WOO logo

يوصي المعالج

اسأل الساحر #416

حوض سباحة مليء بالمياه المالحة. يسمح خرطوم بدخول الماء العذب إلى الحوض بمعدل ثابت. عندما يتدفق الماء العذب إلى الداخل، يتدفق الماء من الطرف الآخر بنفس المعدل. بعد سكب كمية من الماء تساوي حجم الحوض، ما نسبة الماء المالح المتبقية؟

مجهول

1/e = 36.7979%

وهنا الحل الخاص بي (PDF).

في برنامج المسابقات، تُعرض عليك جائزة تتراوح بين 0 و20 دولارًا، تُحدد عشوائيًا وفقًا لتوزيع موحد ومستمر. بعد عرض الجائزة، يمكنك الاحتفاظ بها أو دفع دولار واحد لسحب عرض جديد. يمكنك تكرار ذلك عدة مرات كما تشاء.

ما هي الاستراتيجية المثالية وما هو الربح المتوقع باتباع هذه الاستراتيجية؟

مجهول

يجب أن تقبل جائزة أكبر من 20-2*sqrt(10) = 13.67544 دولارًا. الربح المتوقع باتباع هذه الاستراتيجية هو 14.675445 دولارًا.

[spoiler=الحل]

دع x = الحد الأدنى للقيمة التي ستقبلها.

القيمة المتوسطة على x هي (20+x)/2.

احتمال قبولك لأي عرض معين هو (20-x)/20.

متوسط عدد العروض التي سترفضها هو 1/((20-x)/20) = 20/(20-x).

ليكن f(x) = متوسط الفوز النهائي = (20+x)/2 - 20/(20-x).

لإيجاد أقصى فوز، احل x عندما f'(x)=0.

f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0

20/(س^2 - 40س + 400) = 1/2

x^2 - 40x + 400 = 40

x^2 - 40x + 360 = 0

حل x باستخدام الصيغة التربيعية...

x = (40 - 4*الجذر التربيعي(10))/2 = 20 - 2*الجذر التربيعي(10) = 13.67544468.

وهذا يجعل متوسط الفوز (20 + 13.67544468) / 2 - 20 / (20-13.67544468) = ~ 14.675445.

[/كابح]

الجذر التربيعي (3-x) = 3-x 2

حل لـ x.

مجهول

x = -1، 2، (sqrt(13)-1)/2، -(sqrt(13)+1)/2

[spoiler=الحل]

قم بتربيع كلا الجانبين للحصول على 3-x = x 4 - 6x 2 + 9

f(x) = x 4 - 6x 2 + x + 6 = 0

بعد ذلك، استخدم نظرية الجذر النسبي لإيجاد عامل x.

الجذور المحتملة هي x = +/- (1/1، 2/1، 3/1، 6/1)

إذا كان x=-1، فإن f(x) = 0. لذا فإن (x+1) هو عامل.

س 4 - 6 س 2 + س + 6 = (س+1)(س 3 - س 2 -5س + 6)

بتطبيق نظرية الجذر النسبي مرة أخرى نحصل على جذور محتملة لـ x = +/- (1/1، 2/1، 3/1، 6/1).

تُظهر بعض التجارب والأخطاء أن x=2 هو الحل. وبالتالي، (x-2) هو عامل.

س 3 - س 2 -5س + 6 = (س-2)(س 2 + س + 3)

باستخدام الصيغة التربيعية لحل x 2 + x + 3 = 0 نحصل على x = (-1 +/- sqrt(13))/2.

وبالتالي، فإن جميع الحلول هي x = -1، 2، (-1 + sqrt(13))/2، (-1 - sqrt(13))/2.

[/كابح]