اسأل الساحر #405

ليكن y = كلا التعبيرين. إذًا، لدينا:

• ص = س^2 - 3
• y = الجذر التربيعي(x+3)

لاحظ الرقم 3 في كلا التعبيرين. لنكتب المعادلتين بـ 3 في أحد طرفيها. أولًا، لدينا:

3 = x^2 - y

الآن، دعونا نقوم بتربيع المعادلة الثانية أعلاه:

y^2 = x+3

3 = y^2 - x

دعونا نساوي بين التعبيرين لـ 3:

x^2 - y = y^2 - x

دعونا نعيد ترتيب الأمر:

x^2 - y^2 + x - y = 0

(x+y)(xy) + x - y = 0

(xy)(x+y+1) = 0

أولاً دعونا نفحص xy = 0:

س ص = 0

فلنستبدل y = x^2 - 3 بـ y.

x - (x^2 - 3) = 0

x^2 - x - 3 = 0

باستخدام صيغة فيثاغورس:

x = (1 +/- الجذر التربيعي (1 + 12) / 2

x = (1 + الجذر التربيعي(13)/2 & x = (1 - الجذر التربيعي(13)/2

ثانيًا، دعونا نفحص x+y+1 = 0:

فلنستبدل y = x^2 - 3 بـ y.

x + (x^2 - 3) + 1 = 0

س + س^2 - 3 + 1 = 0

x^2 + x - 2 = 0

باستخدام صيغة فيثاغورس:

x = (-1 +/- الجذر التربيعي (1 + 8) / 2

x = (-1 +/- 3)/2

x = 1، x = -2

لذا، إجاباتنا الأربعة هي:

• س = 1
• س = -2
• x = (1 + الجذر التربيعي(13)/2 =~ 2.302776
• x = (1 - الجذر التربيعي(13)/2 =~ -1.302776

أود أن أشكر فيديو يوتيوب "حل x^2-3=sqrt(x+3)" من SyberMath على هذه الطريقة لحل هذه المسألة. انتقل إلى الدقيقة 6:28 لمعرفة هذه الطريقة.

[spoiler=الحل] ضع هذا الرسم البياني في الاعتبار للحصول على الحل.

لنأخذ المثلث ADE. نعلم أن:

• الزاوية ADE هي 90 درجة، لأن AD مماس للدائرة.
• زاوية AED هي 60 درجة، لأن زاوية المثلث الأخضر في E هي 120 درجة (1/3 من 360 درجة كاملة).
• يجب أن تكون الزاوية EAD مساوية للـ 30 درجة الأخرى من المثلث ADE.

هذا هو المثلث الكلاسيكي ذو الأضلاع ٣٠-٦٠-٩٠. يجب أن نعلم جميعًا أن أضلاع هذا المثلث متناسبة مع ١، ٢، و الجذر التربيعي (٣).

في هذه الحالة، ED = 1، كما هو موضح في السؤال. AE ضعف هذه المسافة، أي 2.

٢ هو المسافة من النقطة إلى مركز الدائرة. المطلوب هو المسافة من النقطة إلى أقرب نقطة على الدائرة. لذا نطرح نصف القطر. وبالتالي، يكون الناتج ٢-١ = ١.

[/كابح]

تذكر أن المسافة = المعدل * الزمن، والذي سنعبر عنه بـ d = r*t

أعد كتابة ذلك: t = d/r.

الوقت هو نفسه في كل من بوب واجتماع القطار في بداية الجسر:

دعونا نترك:

• x = المسافة بين القطار في البداية وبداية الجسر.
• r = معدل سرعة القطار

أولاً، لننظر إلى بوب الذي ركض عائداً. لنكتب t للقاء بوب والقطار في بداية الجسر:

بوب: ت = (1/3)/5

القطار: t = x/r

معادلة التعبيرين لـ t:

r/3 = 5x

ر = 15س

ثانيًا، لننظر إلى توم الذي يركض للأمام. لنكتب حرف (t) لكلٍّ من توم والقطار ليلتقيا في بداية الجسر:

توم: t = (2/3)/5

القطار: t = (1+x)/r

معادلة التعبيرين لـ t:

(2/3)/5 = (1+x)/r

2ر/3 = 5(1+س)

2ر = 15(1+س)

2ر = 15 + 15س

في هذه المرحلة لدينا:

• ر = 15س
• 2ر = 15 + 15س

دعونا نستبدل تعبير r في المعادلة الأولى في المعادلة الثانية:

30x = 15 + 15x

15س = 15

س = 1

تذكر أن r = 15x.

وبالتالي فإن سرعة القطار هي 15*1 = 15 ميلا في الساعة.