WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #414

تحداني أحدهم بالرهان التالي. سنرمي نردًا سداسي الأوجه حتى يحدث أحد الحدثين التاليين:

  • ظهرت مجموعتان من سبعة.
  • ظهر على الأقل ستة واحد وثمانية واحد.

سأفوز إذا ظهر الرقمان السبعة أولاً عند قيمة متساوية. أليست الأفضلية لي، فمجموع السبعة هو الأرجح. مع ذلك، أشك في وجود خدعة. من كان له الأفضلية؟

مجهول

كان للطرف الآخر الأفضلية. إليك احتمالية كل نتيجة متضمنة:

  • 6 = 5/36
  • 7 = 6/36 = 1/6
  • 8 = 5/36

متوسط وقت الانتظار لتحقيق حدث احتماله p هو 1/p.

احتمال الحصول على مجموع ٧ هو ١/٦. لذا، في المتوسط، يتطلب الأمر ٦ رميات للحصول على مجموع ٧. للحصول على مجموعين، يتطلب الأمر ١٢ رمية في المتوسط.

احتمال الحصول على مجموع 6 أو 8 هو (5/36) + (5/36) = 10/36. تجدر الإشارة إلى أن الحصول على المجموع 6 و8 يمكن أن يحدث بأي ترتيب. وبالتالي، فإن احتمال الحصول على أيٍّ من المجموعين هو 1/(10/36) = 36/10 = 3.6.

بمجرد تحقيق المجموع الأول بين 6 و8، يصبح احتمال الحصول على المجموع الثاني 5/36. وقت الانتظار للحدث الثاني هو 1/(5/36) = 36/5 = 7.2 رمية.

وبالتالي، فإن النتيجة المتوقعة للحصول على 6 و8، في أيٍّ من الحالتين، هي 3.6 + 7.2 = 10.8. وهذا أقل من 12 لسبعتين. وبالتالي، فإن اختيار 6 و8 هو الخيار الأفضل في هذا الرهان.

يتم رمي حجر نرد ذي عشرين وجهًا. يمكن للاعب إما الاحتفاظ بعدد الدولارات التي رُميت به أو دفع دولار واحد لرميه مرة أخرى. يمكن للاعب تكرار ذلك لعدد غير محدود من المرات. ما هي الاستراتيجية الصحيحة والسعر المناسب للعب هذه اللعبة؟

مجهول

لنفترض أن أقل لفة يقبلها اللاعب هي r.

وبمجرد تحقيق هذا الهدف، فإن النتيجة المتوسطة ستكون (20+r)/2.

احتمال تحقيق الهدف في أي رمية هو (21-r)/20. وبالتالي، فإن احتمال تحقيق الهدف في أي رمية هو عكس ذلك، أي 20/(21-r).

لتحقيق هدف r، يكون الربح المتوقع هو (20+r)/2 - 20/(21-r). فيما يلي بعض المكاسب المتوقعة لقيم r المعقولة.

  • 14: 15.14 دولارًا
  • 15: 15.17 دولارًا
  • 16: 15.00 دولارًا

لذا، نرى أن الربح المتوقع سيصل إلى الحد الأقصى عند 15.17 دولارًا مع هدف الحصول على 15 أو أعلى.

هذا السؤال مُقتبس من اللغز ٢٢ في كتاب "ألغاز الرياضيات، المجلد ٣" للكاتب بريش تالوالكار. في كتابه، استُخدم حجر نرد ذي ١٠٠ وجه.

في التنس، افترض أن احتمال فوز المُرسِل بأي نقطة هو p. ما احتمال فوز المُرسِل إذا كانت النتيجة Ad-Out أو Deuce أو Ad-In؟

مجهول

لفائدة القراء الآخرين، في رياضة التنس، يجب على اللاعب الفوز بنقطتين للفوز بالمباراة. يُسمى التأخر بنقطة واحدة "خروج" (Ad Out)، والتقدم بنقطة واحدة "دخول" (Ad In).

دعونا ننشئ بعض المصطلحات.

  • أ = احتمال الفوز باللعبة في Ad Out.
  • ب = احتمال الفوز في المباراة في ديوس.
  • ج = احتمال الفوز باللعبة في Ad In.

ومن هنا يمكننا تشكيل سلسلة ماركوف، على النحو التالي:

  • أ = رصاص
  • ب = حاسب شخصي + (1-ص)أ
  • ج = ص + (1-ص)ب

دعونا نحاول حل b، بإدخال المعادلتين الأولى والثالثة أعلاه في الثانية:

ب = ص(ص + (1-ص)ب) + (1-ص)صب

ب = ص 2 + ب ب - ص 2 ب + ب ب - ص 2 ب

بعض الجبر البسيط يؤدي إلى...

ب = ص 2 /(1-2ص+2ص 2 )

ومن هناك، يصبح من السهل استخدام الصيغتين الأولى والثالثة لإيجاد a وc.

يوضح الجدول التالي الاحتمالات في المراحل الثلاث المحتملة لقيم مختلفة لـ p.

ص إعلان خارج شيطان إعلان في
0.1 0.001220 0.012195 0.110976
0.2 0.011765 0.058824 0.247059
0.3 0.046552 0.155172 0.408621
0.4 0.123077 0.307692 0.584615
0.5 0.250000 0.500000 0.750000
0.6 0.415385 0.692308 0.876923
0.7 0.591379 0.844828 0.953448
0.8 0.752941 0.941176 0.988235
0.9 0.889024 0.987805 0.998780