WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #400

يسمح المزارع براون لأغنامه الستة بالرعي في حقله المسوّر والمغطى بالعشب. يستغرق تنظيف الحقل من العشب ثلاثة أيام.

ثم يترك العشب ينمو مرة أخرى إلى ارتفاعه الأصلي.

ثم يسمح لثلاثة من أغنامه بالدخول إلى نفس الحقل، ويستغرق الأمر منهم سبعة أيام لتنظيف الحقل.

ثم ترك العشب ينمو إلى ارتفاعه الأصلي، وأطلق خروفًا واحدًا إلى الحقل. كم من الوقت سيستغرق هذا الخروف ليقطعه؟

افترض أن الأغنام تأكل العشب بمعدل ثابت وأن العشب ينمو أيضًا بمعدل ثابت آخر.

مجهول

63 يومًا

دع i = عدد الأيام التي يستغرقها شاة واحدة لتناول العشب في الحقل الأولي، على افتراض أنه لم ينمو.

ليكن g = نمو العشب في يوم واحد.

علمنا أن ستة أغنام تحتاج ثلاثة أيام لاستهلاك العشب الأولي وثلاثة أيام لنموه. ويمكننا التعبير عن ذلك بالصيغة التالية:

i + 3g = 3*6

علمنا أيضًا أن ثلاثة خراف تحتاج سبعة أيام لاستهلاك العشب الأولي وثلاثة أيام لنموه. ويمكننا التعبير عن ذلك بالصيغة التالية:

i + 7g = 7*3

لدينا معادلتين ومجهولين:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

من السهل حل i و g على النحو التالي:

i = 63/4 = 15.75

ج = 3/4 = 0.75

السؤال هو: كم من الوقت سيستغرق خروف واحد لتطهير الحقل؟ لنفترض أن x هي الإجابة. يمكننا التعبير عن المعادلة كالتالي:

i + xg = x
(63/4) + (3/4)ج = س
63/4 = x/4
x = 63.

وبالتالي، فإن الأمر سيستغرق من الخروف الواحد 63 يومًا لتطهير الحقل.

متوازي مستطيلات أبعاده س، ص، ع. يتكون من مكعبات فردية بترتيب س، ص. قام أحدهم بطلاء جميع جوانبه الخارجية. ما أبعاده إذا كان عدد المكعبات المطلية مساويًا لعدد المكعبات غير المطلية؟

مجهول

لقد توصلتُ إلى عشرين بُعدًا مختلفًا وفعّالًا. ها هي.

  1. 5 × 13 × 132
  2. 5 × 14 × 72
  3. 5 × 15 × 52
  4. 5 × 16 × 42
  5. 5 × 17 × 36
  6. 5 × 18 × 32
  7. 5 × 20 × 27
  8. 5 × 22 × 24
  9. 6 × 9 × 56
  10. 6 × 10 × 32
  11. 6 × 11 × 24
  12. 6 × 12 × 20
  13. 6 × 14 × 16
  14. 7 × 7 × 100
  15. 7 × 8 × 30
  16. 7 × 9 × 20
  17. 7 × 10 × 16
  18. 8 × 8 × 18
  19. 8 × 9 × 14
  20. 8 × 10 × 12

لقد ذكرتَ مرارًا أن متوسط المحاولات اللازمة لوقوع حدثٍ ذي احتمال p هو ١/p. تحدّي لك هو إثبات صحة ذلك.

مجهول

ليكن x = عدد المحاولات المتوقعة لحدوث حدث ما.

x = 1*ص + (1-ص)*(1+س)

x = p + 1 + x - p - px

طرح x من كلا الجانبين:

0 = ص + 1 - ص - بكسل

إلغاء p و-p:

0 = 1 - بكسل

بكسل = 1

x = 1/ص

لنُعرّف q = 1-p. بمعنى آخر، احتمال عدم وقوع حدث ما.

ليكن x = عدد المحاولات المتوقعة لحدوث حدث ما.

x = 1 * pr (مطلوب محاولة واحدة) + 2 * pr (مطلوب محاولتين) + 3 * pr (مطلوب ثلاث محاولات) + ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

ليكن y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(ص-1)/س = 1 + س + س^2 + س^3 + ...

(ص-1)/س = ص

ص/س - ص = 1/س

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1-q)/q] = 1/q

y*(1-q) = 1

y = 1/(1-q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1+x)/p

x/p - q * (1+x)/p = 1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x*(1/ص - q/ص) = 1+q/ص

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1+q/p

x = 1 + (1-ص)/ص

x = ص/ص + (1-ص)/ص

x = 1/ص