اسأل الساحر #359

لنحاول حل هذه المسألة بافتراض "مع الاستبدال". لنفترض أن r وb وg هي عدد الكرات الحمراء والزرقاء والخضراء على التوالي. عندها، يكون احتمال سحب واحدة من كل لون 6*(r/100)*(b/100)*(g/100). وبجعل هذا الاحتمال مساويًا لـ 0.2، يمكننا القول:

6*(r/100)*(b/100)*(g/100) = 0.2
6*r*b*g = 200000 ​

العدد 6 لا يُقسّم إلى 200,000 بالتساوي. وبالتالي، لا توجد حلول صحيحة ممكنة لـ r*b*g = 33333.333... لذا، يُمكننا استبعاد حالة السحب مع الاستبدال.

الآن، لنجرب افتراض "بدون استبدال". في هذه الحالة، احتمال سحب لون واحد من كل لون هو r*b*g/combin(100,3) = 0.2. نحاول إيجاد حل لذلك...

r*b*g/161700 = 0.2
r*b*g = 32340

التحليل الأولي للعدد 32340 هو 2*2*3*5*7*7*11.

نحتاج إلى توزيع هذه العوامل بين r وb وg، مع جعل r+b+g = 100. على سبيل المثال، يمكننا تجربة:

ر = 2*3*5 = 30
ب = 2*11 = 22
ج = 7*7 = 49

في حين أن هذه تستخدم بشكل صحيح جميع العوامل الأولية، r+b+g = 101، لذا فهي ليست حلاً صالحًا.

أخشى أنني اضطررت إلى كتابة برنامج تكرار القوة الغاشمة للحصول على حل لـ r و b و g ذات القيم 21 و 35 و 44، بأي ترتيب.

احتمال الفوز بالرقم 4 هو 3/(3 + 6) = 3/9 = 1/3. رهان المركز على الرقم 4 يدفع 9 إلى 5، لذا إذا فاز هذا الرهان، فسيكون لديك إجمالي 9 دولارات + 5 دولارات = 14 دولارًا.

بعد ذلك، يضيف اللاعب دولارًا واحدًا إلى رهانه، ليصبح المجموع 15 دولارًا على الرقم 5. احتمال الفوز على الرقم 5 هو 4/(4 + 6) = 4/10 = 2/5. رهان المركز على الرقم 5 يدفع 7 إلى 5، لذا إذا فاز هذا الرهان، فسيكون لديك إجمالي 21 دولارًا + 15 دولارًا = 36 دولارًا. احتمال الوصول إلى هذا الحد على الأقل هو (1/3) × (2/5) = 13.33%.

بعد ذلك، يراهن اللاعب بمبلغ 36 دولارًا على الرقم 6. احتمال الفوز على الرقم 6 هو 5/(5 + 6) = 5/11. رهان المركز على الرقم 6 يدفع 7 إلى 6، لذا إذا فاز هذا الرهان، فسيكون لديك إجمالي 42 دولارًا + 36 دولارًا = 78 دولارًا. احتمال الوصول إلى هذا الحد على الأقل هو (1/3) * (2/5) * (5/11) = 2/33 = 6.06%.

بعد ذلك، يراهن اللاعب بمبلغ 78 دولارًا على الرقم 8. احتمال الفوز على الرقم 8 هو 5/(5 + 6) = 5/11. رهان المركز على الرقم 8 يدفع 7 إلى 6، لذا إذا فاز هذا الرهان، فسيكون لديك إجمالي 91 دولارًا + 78 دولارًا = 169 دولارًا. احتمال الوصول إلى هذا الحد على الأقل هو (1/3) * (2/5) * (5/11) ^ 2 = 10/363 = 2.75%.

بعد ذلك، يضيف اللاعب دولارًا واحدًا من جيبه إلى 169 دولارًا ويراهن بمبلغ 170 دولارًا على الرقم 9. احتمال الفوز على الرقم 9 هو 4/(4 + 6) = 2/5. رهان المركز على الرقم 9 يدفع 7 إلى 5، لذا إذا فاز هذا الرهان، فسيكون لديك إجمالي 238 دولارًا + 170 دولارًا = 408 دولارات. احتمال الوصول إلى هذا الحد على الأقل هو (1/3) * (2/5) ^ 2 * (5/11) ^ 2 = 4/363 = 1.10%.

أخيرًا، أصبحنا مستعدين للمراهنة على الرقم 10. مع انخفاض هامش الكازينو في رهان الشراء، لنفترض أن اللاعب راهن على ذلك. لم تُحدد ما إذا كان يجب على اللاعب دفع العمولة مُسبقًا أم دفعها فقط عند الفوز. لننظر في دفع العمولة مُسبقًا أولًا. بموجب هذه القاعدة، يجب أن يكون مبلغ الرهان قابلًا للقسمة بالتساوي على 21 دولارًا. لنفترض أن اللاعب راهن بمبلغ 380 دولارًا على الرقم 10، ودفع عمولة مُسبقة قدرها 19 دولارًا بنسبة 5%، وحصل على 9 دولارات أخرى من أصل 408 دولارات.

احتمال الفوز في الرهان رقم 4 هو 3/(3 + 6) = 3/9 = 1/3. رهان رابح بقيمة 380 دولارًا سيُدرّ ربحًا قدره 760 دولارًا، بإجمالي 760 دولارًا + 380 دولارًا = 1140 دولارًا. احتمال الوصول إلى هذه المرحلة على الأقل هو (1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0.37% = 1 في 272.25.

تذكر أن اللاعب راهن بـ 5 دولارات + 1 دولار + 1 دولار في الجولة، لكنه ربح 9 دولارات بعد فوزه على 9، ليصبح صافي ربحه 1142 دولارًا. إذا اعتبرنا هامش الكازينو هو الخسارة المتوقعة من رهان 5 دولارات الأصلي، فسيكون 1.06 دولار / 5.00 دولار = 21.16%.

لنرَ الآن ماذا سيحدث إذا دُفعت العمولة على ربح العشرة فقط. في هذه الحالة، يجب أن تكون رهانات الشراء على العشرة قابلة للقسمة بالتساوي على ٢٠ دولارًا. لنفترض أن اللاعب ربح ٨ دولارات وراهن بالـ ٤٠٠ دولار المتبقية.

سيؤدي الرهان الفائز بقيمة 400 دولار إلى دفع أرباح بقيمة 780 دولارًا، بإجمالي 780 دولارًا + 400 دولار = 1180 دولارًا.

تذكر أن اللاعب راهن بـ 5 دولارات + 1 دولار + 1 دولار في الجولة، لكنه ربح 8 دولارات بعد الفوز على 9، ليصبح صافي ربحه 1,181 دولارًا. إذا حددنا هامش الكازينو بالخسارة المتوقعة من الرهان الأصلي البالغ 5 دولارات، فسيكون 0.92 دولار / 5.00 دولار = 18.44%.

لذا، لا يمكننا الوصول إلى 1200 دولار إلا إذا سحب اللاعب المزيد من المال من جيبه بعد فوزه على 9، أو في مكان آخر خلال اللعبة. لا أؤيد هذه الاستراتيجية من حيث القيمة، ولكن يبدو أنها ستوفر متعة وإثارة كبيرتين.

آخ! رأيتُ نفس هذه القاعدة الفظيعة والجاهلة في إم جي إم بماكاو.

احتمال أن تكون الورقة المخفية آسًا مع رهان ١٠ إضافي هو (٦ × ٤) / (٦ × ٥٢ - ١) = ٧٫٧١٧٪. العائد المتوقع هو ٠٫٠٧٧١٧٠ × ٢ + ٠٫٩٢٢٨٣٠ × - ١ = -٠٫٧٦٨٤٨٩. بمعنى آخر، نسبة ربح الكازينو هي ٧٦٫٨٥٪.