اسأل الساحر #400

دع i = عدد الأيام التي يستغرقها شاة واحدة لتناول العشب في الحقل الأولي، على افتراض أنه لم ينمو.

ليكن g = نمو العشب في يوم واحد.

علمنا أن ستة أغنام تحتاج ثلاثة أيام لاستهلاك العشب الأولي وثلاثة أيام لنموه. ويمكننا التعبير عن ذلك بالصيغة التالية:

i + 3g = 3*6

علمنا أيضًا أن ثلاثة خراف تحتاج سبعة أيام لاستهلاك العشب الأولي وثلاثة أيام لنموه. ويمكننا التعبير عن ذلك بالصيغة التالية:

i + 7g = 7*3

لدينا معادلتين ومجهولين:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

من السهل حل i و g على النحو التالي:

i = 63/4 = 15.75

ج = 3/4 = 0.75

السؤال هو: كم من الوقت سيستغرق خروف واحد لتطهير الحقل؟ لنفترض أن x هي الإجابة. يمكننا التعبير عن المعادلة كالتالي:

i + xg = x
(63/4) + (3/4)ج = س
63/4 = x/4
x = 63.

وبالتالي، فإن الأمر سيستغرق من الخروف الواحد 63 يومًا لتطهير الحقل.

لقد توصلتُ إلى عشرين بُعدًا مختلفًا وفعّالًا. ها هي.

1. 5 × 13 × 132
2. 5 × 14 × 72
3. 5 × 15 × 52
4. 5 × 16 × 42
5. 5 × 17 × 36
6. 5 × 18 × 32
7. 5 × 20 × 27
8. 5 × 22 × 24
9. 6 × 9 × 56
10. 6 × 10 × 32
11. 6 × 11 × 24
12. 6 × 12 × 20
13. 6 × 14 × 16
14. 7 × 7 × 100
15. 7 × 8 × 30
16. 7 × 9 × 20
17. 7 × 10 × 16
18. 8 × 8 × 18
19. 8 × 9 × 14
20. 8 × 10 × 12

[spoiler=حل قصير]

ليكن x = عدد المحاولات المتوقعة لحدوث حدث ما.

x = 1*ص + (1-ص)*(1+س)

x = p + 1 + x - p - px

طرح x من كلا الجانبين:

0 = ص + 1 - ص - بكسل

إلغاء p و-p:

0 = 1 - بكسل

بكسل = 1

x = 1/ص

لنُعرّف q = 1-p. بمعنى آخر، احتمال عدم وقوع حدث ما.

ليكن x = عدد المحاولات المتوقعة لحدوث حدث ما.

x = 1 * pr (مطلوب محاولة واحدة) + 2 * pr (مطلوب محاولتين) + 3 * pr (مطلوب ثلاث محاولات) + ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

ليكن y = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(ص-1)/س = 1 + س + س^2 + س^3 + ...

(ص-1)/س = ص

ص/س - ص = 1/س

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1-q)/q] = 1/q

y*(1-q) = 1

y = 1/(1-q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1+x)/p

x/p - q * (1+x)/p = 1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x*(1/ص - q/ص) = 1+q/ص

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1+q/p

x = 1 + (1-ص)/ص

x = ص/ص + (1-ص)/ص

x = 1/ص