اسأل الساحر #406

لفائدة القراء، لعبة "كراش" شائعة في كازينوهات الإنترنت، وخاصةً تلك التي تعتمد على العملات المشفرة. فكرتها هي أن اللاعب يراهن، ثم تنطلق طائرة أو صاروخ من الأرض. كل جزء من الثانية، يزداد الارتفاع بنسبة ضئيلة. يمكن للاعب القفز من الطائرة في أي وقت، ويفوز حسب ارتفاع الجسم. مع ذلك، مع كل جزء من الثانية يرتفع الجسم، قد يتحطم أيضًا. إذا تحطم الجسم قبل أن يقفز اللاعب، يخسر اللاعب.

مع ذلك، فإن متوسط الارتفاع الذي تم تحقيقه، بافتراض عدم وجود حافة للمنزل، هو 1/ln(2) =~ 1.442695041.

ولمصلحة القراء الآخرين، إليكم البطاقات التي يمكن استخدامها في كلتا اللعبتين.

• تكساس هولدم - يمكن للاعب تكوين أفضل يد بوكر تتكون من بطاقتين مخفيتين وخمس بطاقات مشتركة. يمكن للاعب استخدام أي خمس بطاقات من هذه البطاقات السبع.
• أوماها - يجب على اللاعب استخدام اثنتين فقط من أصل أربع بطاقات مخفية وثلاثة فقط من أصل خمس بطاقات مجتمعية.

باستخدام صيغ Excel، إليك الاحتمال في كل لعبة.

• تكساس هولدم -- 4*COMBIN(47,2)/COMBIN(52,7) =~ 1 في 30,940
• أوماها -- 4*COMBIN(5,2)*COMBIN(47,2)*COMBIN(45,2)/(COMBIN(52,4)*COMBIN(48,5)) =~ 1 في 10,829

من أجل مصلحة القراء الآخرين، إليكم القواعد.

1. سيتم طرح 13 سؤالاً صحيحًا أو خطأ على اللاعب.
2. بعد ذلك، يُطلب من اللاعب اختيار نطاق الإجابات الصحيحة التي يعتقد أنها صحيحة. إذا كان ضمن هذا النطاق، يفوز وفقًا للجدول أدناه.
3. هناك أيضًا مكافأة قدرها 25000 دولار إذا تمكن اللاعب من تخمين العدد الصحيح بالضبط.
4. يمكن للمضيف، شاك، أن يعرض قيمة الاستسلام في أي وقت.

مصدر الصورة: ABC Press

يوضح الجدول التالي استراتيجية تعظيم القيمة المتوقعة. على سبيل المثال، إذا توقع اللاعب الحصول على 9.5 إجابة صحيحة، فعليه اختيار النطاق من 10 إلى 12. مع أن 9.5 لا يقع ضمن هذا النطاق، إلا أن القيمة المتوقعة أكبر من النطاق من 7 إلى 9، لأن الربح أكبر بأربعة أضعاف.

أما بالنسبة لعروض الاستسلام، ففي كل مرة شاهدتُ فيها المسلسل، كانت العروض بخيلة جدًا، حوالي نصف القيمة المتوقعة. أنصحك برفض شاك.

في مقطع الفيديو الخاص به، يثبت مات أحد عناصر هذا السؤال كما ورد في مقال بعنوان مفارقة البنغو بقلم آرثر بنيامين وجوزيف كيسنويذر وبين فايس.

بافتراض وجود لعبة مبسطة بدون مربع حر ولا انتصارات قطرية، فإن كلا منهما يوضح أنه إذا تم سحب الكرات حتى (1) وجود كرة واحدة على الأقل في كل عمود أو (2) وجود خمس كرات في عمود واحد، فإن الاحتمالات التالية هي التي ستحدث أولاً.

• على الأقل كرة واحدة في كل عمود (بينغو أفقي ممكن) = 0.751779.
• خمس كرات مسحوبة في أي عمود (بينغو عمودي ممكن) = 0.248221.

لقد أجريتُ جميع الحسابات، وأوافق على هذا. مع ذلك، مجرد إمكانية لعب البينغو لا يعني بالضرورة الفوز في اللعبة العادية.

قبل أن أتطرق إلى ذلك، مع بطاقة بينجو واحدة فقط، فإن احتمال أن تكون أول بطاقة بينجو أفقية أو عمودية هو 50/50 بالضبط.

ومع ذلك، هذا ليس هو الحال مع عدد محدود من البطاقات، والبطاقات الفائزة فقط هي التي يتم احتسابها.

لأغراض تحليلي، افترضتُ أن كل بطاقة بينغو مُحتملة كانت بطاقة واحدة فقط. أي ما مجموعه 6,076,911,214,672,420,000,000,000,000 بطاقة.

إذا شكلت بطاقات متعددة لعبة البينغو في نفس الوقت، فسيتم احتساب كل فوز بالتساوي.

بافتراض إمكانية لعب بينغو عمودي أولًا، أُبيّن أن احتمال فوز أي بطاقة مُحددة هو ١ من ٣٠٠٣ = ~ ٠٫٠٠٣٣٣. وبافتراض إمكانية لعب بينغو أفقي أولًا، أُبيّن أن احتمال فوز أي بطاقة مُحددة هو ١ من ٨٢٩٤ = ~ ٠٫٠٠١٢١.

يُجمّع الجدول التالي أول نوع بينغو مُحتمل واحتمالية حصول أي بطاقة مُعطاة على بينغو. يُظهر العمود الأيمن أن احتمالية أن يكون البينجو أفقيًا هي 52.3%، بشرط أن يكون البينجو صحيحًا.

أعلم أن نسبة 52.3% الخاصة بي تختلف عن نسبة 2 إلى 1 المذكورة في الورقة، ولكن هذا يعتمد على محاكاة لعبة مكونة من 1000 بطاقة، ولا أعرف كيف يحسبون العديد من ألعاب البنغو في نفس الوقت.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .