اسأل الساحر #369

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

لقد تم طرح هذه المشكلة ومناقشتها في المنتدى الخاص بي في Wizard of Odds .

لقد استُلهمت هذه المشكلة من مقطع فيديو بعنوان "سؤال أسي صعب" .

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

[spoiler=استراتيجية فقط]

الفكرة العامة هي أنه إذا فشل سجين واحد على الأقل، فسيفشل الكثير منهم أيضًا، لأن النتيجة النهائية، وهي الموت، ستبقى واحدة للجميع. لذا، فإن الاستراتيجية الجيدة ستعزز احتمال نجاح الجميع على حساب احتمال كبير لفشل العديد منهم أيضًا.

لنفترض وجود استراتيجية يقوم فيها اللاعب بفتح أي صندوق. ثم يقرأ الرقم الموجود على الورقة الموجودة فيه، ثم يفتحه ثانيةً. ثم يقرأ الورقة الموجودة في الصندوق الثاني، ثم يفتح الصندوق الذي يحمل الرقم ثالثًا. إذا استمر في تكرار هذه العملية، فسيعود في النهاية إلى الصندوق الذي بدأ به.

إذا اتبع اللاعب هذه الإستراتيجية وكان رقمه موجودًا في مكان ما في تلك الحلقة من الأرقام، فمن الواضح أنه سيجدها في النهاية، على افتراض عدم وجود حد لعدد الصناديق التي يمكنه فتحها.

لضمان عثور اللاعب على رقمه في النهاية، يمكنه البدء برقمه الخاص. بهذه الطريقة، سيعود إليه في النهاية، مع أن ذلك قد يتطلب فتح ما بين صندوق واحد و100 صندوق.

تُسمى مجموعة المربعات التي تؤدي فيها هذه الاستراتيجية في النهاية إلى المربع الأول حلقة مغلقة. ويساوي عدد المربعات في الحلقة المغلقة حجمها.

المفتاح لهذه المشكلة هو أن كل سجين سوف ينجح إذا لم يكن هناك حلقة مغلقة أكبر من حجم 50.

[spoiler=الحل]

إذا كانت هناك حلقة مغلقة من ١٠٠، فسيفشل السجناء. ما هو هذا الاحتمال؟ هناك احتمال ٩٩/١٠٠ ألا يؤدي المربع الأول إلى نفسه. إذا لم يُؤدِ إلى نفسه، فهناك احتمال ٩٨/٩٩ ألا يؤدي المربع الثاني إلى الرقم الأصلي. إذا لم يُؤدِ هذا المربع إلى نفسه، فهناك احتمال ٩٧/٩٨ ألا يؤدي المربع التالي إلى نفسه. وبتوسيع هذا المنطق، هناك احتمال (٩٩/١٠٠)*(٩٨/٩٩)*(٩٧/٨٨)*...*(٣/٤)*(٢/٣)*(١/٢) = ١/١٠٠ لوجود حلقة مغلقة بحجم ١٠٠.

ماذا عن حلقة مغلقة من 99؟ مع حلقة مغلقة من 99، ستكون هناك حلقة مغلقة أخرى من 1. يمكن أن تكون هذه الحلقة المغلقة أيًا من الصناديق المئة. لأي صندوق واحد، هناك احتمال 1/100 أن يؤدي إلى نفسه. أما بالنسبة للصناديق الـ 99 الأخرى، فهناك احتمال 1/99 أن تشكل حلقة مغلقة، وفقًا للمنطق أعلاه لحلقة مغلقة من 100. لذا، فإن احتمال حلقة مغلقة من 99 هو 100 × (1/100) و (1/99) = 1/99.

ماذا عن حلقة مغلقة من 98؟ مع حلقة مغلقة من 98، سيكون هناك صندوقان آخران يؤديان إلى بعضهما البعض بطريقة ما، إما حلقتان مغلقتان من صندوق واحد أو حلقة مغلقة من صندوقين. يمكن أن تكون هذه الحلقة المغلقة من صندوق واحد أيًا من الصناديق المئة. بالنسبة لأي صندوق، هناك احتمال 1/100 أن يؤدي إلى نفسه. بالنسبة للصناديق الـ 99 الأخرى، هناك احتمال 1/99 أن تشكل حلقة مغلقة، وفقًا للمنطق أعلاه لحلقة مغلقة من 100. لذا، فإن احتمال حلقة مغلقة من 99 هو 100 × (1/100) × (1/99) = 1/99.

ماذا عن حلقة مغلقة من 98؟ في حلقة مغلقة من 98، سيكون هناك صندوقان آخران يؤديان إلى بعضهما البعض بطريقة ما، إما حلقتان مغلقتان من واحد أو حلقة مغلقة واحدة من اثنين. هناك combin(100,2)=4950 طريقة لاختيار صندوقين من أصل 100. بمجرد اختيار صندوقين، يكون احتمال أن تتطابق الأوراق داخل هذين الصندوقين مع أرقام صناديقهما، في أي تكوين، هو (2/100)*(1/99) = 1 من 4950. وبالتالي، يكون احتمال أن تشكل الـ 98 الأخرى حلقة مغلقة هو 1/98. لذا، فإن احتمال حلقة مغلقة من 98 هو (4950)*(1/4950)*(1/98) = 1/98.

يمكننا الاستمرار في اتباع هذا المنطق حتى نصل إلى حلقة مغلقة من 51 ذات احتمال 1/51.

احتمال الفشل هو pr(حلقة مغلقة من 100) + pr(حلقة مغلقة من 99) + pr(حلقة مغلقة من 98) + ... + pr(حلقة مغلقة من 51) = 1/100 + 1/99 + 1/98 + 1/97 + ... + 1/51 =~ 0.6881721793.

إذا كان احتمال الفشل هو 0.688172179، فإن احتمال النجاح هو 1 - 0.6881721793 =~ 0.3118278207.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

لقد استوحيت هذا السؤال من فيديو Veritasium .

[spoiler=الحل]

لنفترض أن هناك موظفًا واحدًا فقط سيحضر حفلة بابا نويل السرية. من البديهي أنه سيختار نفسه، وهكذا نصل إلى حلقة مغلقة.

ثم وصلت موظفة أخرى متأخرة وطلبت الانضمام. أعطوها قائمة بالموظفين اللذين أصبحا الآن. هناك احتمال نصف أن تختار الموظف الأول والنصف الآخر بنفسها. إذا اختارت الموظف الأول، فيمكنها أن تُدمج في حلقته، حيث تشتري للموظف الأول ويشتري لها. إذن، لدينا الآن 1 + 0.5 × 1 = 1.5.

ثم وصلت موظفة ثالثة متأخرة وطلبت الانضمام. أعطوها قائمةً بالموظفين الثلاثة. هناك احتمال بنسبة ٢/٣ أن تختار الموظف ١ أو ٢، وأن تختار هي الثلث. إذا اختارت الموظف ١ أو ٢، فيمكنها الانضمام إلى حلقتهم، حيث تشتري للموظف الذي تختاره، والموظف الذي كان من المفترض أن يشتري له يشتري الآن للثلاثة. إذن، لدينا الآن ١.٥ + (١/٣) = ١١/٦.

ثم وصلت موظفة رابعة متأخرة وطلبت الانضمام. أعطوها قائمة بأسماء الموظفين الأربعة. هناك احتمال بنسبة ثلاثة أرباع أن تختار الموظف من 1 إلى 3، وأن تختار هي الموظف من 1 إلى 3. إذا اختارت الموظف من 1 إلى 3، فيمكنها الانضمام إلى حلقتهم، حيث تشتري للموظف الذي تختاره، والموظف الذي كان من المفترض أن يشتري له يشتري الآن للموظف الرابع. إذن، لدينا الآن 11/6 + (1/4) = 25/12.

استمر في فعل ذلك والإجابة النهائية هي 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 =~ 5.187377518.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .