WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #401

لنفترض أن احتمال تسجيل هدف في نصف الملعب في كرة السلة هو ١٪. كم عدد الأهداف المطلوبة، في المتوسط، لتسجيل ثلاث أهداف متتالية؟

ما هي الصيغة العامة لأي احتمال وأي عدد في صف واحد؟

seven

دعونا نترك:

  • أ=توقع المزيد من اللقطات على افتراض أن الحالة الأولية أو اللقطة الأخيرة كانت خاطئة.
  • ب=من المتوقع أن يكون هناك المزيد من اللقطات على افتراض أن اللقطة الأخيرة تم تسجيلها.
  • ج=من المتوقع المزيد من اللقطات على افتراض أن اللقطتين الأخيرتين تم تسجيلهما.

يمكننا إعداد المعادلات التالية للانتقال من حالة إلى أخرى:

أ = 1 + 0.01ب + 0.99أ
ب = 1 + 0.01ج + 0.99أ
ج = 1 + (1-ص)أ

لدينا الآن ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل، لذا يُمكننا حلّها. أُفضّل جبر المصفوفات.

دون الخوض في هذا الموضوع، يمكن التعبير عن الحل بالمعادلة determ(A)/determ(B). الحدود في المصفوفات مأخوذة من المعادلات الثلاث المذكورة أعلاه.

الجواب على هذه النسبة من المحددات هو 101010.

للإجابة على السؤال الثاني، الإجابة لأي احتمال p وعدد n من النجاحات المتتالية هي:

(1/ص)^ن + (1/ص)^(ن-1) + (1/ص)^(ن-2) + ... + (1/ص)^2 + (1/ص)^1

في حالة هذه المشكلة، تُظهر الصيغة العامة الإجابة على النحو التالي: 100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

تُسحب 13 بطاقة من أي نوع من مجموعة البطاقات. تُوزع بطاقة واحدة على كلٍّ من أليكس وبوب. 2 هي البطاقة المنخفضة و 2 هي البطاقة العالية. يجوز لكلٍّ من اللاعبين النظر إلى بطاقته. بعد ذلك، يجوز لأليكس أن يعرض على بوب التبديل. إذا قُدِّم العرض، يجوز لبوب قبوله أو رفضه. ما هي الاستراتيجية الأمثل لكلا اللاعبين؟

مجهول

يجب على أليكس أن يعرض فقط برقم 2. يجب على بوب أن يقبل فقط برقم 2.

[spoiler=الحل]

للإجابة على هذا السؤال بنفسي، جربت استراتيجيات مختلفة، على النحو التالي.

إذا قام أليكس بالتبديل بـ 4 أو أقل، فيجب على بوب أن يقبل بـ 2 ويكون غير مبالٍ بـ 3. احتمال فوز بوب هو 56.7%.

إذا غيّر أليكس الرهان برقم ٣ أو أقل، فعلى بوب قبول الرهان برقم ٢ فقط. احتمال فوز بوب هو ٥٣٫٣٪.

إذا غيّر أليكس الرهان برقم ٢ فقط، فعلى بوب رفض العرض دائمًا. احتمال فوز بوب هو ٥٠٪.

النمط السائد هو أن يكون بوب أكثر دقة في التبديل من أليكس. إذا بدّل أليكس برقم 3 أو أعلى، يمكن لبوب أن يتمتع بأفضلية بمعايير تبديل أقل. الطريقة الوحيدة التي يمكن لأليكس من خلالها الدفاع عن نفسه ضد الهزيمة بهذه الطريقة هي التبديل برقم 2 فقط. بمعرفة ذلك، لن يُبدّل بوب أبدًا إذا قُدّم له عرض. لذا، إذا لعب منطقيان، يجب على أليكس أن يعرض التبديل برقم 2 فقط. على بوب دائمًا رفض هذا العرض.

ومع ذلك، في حالة غير محتملة أن يكون لدى بوب رقم 2 وتم تقديم عرض للتبديل، بالطبع يجب على بوب أن يأخذ العرض، معتقدًا أن أليكس إما أساء قراءة البطاقة أو ليس منطقيًا حقيقيًا.

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

كم عدد الدورات في الروليت التي نحتاجها لرؤية رقم يتكرر في الروليت، في المتوسط؟

مجهول

لم تذكر نوع العجلة، ولكن إليك الإجابة بكل الطرق الثلاث:

  • صفر واحد = 8.306669466
  • صفر مزدوج = 8.408797212
  • ثلاثة أصفار = 8.509594851

يوضح الجدول التالي احتمالية التكرار الأول في كل دورة لجميع العجلات الثلاث.

احتمال تكرار الرقم

يلف أعزب
صفر		 مزدوج
صفر		 ثلاثي
صفر
1 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
2 0.0270270270 0.0263157895 0.0256410256
3 0.0525931337 0.0512465374 0.0499671269
4 0.0746253924 0.0728240268 0.0711070652
5 0.0914329132 0.0894330154 0.0875163879
6 0.1019353424 0.1000237672 0.0981754352
7 0.1057923554 0.1042352943 0.1027066091
8 0.1034096446 0.1024066049 0.1013898577
9 0.0958236089 0.0954768346 0.0950762036
10 0.0844931146 0.0847985044 0.0850200666
11 0.0710452616 0.0719051646 0.0726667236
12 0.0570282235 0.0582810281 0.0594376534
13 0.0437169674 0.0451747682 0.0465525677
14 0.0320000324 0.0334848063 0.0349144258
15 0.0223534530 0.0237240530 0.0250667672
16 0.0148879175 0.0160538705 0.0172161863
17 0.0094424270 0.0103646041 0.0113008813
18 0.0056941663 0.0063755953 0.0070811612
19 0.0032589823 0.0037306115 0.0042294718
20 0.0017665054 0.0020725619 0.0024039306
21 0.0009046116 0.0010908221 0.0012976683
22 0.0004364140 0.0005425405 0.0006638073
23 0.0001977062 0.0002542733 0.0003209618
24 0.0000837944 0.0001119289 0.0001462658
25 0.0000330845 0.0000461035 0.0000626155
26 0.0000121086 0.0000176932 0.0000250863
27 0.0000040842 0.0000062951 0.0000093656
28 0.0000012609 0.0000020644 0.0000032419
29 0.0000003534 0.0000006197 0.0000010345
30 0.0000000890 0.0000001689 0.0000003022
31 0.0000000199 0.0000000414 0.0000000802
32 0.0000000039 0.0000000090 0.0000000191
33 0.0000000007 0.0000000017 0.0000000040
34 0.0000000001 0.0000000003 0.0000000007
35 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000001
36 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
37 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
38 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000
39 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000