WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #403

هناك شريط مطاطي طوله متر واحد. تقف نملة على أحد طرفيه. تقطع النملة الطرف الآخر بسرعة سنتيمتر واحد في الثانية. منذ لحظة بدء النملة بالحركة، يتمدد الشريط المطاطي بمعدل متر واحد في الثانية. كم من الوقت تستغرق النملة للوصول إلى الطرف الآخر؟

مجهول

الإجابة هي e 100 – 1 =~ 26,881,171,418,161,400,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ثانية.

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

هناك نملة على دائرة قطرها سنتيمتر واحد. ابتداءً من اللحظة t=0، تتحرك النملة على طول محيط الدائرة بسرعة 1/(1+t) سم/ثانية. كم من الوقت تستغرق لإكمال دورة كاملة؟

Ace2

e^pi -1 =~ 22.140693 ثانية.

[spoiler=الحل]

قد تتمكن النملة من قطع مسافة باي.

إحدى طرق حساب المسافة الكلية المقطوعة هي تكامل السرعة مع الزمن. لنفترض أن الإجابة هي T.

التكامل من 0 إلى T لـ 1/(1+t) dt = pi.

وبالتكامل نحصل على:

ln(1+T) - ln(1+0) = باي

ln(1+T) = باي

1+T = e^pi

T = e^pi - 1

[/كابح]

تُقلب الأوراق في مجموعة أوراق مُخلطة واحدة تلو الأخرى حتى تظهر أول ملكة. أيهما يُرجح أن يُقلب كالورقة التالية: ملكة البستوني أم ملك البستوني؟

مجهول

أعترف أن إجابتي الأولية على هذا السؤال كانت خاطئة.

الاحتمالات هي نفسها.

[spoiler=الحل]

يوضح الجدول التالي احتمال أن يكون أي موضع في المجموعة هو الملكة الأولى متبوعةً بملكة البستوني. تُظهر الخلية اليمنى السفلية احتمال أن تكون البطاقة التي تلي الملكة الأولى هي ملكة البستوني، وهو 0.019231 = 1/52.

البطاقة التالية ملكة البستوني

موقف
الملكة الأولى		 احتمال
الملكة الأولى		 الاحتمال التالي
بطاقة Q من البستوني		 منتج
1 0.076923 0.014706 0.001131
2 0.072398 0.001086 0.001086
3 0.068054 0.001042 0.001042
4 0.063888 0.000998 0.000998
5 0.059895 0.000956 0.000956
6 0.056072 0.000914 0.000914
7 0.052415 0.000874 0.000874
8 0.048920 0.000834 0.000834
9 0.045585 0.000795 0.000795
10 0.042405 0.000757 0.000757
11 0.039376 0.000720 0.000720
12 0.036495 0.000684 0.000684
13 0.033758 0.000649 0.000649
14 0.031161 0.000615 0.000615
15 0.028701 0.000582 0.000582
16 0.026374 0.000549 0.000549
17 0.024176 0.000518 0.000518
18 0.022104 0.000488 0.000488
19 0.020153 0.000458 0.000458
20 0.018321 0.000429 0.000429
21 0.016604 0.000402 0.000402
22 0.014997 0.000375 0.000375
23 0.013497 0.000349 0.000349
24 0.012101 0.000324 0.000324
25 0.010804 0.000300 0.000300
26 0.009604 0.000277 0.000277
27 0.008496 0.000255 0.000255
28 0.007476 0.000234 0.000234
29 0.006542 0.000213 0.000213
30 0.005688 0.000194 0.000194
31 0.004913 0.000175 0.000175
32 0.004211 0.000158 0.000158
33 0.003579 0.000141 0.000141
34 0.003014 0.000126 0.000126
35 0.002512 0.000111 0.000111
36 0.002069 0.000097 0.000097
37 0.001681 0.000084 0.000084
38 0.001345 0.000072 0.000072
39 0.001056 0.000061 0.000061
40 0.000813 0.000051 0.000051
41 0.000609 0.000042 0.000042
42 0.000443 0.000033 0.000033
43 0.000310 0.000026 0.000026
44 0.000207 0.000019 0.000019
45 0.000129 0.000014 0.000014
46 0.000074 0.000009 0.000009
47 0.000037 0.000006 0.000006
48 0.000015 0.000003 0.000003
49 0.000004 0.000001 0.000001
المجموع 1.000000 0.019231 0.019231

يوضح الجدول التالي احتمال أن يكون أي موضع في المجموعة هو الملكة الأولى متبوعًا بملك البستوني. توضح الخلية اليمنى السفلية احتمال أن تكون الورقة التي تلي الملكة الأولى هي ملك البستوني، وهو 0.019231 = 1/52.

البطاقة التالية ملك البستوني

موقف
الملكة الأولى		 احتمال
الملكة الأولى		 الاحتمال التالي
بطاقة Q من البستوني		 منتج
1 0.076923 0.019231 0.001479
2 0.072398 0.019231 0.001392
3 0.068054 0.019231 0.001309
4 0.063888 0.019231 0.001229
5 0.059895 0.019231 0.001152
6 0.056072 0.019231 0.001078
7 0.052415 0.019231 0.001008
8 0.048920 0.019231 0.000941
9 0.045585 0.019231 0.000877
10 0.042405 0.019231 0.000815
11 0.039376 0.019231 0.000757
12 0.036495 0.019231 0.000702
13 0.033758 0.019231 0.000649
14 0.031161 0.019231 0.000599
15 0.028701 0.019231 0.000552
16 0.026374 0.019231 0.000507
17 0.024176 0.019231 0.000465
18 0.022104 0.019231 0.000425
19 0.020153 0.019231 0.000388
20 0.018321 0.019231 0.000352
21 0.016604 0.019231 0.000319
22 0.014997 0.019231 0.000288
23 0.013497 0.019231 0.000260
24 0.012101 0.019231 0.000233
25 0.010804 0.019231 0.000208
26 0.009604 0.019231 0.000185
27 0.008496 0.019231 0.000163
28 0.007476 0.019231 0.000144
29 0.006542 0.019231 0.000126
30 0.005688 0.019231 0.000109
31 0.004913 0.019231 0.000094
32 0.004211 0.019231 0.000081
33 0.003579 0.019231 0.000069
34 0.003014 0.019231 0.000058
35 0.002512 0.019231 0.000048
36 0.002069 0.019231 0.000040
37 0.001681 0.019231 0.000032
38 0.001345 0.019231 0.000026
39 0.001056 0.019231 0.000020
40 0.000813 0.019231 0.000016
41 0.000609 0.019231 0.000012
42 0.000443 0.019231 0.000009
43 0.000310 0.019231 0.000006
44 0.000207 0.019231 0.000004
45 0.000129 0.019231 0.000002
46 0.000074 0.019231 0.000001
47 0.000037 0.019231 0.000001
48 0.000015 0.019231 0.000000
49 0.000004 0.019231 0.000000
المجموع 1.000000 0.019231

أعترف أن رد فعلي الأول كان أن ملك البستوني هو الأرجح، لأن هناك احتمالًا بنسبة ربع أن تكون الملكة الأولى هي ملكة البستوني، وفي هذه الحالة، ستكون فرصة رؤيتها مجددًا معدومة. لكن السبب البسيط لتساوي الاحتمالات هو أنه عندما ظهرت الملكة الأولى، كانت المجموعة غنية بالملكات. بمعنى آخر، أُزيلت مجموعة من البطاقات العشوائية قبل الملكة الأولى، والتي كان من الممكن أن تكون ملوكًا وليس ملكات أخرى.

الطريقة التي تم شرحها في فيديو Mind Your Decisions (انظر الرابط أدناه) هي كما يلي.

هناك ٥١ طريقة لترتيب جميع الأوراق باستثناء ملكة البستوني. ضع ملكة البستوني أمام الملكة الأولى مباشرةً، وسيبقى لديك ٥١ ترتيبًا. بقسمة ذلك على الـ ٥٢ ترتيبًا ممكنًا، يكون احتمال أن تتبع ملكة البستوني الملكة الأولى هو ٥١/٥٢ = ١/٥٢.

يمكنك القيام بنفس الشيء تمامًا باستثناء حذف ملك البستوني ثم وضعه أمام الملكة الأولى ولا يزال الحصول على 1/52.

[/كابح]

تم أخذ هذا السؤال من قناة Mind Your Decisions على اليوتيوب.