اسأل الساحر #423

Q: <p style=";text-align:right;direction:rtl">ستتلقى في المتوسط رسالة بريد إلكتروني واحدة كل ست دقائق. احتمالية استلام رسالة بريد إلكتروني في أي لحظة ثابتة ومستقلّة عن الوقت المنقضي منذ استلام آخر رسالة. كل دقيقة ترمي فيها حجر نرد ذي ستة أوجه، بدءًا من الدقيقة التالية. ما احتمالية استلامك رسالة بريد إلكتروني قبل ظهور الرقم ستة؟</p>

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>الإجابة</button><div class='spoiler'>(1-e <sup>-1/6</sup> )/(1-(5/6)e <sup>-1/6) =~ 0.52111006</div></div> <p style=";text-align:right;direction:rtl"> </p><p style=";text-align:right;direction:rtl">إليكم <a href="/pdf/2079/ask-the-wizard-423.pdf">الحل</a> (PDF).</p> <p style=";text-align:right;direction:rtl">طُرح هذا السؤال ونوقش في منتداي على <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/100/#post960215" target=_blank>موقع Wizard of Vegas</a> .</p></sup>

سمعتُ أن النتيجة في ألعاب الروليت الإلكترونية تُحدَّد مُسبقًا بواسطة مُولِّد أرقام عشوائي. ثم تُوجِّه اللعبة الكرة بطريقةٍ ما إلى الرقم المُفترض أن تُسجِّله. ربما تُغيِّر سرعة العجلة، أو تستخدم مغناطيسًا، أو تنفخ الهواء على الكرة. ما الذي يحدث حقًا يا ويز؟

مجهول

أُدرج هذه الفكرة ضمن ملفي الضخم لنظريات المؤامرة المتعلقة بالكازينوهات. لا يوجد أي مبرر على الإطلاق لأي مُصنّع لألعاب الطاولة الإلكترونية للقيام بذلك. قد يقول المُتشكك إن الدافع هو رمي الكرة في المكان الذي يخسر فيه اللاعبون أكثر. مع ذلك، يُعد هذا الأمر غير قانوني في معظم الولايات القضائية، ويسهل على شخص مثلي اختباره. تتمتع لعبة الروليت ذات الصفر المزدوج بالفعل بميزة كازينو بنسبة 5.26%، وهي نسبة كبيرة.

يُطرح هذا الموضوع في منتدى ساحر فيغاس بين الحين والآخر. لم أرَ قط أي بيانات تدعم هذا الادعاء، بل مجرد أدلة قصصية في أحسن الأحوال.

لنفترض وجود فعالية مواعدة بين الجنسين، يحضرها رجال (م) ونساء (ث). يكتب كل شخص أسماء أشخاص يرغب بمقابلتهم على بطاقة. بعد انتهاء الفعالية، يقوم المضيف بمطابقة أي شخصين اختارا بعضهما. ما احتمال حصولي على تطابق واحد على الأقل؟ قد تفترض أن الاختيارات عشوائية.

مجهول

بافتراض أنك ذكر، فإن احتمال اختيار أي امرأة لك هو ق/م. لذا، فإن احتمال عدم اختيار أي امرأة لك هو (م/م). واحتمال عدم اختيارك لك هو ((م-1)/م) ^ج . احتمال وجود مباراة واحدة على الأقل أقل بمقدار 1 من هذا الاحتمال، أي 1-((م-1)/م) ^ج . لاحظ أن عدد اللاعبات لا يهم، فقط اللاعبات اللواتي تضعهن على بطاقتك.

لنأخذ مثالاً. لنفترض أن هناك ٥٠ رجلاً وخمسة أسماء لكل بطاقة. احتمالية تطابق واحد على الأقل هي ١-((٥٠-٥)/٥٠) ^٥ = حوالي ٤٠٫٩٥٪. بالمناسبة، يمكن تقريب هذه النسبة إلى ١-e ^{-(c ^٢ /m).}

رأيت هذه الصورة على تويتر. ما هي احتمالات أن يوزع الموزع لنفسه ثمانية آسات؟

DJTeddyBear

لنفترض وجود مجموعة أوراق لعب جديدة بستة رزم. هناك 10,518,300 طريقة لاختيار ثمانية آصات من أصل 32 في المجموعة. يوجد 312 بطاقة في المجموعة. هناك 2,034,346,802,568,790 طريقة لاختيار أي ثماني منها. وبالتالي، فإن الاحتمال هو 10,518,300 / 2,034,346,802,568,790 = ~ 1/193,410,228.

هناك طريقة أخرى لحلها وهي pr(البطاقة الأولى هي الآس) × pr(البطاقة الأولى هي الآس) × ... × pr(البطاقة الثامنة هي الآس) = (32/312) × (31/311) × ... × (25/305).

ستتلقى في المتوسط رسالة بريد إلكتروني واحدة كل ست دقائق. احتمالية استلام رسالة بريد إلكتروني في أي لحظة ثابتة ومستقلّة عن الوقت المنقضي منذ استلام آخر رسالة. كل دقيقة ترمي فيها حجر نرد ذي ستة أوجه، بدءًا من الدقيقة التالية. ما احتمالية استلامك رسالة بريد إلكتروني قبل ظهور الرقم ستة؟

Ace2

(1-e ^-1/6 )/(1-(5/6)e ^{-1/6) =~ 0.52111006}

إليكم الحل (PDF).

طُرح هذا السؤال ونوقش في منتداي على موقع Wizard of Vegas .