اسأل الساحر #421

بافتراض أن جميع اللاعبين يتمتعون بنفس المهارة، ما هو احتمال فوز الفريق الذي يقدم الخدمة أولاً في لعبة بيكلبول باللعبة بأكملها؟

مجهول

دعوني أذكر بقية القراء بقواعد التسجيل في لعبة بيكلبول.

الفريق الأول الذي يحصل على 11 نقطة ويفوز بفارق نقطتين على الأقل، يفوز باللعبة.
يتكون كل فريق من لاعبين اثنين، وسأشير إليهما باللاعب 1 واللاعب 2. وسأشير إلى الفريقين باسم A وB، حيث يقوم A بالإرسال أولاً.
اللاعب رقم 2 في الفريق أ يقوم بالخدمة.
إذا فاز الفريق أ من الخطوة ٣ بالتبادل، يحصل على نقطة، ويرسل نفس اللاعب مرة أخرى. يستمر هذا حتى يفوز الفريق ب بالتبادل.
اللاعب 1 في الفريق B يقدم الخدمة.
إذا فاز الفريق (ب) من الخطوة الخامسة بالتبادل، يحصل على نقطة، ويرسل نفس اللاعب مرة أخرى. يستمر هذا حتى يفوز الفريق (أ) بالتبادل.
اللاعب رقم 2 في الفريق B يقوم بالخدمة.
إذا فاز الفريق (ب) من الخطوة الخامسة بالتبادل، يحصل على نقطة، ويرسل نفس اللاعب مرة أخرى. يستمر هذا حتى يفوز الفريق (أ) بالتبادل.
اللاعب 1 في الفريق أ يقدم الخدمة.
إذا فاز الفريق (أ) من الخطوة ٧ بالتبادل، يحصل على نقطة، ويرسل نفس اللاعب مرة أخرى. يستمر هذا حتى يفوز الفريق (ب) بالتبادل.
العودة إلى القاعدة رقم 3.

يرجى ملاحظة أن الفريق المُستقبِل لا يمكنه ربح نقاط. يلعبون لاستعادة الإرسال.

باختصار، يُرسل اللاعب نفسه ويكسب نقطة عن كل تبادل يفوز به حتى يفوز الفريق الآخر بتبادل آخر. لا يكسب الفريق المُستقبِل أي نقاط. عند انتقال دور الإرسال من فريق إلى آخر، يحصل كلا اللاعبين في الفريق المُرسِل على فرصة الإرسال. ولجعل الاحتمالات أكثر عدالة، يبدأ اللعب بالإرسال من اللاعب الثاني في أحد الفريقين. يستمر هذا حتى يحصل أي من الفريقين على 11 نقطة على الأقل وفارق فوز لا يقل عن نقطتين.

مع ذلك، إجابتي هي أن احتمال فوز الفريق المُرسِل هو ٠٫٤٩٩٩٩٩٩٩٧٥٢٢. تم حل هذه المسألة باستخدام سلسلة ماركوف.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في المنتدى الخاص بي في Wizard of Vegas .

لنفترض أن لدينا يانصيبًا تم فيه اختيار 6 كرات عشوائيًا في نطاق من 1 إلى 54. ما هو احتمال عدم سحب كرة واحدة على الأقل في 50 عملية سحب؟

KevinAA

الإجابة هي 0.140150159777671.

[spoiler=الحل]

للبدء، نسأل ما هو احتمال عدم ظهور أي رقم محدد في 50 سحبًا؟ الإجابة هي (combin(53,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = (8/9) ⁵⁰ = 0.002769325.

بالنسبة لاحتمال عدم استدعاء أي رقم في 50 عملية سحب، اضرب الرقم أعلاه في 54: 54 × 0.002769325 = 0.149543533246569.

مع ذلك، هذه حالات عدّ مزدوجة حيث لا يُستدعى رقمان في 50 مباراة. احتمال عدم استدعاء رقمين محددين في 50 مباراة هو (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.788260 ⁵⁰ = 0.00000681512. هناك combin(54,2) = 1431 طريقة لاختيار أي كرتين من أصل 54. لذا، احتمال عدم استدعاء أي كرتين في 50 مباراة هو 1431 × (combin(52,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.009752432.

لذا، نحن الآن عند 0.149543533246569 - 0.009752431939662 = 0.139791101306907.

مع ذلك، فإن تعديل العد المزدوج المذكور أعلاه يشمل الحالات التي لا يُستدعى فيها ثلاثة أرقام في 50 لعبة. هذا الاحتمال هو combin(54,3)*(combin(51,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0.000367891216781.

لذا، نحن الآن عند 0.149543533246569 - 0.009752431939662 + 0.000367891216781 = 0.140158992523688.

نستمر في القيام بذلك، بالتناوب بين الجمع والطرح. يتعامل إكسل مع حوالي 15 رقمًا معنويًا فقط، لذا نحتاج إلى القيام بذلك عبر ثمانية أرقام مفقودة فقط لنكون دقيقين ضمن هذه الأرقام المعنوية الخمسة عشر.

في النهاية، يصبح الاحتمال هو 0.140150159777671.

[/كابح]

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

لنفترض أن احتمالات فوز حدث ما هي 6.3 إلى 1. يقدم أحد مكاتب المراهنات الرياضية هذا الرهان بنسبة 6 إلى 1. إذا أرادوا تقديم رهان على فوز الفريق المفضل بنفس هامش الربح الذي يتمتع به الفريق الأضعف، فما هي احتمالات الفوز التي يجب أن يقدمها؟

مجهول

إذا كانت الاحتمالات العادلة هي 6.3 إلى 1، فإن احتمال الفوز هو 1/7.3.

الرهان على الفريق الأضعف يدفع 6 إلى 1، وهو نفس الرهان 7 إلى 1. وهذا يجعل الفوز المتوقع = 7/7.3 = 70/73 = 0.958904.

احتمال فوز المرشح المفضل هو 6.3/7.3 = 63/73.

فلنطلق على احتمالات فوز المرشح المفضل، على أساس "واحد مقابل واحد"، اسم f.

حل لـ f، بحيث:

(63/73) × ف = 70/73.

اضرب كلا الطرفين في 73:

63f = 70

ف = 70/63 = 10/9

لتحويل ذلك إلى أساس "إلى واحد"، اطرح 1. لذا، يجب ضبط احتمالات فوز المرشح المفضل على 1 إلى 9.