضًا. المسافة من إحدى زوايا القاعدة إلى الزاوية المقابلة لها هي n*sqrt(2). وبالتالي، تكون المسافة من زاوية القاعدة إلى مركزها n*sqrt(2)/2. ليكن الارتفاع h. لنفترض أن المثلث القائم الزاوية يتكون من الارتفاع، والمسافة من زاوية القاعدة إلى مركزها، وارتفاع الزاوية المائلة.

h ² + (n*sqrt(2)/2) ² = n ²
ح = ن*الجذر التربيعي(2)/2.

تذكر أن حجم الهرم هو القاعدة × الارتفاع / 3. هذا يُعطي حجم الهرم:

وبالتالي فإن نسبة الكرات إلى الحجم هي [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [n ³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )

والآن دعونا نلقي نظرة على الهرم ذو القاعدة المثلثة.

عدد قذائف المدفع في الهرم بأكمله هو 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6.

الآن، لنوجد مساحة القاعدة. تذكر أن أضلاع مثلث ذي أبعاد 30-60-90 تتناسب طرديًا مع 1/2، وsqrt(3)/2، و1. بناءً على ذلك، ليس من الصعب إيجاد ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه n هو n*sqrt(3)/2. هذا يجعل مساحة القاعدة n ² *sqrt(3)/4.

المسافة من زاوية القاعدة إلى مركزها هي الجذر التربيعي (3)/3. وبمعرفة ذلك، والارتفاع المائل للهرم (1)، يمكننا استخدام فيثاغورس لإيجاد ارتفاع الهرم بالصيغة الجذر التربيعي (6)/3.

يمكننا الآن إيجاد حجم الهرم على النحو التالي: القاعدة * الارتفاع / 3 = (n ² * sqrt(3) / 4) * (n * sqrt(6) / 3) * (1/3) = n ³ * sqrt(18) / 36 = n ³ * sqrt(2) / 12.

وبالتالي فإن نسبة الكرات إلى الحجم هي [n*(n+1)*(n+2)/6] / [n ³ *sqrt(2)/12] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

فيما يلي مقارنة بين نسبة الكرات إلى الحجم:

• القاعدة المربعة: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )
• قاعدة المثلث: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

دعونا نقسم النسبتين على sqrt(2)*(n+1)/n ² :

• القاعدة المربعة: (2ن+1)/2 = ن+0.5
• قاعدة المثلث: n+2

كلما ازدادت قيمة n، ستقترب نسبة الكرات إلى الحجم من n لكلا الهرمين. بمعنى آخر، كلما زاد عدد كرات المدفع، زادت كفاءتها.

بالنظر إلى حجم قذيفة المدفع، فإن الكفاءة في كلا الهرمين، والتي تعرف بأنها نسبة حجم قذيفة المدفع إلى الحجم الإجمالي، تقترب من pi*sqrt(2)/6 =~ apx. 74.05%.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .