اسأل الساحر #84

في هذه المسألة، يمكننا استخدام التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين. تباين عدد الرؤوس هو 1000*(1/2)*(1/2)=250. وبالتالي، فإن الانحراف المعياري هو 250 ^1/2 = 15.8114. احتمال أن يكون عدد الرؤوس أقل من 548 هو normdist((548+0.5-500)/15.8114) = 0.998920، حيث normsdist هي دالة Excel لاحتمال وقوع متغير عشوائي بتوزيع طبيعي متوسطه 0 وانحراف معياري 1 تحت الدرجة Z المعطاة. بعد ذلك، نطرح احتمال أن يكون عدد الرؤوس أقل من 452. هذا هو normdist((452-0.5-500)/15.8114) = 0.001080. إذن، الإجابة هي 0.99892-0.00108 = 0.997840. مرة أخرى، هذا تقريب. الإجابة الفعلية هي ٠٫٩٩٧٨٥٦، لكن استنتاجها أصعب. في المتوسط، بعد تحديد نقطة في لعبة الكرابس، كم مرة سوف يحقق اللاعب هذه النقطة؟

إذا كانت نقطةٌ ما قد تم تحديدها في ٥/١٢ من المرات، فستكون ٦ أو ٨، و٤/١٢ لـ ٥ أو ٩، و٣/١٢ لـ ٤ أو ١٠. احتمال الحصول على ٦ أو ٨ هو ٥/١١، و٥ أو ٩ هو ٤/١٠، و٤ أو ١٠ هو ٣/٩. لذا، فإن احتمال الحصول على نقطة، بشرط تحديدها، هو: (٥/١٢)*(٥/١١)+(٤/١٢)*(٤/١٠)+(٣/١٢)*(٣/٩) = ٤٠.٦١٪.

الحساب سهل للغاية. احتمالية ظهور "رويال فلاش" هي ١ من ٦٤٩٧٤٠. لذا، فإن تكلفة إعادة توزيع الجائزة الكبرى هي ١٠٠٠٠ دولار أمريكي * (١/٦٤٩٧٤٠) = ١.٥٤٪. لكل دولار تراهن به، تحتفظ بنسبة ٤٠٪ للربح وإعادة توزيع الجائزة الكبرى. ٤٠٪ - ١.٥٤٪ = ٣٨.٤٦٪ ربح/ميزة الكازينو. لا يهم ما تدفعه على الجائزة الكبرى الأصغر أو ما إذا كان هناك حد أقصى للفوز. في النهاية، نسبة الـ ٦٠٪ التي تذهب إلى العداد تذهب إلى اللاعبين بطريقة أو بأخرى، ولا يهمك كيفية توزيعها.

لمن لا يعرف قواعد اللعبة، هناك خمس بطاقات مكشوفة. السؤال هو: ما احتمال أن يكون ثلاث بطاقات على الأقل من نفس النوع من بين خمس بطاقات موزعة من مجموعة واحدة، دون استبدال؟ هناك مجموع (52،5) = 2598960 طريقة لتوزيع 5 بطاقات من أصل 52. عدد طرق توزيع 4 بطاقات من نفس النوع هو 4 × مجموع (13،5) = 1144. عدد طرق توزيع 4 بطاقات من نفس النوع هو 4 × مجموع (13،4) × 39 = 111540. عدد طرق توزيع 3 بطاقات من نفس النوع هو 4 × مجموع (13،3) × مجموع (39،2) = 847704. إذن، مجموع التركيبات هو 960388، والاحتمال هو 36.95%.

سؤال جيد. لنفكر في هذا بالوحدات بدلاً من رهانات بقيمة 100 دولار. سيكون لديك دائمًا رهان على التمريرة أو المجيء. في أي رمية، يكون احتمال وجود رهان تمريرة أو مجيء قديم على الرقم 4 هو 3/9. هذا هو الاحتمال بأنه بالنظر إلى الرميات القديمة ستجد 4 قبل 7. وبالمثل، فإن احتمال الرهان على 5 هو 4/10 وعلى 6 هو 5/11. لذا فإن متوسط الرهان الإجمالي هو 1 + pr(4) + pr(5) + pr(6) + pr(8) + pr(9) + pr(10) = 1 + 3/9 + 4/10 + 5/11 + 5/11 + 4/10 + 3/9 = 3.3758 وحدة. لن يكون هذا المتوسط صحيحًا في البداية، أثناء دخولك اللعبة. سينطبق فقط بعد ظهور جميع أرقام النقاط والرقم 7 مرة واحدة على الأقل.

احتمالية ظهور رقمك x مرة بالضبط هي combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x . يوضح الجدول التالي احتمالية ظهور جميع النتائج من 0 إلى 6، بالإضافة إلى الإجمالي.

لذا فإن الإجابة هي 0.00000177564555، أو 1 في 563175. أتمنى ألا يحدث هذا في كازينو الإنترنت.

قد تتساءل لماذا لم أستخدم التقريب الاعتيادي كما فعلتُ في مسألة رمي العملة أعلاه؟ لأنه لا يعمل جيدًا مع الاحتمالات العالية جدًا والمنخفضة جدًا.