اسأل الساحر #356

[المفسد=الحل]

بدلاً من سحب بطاقة مرة واحدة بالضبط لكل وحدة زمنية، ستكون الإجابة هي نفسها إذا تم سحب بطاقة بفترة زمنية عشوائية بين السحوبات، إذا كان متوسط الوقت هذا يتبع توزيعًا أسيًا بمتوسط 1.

سيكون متوسط الوقت بين سحب أي بطاقة معينة 52. وبالنظر إلى خصائص التوزيع الأسي، فإن احتمال عدم سحب البطاقة بعد t وحدة من الزمن هو exp(-t/52).

بعد t وحدات من الزمن، فإن احتمالية سحب أي بطاقة معينة مرة واحدة على الأقل هي 1-exp(-t/52).

بعد t وحدات من الزمن، فإن احتمالية سحب 13 بطاقة محددة مرة واحدة على الأقل هي (1-exp(-t/52))^13.

بعد t وحدات من الزمن، على الأقل واحدة من 13 بطاقة محددة لن يتم سحبها هي 1-(1-exp(-t/52))^13.

بعد t وحدات من الزمن، فإن احتمال أن يكون في كل مجموعة بطاقة واحدة مفقودة على الأقل هو (1-(1-exp(-t/52))^13)^4.

بوضع هذه المعادلة في حاسبة التكامل ، مع الحرص على ضبط حدود التكامل من 0 إلى ما لا نهاية، نحصل على 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في المنتدى الخاص بي في Wizard of Vegas .

دعني أعيد صياغة ما تسأل عنه دون الإشارة إلى المشكلة السابقة أولاً.

يتنافس ستة عشر لاعبًا على جسر زجاجي. يُقسّم الجسر إلى ثمانية عشر زوجًا من الألواح الزجاجية. في كل زوج، لوح زجاجي مُقسّى يتحمل وزن اللاعب. أما القطعة الأخرى فهي زجاج عادي، وتنكسر تحت وطأة اللاعب. إذا داس لاعب على قطعة زجاج عادي، سينكسر ويسقط حتفه.

على اللاعبين التقدم، واحدًا تلو الآخر، بترتيب مُحدد مسبقًا. لا يتذكر اللاعبون أماكن الدرجات الآمنة، إلا إذا كان ذلك واضحًا بسبب كسر لوحة من بين زوج.

بافتراض التخمين العشوائي في كل زوج من الخطوات الزجاجية، ما هو العدد المتوقع للاعبين الذين سيعبرون بأمان؟

من فضلك اضغط على الزر أدناه للحصول على إجابتي.

[spoiler=إجابة]

يوضح الجدول التالي احتمال نجاة كل لاعب، بناءً على ترتيب لعبه. تُظهر الخلية اليمنى السفلية العدد المتوقع للناجين وهو 0.23884892.

لقد استخدم حلي سلسلة ماركوف، والتي سيكون من الصعب شرحها وسيستغرق وقتًا طويلاً.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في عمودي ساحر فيغاس .

[spoiler=الحل]

في البطاقات الثمانية للأربعة المنافسين، احتمال أن يكون أربعة منهم آسات هو combin(46,4)/combin(50,8) = 0.000303951.

من هنا، احتمال أن تكون الآسات الأربعة جميعها في أيادٍ مختلفة هو 1-2^4*4!*4!/8! = 0.228571429. وبالتالي، فإن احتمال البديل، وهو وجود زوج واحد على الأقل من الآسات، هو 1-0.228571429 = 0.771428571.

احتمال أن تكون كل الآسات الأربعة خارج اللعبة وأن يكون هناك على الأقل اثنان منها في يد واحدة هو 0.000303951 * 0.771428571 = 0.000234477.

في البطاقات الثمانية للأربعة المنافسين، احتمال أن يكون ثلاثة منهم آسات هو combin(4,3) * combin(46,5)/combin(50,8) = 0.010212766.

ومن هناك، فإن احتمال وجود اثنين منهم في نفس اليد هو 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0.428571429.

احتمالية خروج ثلاثة من الآسات ووجود اثنين منهم في نفس اليد هي 0.010212766 * 0.428571429 = 0.0043769.

في البطاقات الثمانية للأربعة المنافسين، احتمال أن يكون اثنان منهم آسات هو combin(4,2) * combin(46,6)/combin(50,8) = 0.104680851.

احتمال أن يكونا كلاهما في نفس اليد هو 1/7 = 0.142857143.

احتمالية خروج اثنين من الآسات ووجودهما في نفس اليد هي 0.104680851 * 0.142857143 = 0.014954407.

إذا أخذنا مجموع الطرق التي يستطيع بها خصم واحد على الأقل الحصول على اثنين من الآسات، فسنحصل على إجابة 0.000234477 + 0.0043769 + 0.014954407 = 0.019565784.

سيُحوّل هذا العرض الترويجي رهانًا خاسرًا إلى رهان رابح إذا كان الفريق المُختار متقدمًا بـ 17 نقطة أو أكثر ثم خسر. ومن الأمثلة الجيدة على ذلك رهان على فريق أتلانتا فالكونز في سوبر بول 51. في مرحلة ما، في الربع الثالث، كان فالكونز متقدمًا بنتيجة 28 مقابل 3، بفارق 25 نقطة. ومع ذلك، خسروا بنتيجة 28 مقابل 34.

للإجابة على هذا السؤال، راجعتُ 4131 مباراة لُعبت في كل موسم من مواسم دوري كرة القدم الأمريكية (NFL) بين عامي 2000 و2015. يُظهر الجدول التالي أكبر فارق نقاط سجله الفريق الفائز خلال المباراة. يُرشّح عمود الاحتمالات المباريات الخمس التي انتهت بالتعادل.

يمثل صف "التعادل" المباريات الخمس في المواسم الستة عشر التي انتهت بالتعادل، لذا دعونا لا نحسبها. يمثل صف "0" نسبة 43.7% من المباريات التي لم يتأخر فيها الفريق الفائز أبدًا.

يوضح الجدول 87 مباراة خسر فيها فريق بفارق 17 نقطة أو أكثر، ثم فاز. على مدار 4126 مباراة حُسمت (أي دون احتساب التعادلات الخمس)، تبلغ نسبة الاحتمال 2.11%.

بما أن هذه الحالات قد تُحوّل الخسارة إلى فوز، فإننا نضاعف هذا الاحتمال لنحصل على قيمة 4.22%. هامش الربح للكازينو في رهانات خط المال مُساوٍ تقريبًا لرهانات الفارق، وهو 4.76%. بطرح 4.22%، نحصل على هامش ربح للكازينو منخفض جدًا، 0.54%، في ظل هذا العرض الترويجي.