بلاك جاك - احتمال

هذا سؤال شائع قد يُصادف في دروس الإحصاء التمهيدية. ولأن مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية يقترب دائمًا من منحنى الجرس، يمكننا استخدام نظرية الحد المركزي للوصول إلى الإجابة.

من خلال قسمي حول هامش الكازينو، نجد أن الانحراف المعياري في البلاك جاك هو 1.17. لن تفهم هذا إن لم تدرس الإحصاءات، لكن احتمال الخسارة في مثالنا سيكون إحصائية Z 45000 × 0.005 / (45000 ^½ × 1.17) = ~ 0.91.

يجب أن يحتوي أي كتاب إحصائي أساسي على جدول توزيعي معياري يُعطي إحصاء Z بقيمة ٠٫٨١٨٦. لذا، فإن احتمالية التقدم في مثالكم تبلغ حوالي ١٨٪.

عندما يكون لدى الموزع ورقة ١٧ ناعمة، يُخسر الموزع حوالي ٢٩.١٪ من المرات. وعندما يُعطي الموزع ورقة ١٧ ناعمة، يُخسر الموزع حوالي ٢٩.٦٪ من المرات. وفقًا لملحق البلاك جاك رقم ٤ ، فإن احتمال الفوز الصافي هو ٤٢.٤٢٪. ومع ذلك، إذا تجاوزنا التعادل، يصبح الاحتمال ٤٦.٣٦٪. لذا، فإن احتمال الفوز لأربع مرات متتالية هو ٠.٤٦٣٦ = ^٤ = ٤.٦٢٪.

شكرًا لكلماتك الطيبة. إن سلسلة الانتصارات، مثل سحب الموزع لمجموع 5 مقابل 16، أمرٌ حتمي، ولكنه غير متوقع. لعبة البلاك جاك ليست لعبة تجارب مستقلة تمامًا مثل الروليت، ولكن مجموعة الأوراق ليست مُهيأة للانتصارات المتتالية. بالنسبة لمن لا يعتمد على عدّ الأوراق، يُمكن افتراض أن الاحتمالات متساوية في كل جولة جديدة. بغض النظر عن بعض التأثيرات البسيطة لتكوين مجموعة الأوراق، فإن الموزع الذي سحب 5 مقابل 16 في آخر خمس مرات متتالية سيكون احتمال تكرار ذلك في المرة القادمة مساويًا لاحتمالية تكراره للموزع الذي كان يخسر 16 لعدة ساعات.

وفقًا لملحق البلاك جاك رقم 4 ، فإن احتمال الفوز الإجمالي في البلاك جاك هو 42.22%، والتعادل 8.48%، والخسارة 49.10%. سأفترض أنك ترغب في تجاهل التعادل لأغراض السلسلة. في هذه الحالة، يكون احتمال الفوز، مع رهان مُحكم، 46.36%. واحتمال الفوز بعدد n يد في صف واحد هو ^0.4636 . لذا، فإن احتمال الفوز بستة أيدي متتالية هو 0.99%، وسبعة أيدي متتالية هو 0.46%.

ما مررتَ به على الأرجح نتيجة سلسلة خسائر فادحة. وقد يكون أيضًا نتيجةً لرهانات تصاعدية أو أخطاء في الاستراتيجية. يجب أن يكون لدى المراهن المستقر، وفقًا للاستراتيجية الأساسية، توقعات متماثلة تقريبًا من حيث الصعود والهبوط الحاد، مع تفضيل طفيف للانخفاض الحاد نظرًا لنسبة ربح الكازينو واحتمال خسارة يد بنسبة 48% مقارنةً باحتمال الفوز بنسبة 43%. إذا كنتُ ألعب للمتعة، فأغادر الطاولة عندما لا أستمتع.

ليكن n عدد مجموعات الأوراق. احتمال الفوز بالبلاك جاك هو 2*(4/13)*(4n/(52*n-1)). إذا كان n=6، فإن الاحتمال هو 192/4043 = 4.75%.

شكراً على كلماتك الطيبة. سؤالك وجيه، لكن لا توجد إجابة قاطعة له. الأمر يتعلق أكثر بالدرجة، فكلما لعبت أكثر، اقتربت نتائجك من هامش ربح الكازينو. لقد استبدلتُ مؤخراً ملحق البلاك جاك رقم 4 ببعض المعلومات حول الانحراف المعياري، والتي قد تفيدك. على سبيل المثال، يوضح هذا الجدول أنه إذا لعبت 10,000 يد بلاك جاك، فإن احتمالية إنهاء اللعبة ضمن 192 وحدة من حيث بدأت، هي 90%، بعد طرح الخسارة المتوقعة بسبب هامش ربح الكازينو. لذا، في 10,000 يد، من المرجح أن تربح أو تخسر أقل من 2% من إجمالي مبلغ الرهان بسبب التباين العشوائي. ومع ذلك، إذا لعبنا حتى مليون يد، فإن الاحتمالية هي 90% من تباين بنسبة 0.2% بسبب الحظ. بشكل عام، يتناسب التباين في المتوسط عكسياً مع الجذر التربيعي لعدد الأيدي التي تلعبها. كل هذا يفترض رهاناً ثابتاً، وإلا ستصبح الحسابات معقدة للغاية.

احتمال أن تكون الورقة الأولى آسًا هو ٤/٥٢. واحتمال أن تكون الورقة الثانية ١٠ نقاط هو ١٦/٥١. لذا، فإن احتمال ظهور الآس في أول بلاك جاك هو (٤/٥٢)*(١٦/٥١). اضرب هذا في ٢، لأن الورقة العشرة قد تكون الورقة الأولى بسهولة، والإجابة هي ٢*(٤/٥٢)*(١٦/٥١) = ١٢٨/٢٦٥٢ = ٠.٠٤٨٢٦٥٥، أو حوالي ١ من ٢٠.٧.

منذ طرح هذا السؤال، أمسك لاعبٌ بالنرد 154 مرة في 23 مايو 2009 في أتلانتيك سيتي. احتمال حدوث ذلك هو 1 من 5,590,264,072. لمعرفة احتمال أي عدد من الرميات من 1 إلى 200، يُرجى مراجعة جداول البقاء في لعبة الكرابس . لمعرفة كيفية حل المسألة بنفسك، يُرجى مراجعة موقعي MathProblems.info ، المسألة 204.

ستكون خسارتك المتوقعة 100*5*0.005=2.50 دولار. الانحراف المعياري ليد واحدة هو 1.17، والذي يُمكن إيجاده في ملحق البلاك جاك 7. لذا، فإن أحد الانحرافات المعيارية في مثالنا هو 5*1.17*sqr(100)=58.5 دولار. لذا، فإن احتمال خسارة 295 دولارًا أو أكثر بسبب سوء الحظ هو 0.00135 (إحصائية Z لـ -3).

تبقى ١٠٣ بطاقات في المجموعتين، منها ٣٢ بطاقة من العشرات. لذا، احتمال الفوز بالبلاك جاك هو ٣٢/١٠٣ = ٣١٫٠٧٪.

احتمال ظهور بلاك جاك متطابق في لعبة مكونة من ستة مجموعات من البطاقات هو 2*(4/13)*(6/311) = 0.0118723.

أحاول حل هذه المشكلة في ملحق البلاك جاك رقم 8، لكنني سأتناولها بتأنٍّ هنا. سنتجاهل بلاك جاك الموزع لتبسيط الأمور، ونفترض أن اللاعب يفوز دائمًا بعد بطاقتين. عدد طرق ترتيب 3 بطاقات في مجموعة أوراق من 6 رزم هو combin(312,3)=5,013,320. يوجد 24 بطاقة سبعة في المجموعة. عدد طرق ترتيب 3 بطاقات سبعة من أصل 24 هو combin(24,3)=2024. الاحتمال هو عدد التركيبات الفائزة مقسومًا على إجمالي التركيبات، أو 2024/5013320=0.0004، أو حوالي 1 من 2477.

أنت تنسى أن هناك ترتيبين محتملين، إما أن يكون الآس أو العشرة أولاً. اضرب في ٢ لتحصل على الإجابة.

وفقًا لكتاب ستانفورد وونغ "البلاك جاك الأساسي"، يُشير إلى أن نسبة ربح اللاعب إذا كانت الورقة الأولى آسًا هي 50.5% (صفحة 124). لكن يُمكن إعادة صياغة سؤالك كالتالي: "ما قيمة الآس، علمًا بأن الورقة الأخرى ليست عشرة؟". لتبسيط المسألة، يُمكننا تحليل رقم وونغ كما يلي: 0.505 = (4/13)*1.5 + (9/13)*x، حيث x هو ما نريد معرفته. وبإجراء عملية حسابية بسيطة، نحصل على x = 28.5%.

نعم! سؤال جيد، حتى أنا لم أكن أعرفه. كلما قلّت مجموعات البطاقات وزاد عدد البطاقات، زادت صحة هذا. لاختبار الحالة الأكثر احتمالًا للفوز، ٨ مجموعات بطاقات و٣ بطاقات فقط، جربتُ جميع الاحتمالات الممكنة من خلال برنامجي التوافقي. يعرض الجدول التالي النتائج.

يُظهر الرقمان الأيمنان في الصف السفلي أن القيمة الإجمالية المتوقعة للضرب هي -0.540355 وللوقوف هي -0.540293. لذا، يُعدّ الوقوف أفضل قليلاً. سيؤدي اتباع هذه القاعدة إلى زيادة وحدة كل 1117910 يد. استغرق الأمر حوالي 5 سنوات من لعب البلاك جاك لمدة 40 ساعة أسبوعيًا قبل أن تُوفّر هذه النصيحة للاعب وحدة واحدة.

وفقًا لملحق البلاك جاك 9H، فإن العائد المتوقع للوقوف هو -0.476476، وللضرب هو -0.408624، بافتراض أن 16 يتكون من 10 و6. لذا، فإن ضربي سيوفر لك 6.79 سنتًا لكل دولار تراهن به. هذه ليست حتى لعبة هامشية. لا توجد إجابة واضحة لشرح سبب ضربك. هذه القيم المتوقعة تأخذ في الاعتبار جميع الطرق العديدة التي يمكن أن تتطور بها اليد. أفضل لعبة لمليار يد هي أفضل لعبة ليد واحدة. إذا كنت ترغب في الخروج عن الاستراتيجية الأساسية، فإليك بعض الألعاب الحدية: 12 مقابل 3، 12 مقابل 4، 13 مقابل 2، 16 مقابل 10. سيكلفك الانحراف في هذه الأيدي أقل بكثير.

(١) يعتمد الأمر على ما يحدث إذا حصل الموزع على بلاك جاك. إذا كان من المؤكد أن اللاعب لن يخسر أكثر من رهانه الأصلي، فلا يهم إن أخذ الموزع ورقة ثانية أم لا. إذا كان اللاعب معرضًا لخسارة إجمالي مبلغ الرهان بعد المضاعفة أو التقسيم، وحصل الموزع على بلاك جاك، فإن ذلك يصب في مصلحة الموزع. (٢) لستُ مضطرًا لمحاكاة هذا، لأن عدد اللاعبين لا يُحدث فرقًا.

يعتمد ذلك على عدد مجموعات الأوراق. إذا كان عدد المجموعات n، فإن الاحتمال هو 2*pr(ace)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1))، وهو ما يعادل تقريبًا 1 من 21. إليك الإجابة الدقيقة لأعداد مختلفة من مجموعات الأوراق.

إذا كان احتمال الفوز بالبلاك جاك هو p، فإن احتمال عدم الفوز بأي بلاك جاك في ١٠ أيادٍ هو ١-(١-p) ^١٠. على سبيل المثال، في لعبة بستة أوراق، تكون الإجابة ١- ٠٫٩٥٢٥١١ ^١٠ = ٠٫٣٨٥٢٥١.

سأفترض أنه لا يحدث خلط بين الأوراق. اللاعبون الثلاثة الآخرون لا يهمّون. ستكون الإجابة 2 ³ *(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47)= 0.00004401، أو حوالي 1 من 22722. لو حدث خلط بين الأوراق، سيزداد الاحتمال بشكل كبير.

عدد الأيدي لا يهم. الاحتمال هو ٢*(٤/١٣)*(٨/١٠٣) = ٠٫٠٤٧٨.

يعتمد ذلك على وجود خلط بين أوراق البلاك جاك. بافتراض عدم وجود خلط، يكون الاحتمال 8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0.000044011058. عدد اللاعبين الآخرين لا يهم، إلا إذا تسببوا في خلط الأوراق.

من ملحق البلاك جاك رقم 7، نرى أن كل بطاقة 9 تُحذف من لعبة ورق واحدة تزيد من ربح الكازينو بنسبة 0.20%. مع ذلك، إذا كنت ستغش، فمن الأفضل بكثير إزالة الآس، مما يزيد من ربح الكازينو بنسبة 0.58%. إذا أضفت بطاقة إلى الموزع، فعليك إضافة 5، مما يزيد من ربح الكازينو بنسبة 0.80%. لذا، فإن أفضل بطاقة للاعب هي الآس، وأفضل بطاقة للموزع هي 5.

لا مشكلة لدي في زيادة رهانك عندما يحالفك الحظ. المهم هو أن تلعب أوراقك بشكل صحيح. ما لم تكن تحسب أوراقك، فلديك حرية المراهنة بقدر ما تشاء. وكما أقول دائمًا، جميع أنظمة المراهنة لا قيمة لها، لذا فإن المراهنة على الرهانات العشوائية لا تقل فائدة عن المراهنة الثابتة على المدى الطويل. عندما قلت إن احتمال خسارة 8 جولات متتالية هو 1 من 173، كنت أعني أن احتمال خسارة 8 جولات متتالية بدءًا من الجولة التالية هو 1 من 173. تزداد احتمالية خسارة 8 جولات متتالية خلال جلسة واحدة كلما طالت الجلسة. آمل أن يكون هذا قد أجاب على سؤالك.

احتمالية حدوث ذلك، إذا كانت بطاقتاكَ الأخريان أي بطاقتين من فئة 10 نقاط، هي 4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/comb(312,6) 1 من 22,307,231. مع ذلك، هناك طرق أخرى للحصول على أربعة آسات في نفس اليد، على سبيل المثال، قد تكون البطاقة الأخيرة 8 أو 9. سأحتاج إلى إجراء محاكاة حاسوبية للنظر في جميع التركيبات الأخرى. مع ذلك، لتخمين تقريبي، أعتقد أن 7 ملايين تبدو صحيحة تقريبًا.

استغرق الأمر مني سنوات لأتمكن من تصحيح أزواج التقسيم بنفسي. كانت سيندي من Gambling Tools مفيدة للغاية. كما تناول بيتر غريفين هذا الموضوع في الفصل الحادي عشر من كتاب "نظرية البلاك جاك". لنفترض أنني أريد تحديد القيمة المتوقعة لتقسيم الثمانية مقابل موزع ٢. يُسمح بإعادة تقسيم الأوراق حتى أربع أيادٍ. إليكم كيف فعلتُ ذلك.

1. خذ الرقم 2 والرقم 8 من الحذاء.
2. حدد احتمال عدم حصول اللاعب على الثمانية الثالثة في أي من اليدين.
3. افحص جميع الرتب، ما عدا 8، اطرح تلك الورقة من المجموعة، ثم العب جولة بها ورقة أخرى تحمل الرقم 8، وحدد القيمة المتوقعة، واضرب الناتج في 2. لكل رتبة، حدد احتمالية الحصول على تلك الرتبة، علمًا بأن احتمالية الحصول على 8 أخرى تساوي صفرًا. احسب حاصل الضرب النقطي للاحتمالية والقيمة المتوقعة لكل رتبة.
4. اضرب هذا الناتج النقطي في الاحتمال من الخطوة 2.
5. تحديد احتمالية أن يقوم اللاعب بإعادة تقسيم الأوراق إلى 3 أيدي.
6. خذ 8 أخرى من المجموعة.
7. كرر الخطوة 3 ولكن اضرب في 3 بدلاً من 2.
8. اضرب حاصل الضرب النقطي من الخطوة 7 في الاحتمالية في الخطوة 5.
9. تحديد احتمالية أن يقوم اللاعب بإعادة تقسيم الأوراق إلى 4 أيدي.
10. خذ اثنين آخرين من 8 من الحذاء.
11. كرر الخطوة 3 ولكن اضرب في 4 بدلاً من 2، وهذه المرة فكر في الحصول على 8 كبطاقة ثالثة، تتوافق مع الموقف الذي يضطر فيه اللاعب إلى التوقف عن إعادة التقسيم.
12. اضرب حاصل الضرب النقطي من الخطوة 11 في الاحتمالية في الخطوة 9.
13. أضف القيم من الخطوات 4 و8 و12.

أصعب جزء في هذا كله هو الخطوة الثالثة. لديّ برنامج فرعي معقد جدًا مليء بالصيغ الطويلة التي أستخدمها لتحديد الاحتمالات باستخدام أشجار الاحتمالات. يصبح الأمر صعبًا للغاية عندما يكون لدى الموزع ١٠ أو آص.

لنفترض أن لدينا ست مجموعات أوراق، وأن اللاعب يختار دائمًا ورقة ثالثة (سواءً بالضرب أو التقسيم). عدد طرق سحب ثلاث أوراق سباعية متماثلة هو عدد الأوراق (4) مضروبًا في عدد طرق اختيار ثلاث أوراق سباعية من أصل ست أوراق سباعية من نفس النوع في المجموعة. بمعنى آخر، 4 × كومبين (6،3) = 4 × 20 = 80. عدد طرق سحب ثلاث أوراق سباعية ملونة، بما في ذلك ثلاث أوراق سباعية متماثلة، هو عدد الألوان مضروبًا في عدد طرق اختيار ثلاث أوراق سباعية من أصل 12 ورقة سباعية في المجموعة من نفس اللون، أو 2 × كومبين (12،3) = 2 × 220 = 440. عدد طرق سحب أي ثلاث أوراق سباعية، بما في ذلك ثلاث أوراق سباعية ملونة ومتماثلة، هو عدد طرق اختيار ثلاث أوراق سباعية من أصل 24 ورقة سباعية في المجموعة، أو كومبين (24،3) = 2024. العدد الإجمالي للمجموعات لأي ثلاث بطاقات من أصل ٣١٢ هو combin(312,3)=5013320. لذا، فإن احتمال ظهور ثلاث بطاقات سبعات متماثلة هو 80/5013320=0.000015957. واحتمال ظهور ثلاث بطاقات سبعات ملونة، ولكن غير متماثلة، هو (440-80)/5013320=0.0000718. واحتمال ظهور ثلاث بطاقات سبعات بألوان مختلطة هو (2024-440)/5013320=0.00031596.

نعم، أحسب احتمالات البلاك جاك باستخدام نهج تركيبي، مُحللاً جميع الطرق الممكنة لظهور أوراق اللاعب والموزع، آخذاً أعلى قيمة متوقعة في كل نقطة قرار. برمجتها أصعب من المحاكاة، لكنني أعتقد أنها أكثر أناقة وتحدياً ممتعاً في البرمجة التكرارية. مع ذلك، ما زلت أحترم زملائي في إجراء المحاكاة. باستخدام أجهزة الكمبيوتر اليوم، لا يستغرق الأمر وقتاً طويلاً لإجراء مليار رهان، وهو ما يقترب كثيراً من العائد الأمثل للاستراتيجية.

لا تسمح العديد من الأماكن بإعادة تقسيم الآسات، لذا كن سعيدًا لأنك تلعب في مكان يسمح بذلك. لا يهم وضعك في اللعب. احتمال ذلك هو احتمال أن تكون أول أربع بطاقات من المجموعة آسات، والأربع التالية عشرات، أو (combin(24,4)/combin(312,4))*(combin(96,4)/combin(308,4)) = 1 من 4,034,213.

يبدو أنني أتلقى نسخة مختلفة من هذا السؤال مرة واحدة على الأقل شهريًا. لنفترض حاليًا أن مجموعة الأوراق تُخلط بعد كل جولة لتسهيل العملية الحسابية. إذا كان احتمال حدوث شيء ما هو ص، فإن احتمال حدوثه ن مرة متتالية هو ص ^ن . احتمال الحصول على بلاك جاك في لعبة بلاك جاك واحدة هو 4 × 16 / (52، 2) = 64 / 1326. لذا، فإن احتمال الحصول على أربع أوراق متتالية هو (64 / 1326) ⁴ = 16777216 / 3091534492176 = 1 في 184270. مع ذلك، فإن الاحتمال الفعلي أقل بكثير، لأنه مع كل بلاك جاك يحصل اللاعب على اللاعب، تقل نسبة الآسات إلى الأوراق المتبقية في المجموعة. بدون معرفة الأوراق التي حصل عليها الموزع، لا يمكنني إخبارك بالإجابة الدقيقة.

أهلاً بك، شكراً على مجاملاتك. احتمال الحصول على ٣ أوراق جوكر متتالية من مجموعة أوراق بستة (بالإضافة إلى أوراق الجوكر الثلاثة) هو ١/مجموعة (٣١٥،٣) = ١ من ٥,١٥٩,٨٠٥. الحل الآخر هو (٣/٣١٥)*(٢/٣١٤)*(١/٣١٣).

يتفق جميع خبراء البلاك جاك المحترفين على أن هامش ربح الكازينو يتناقص مع انخفاض عدد مجموعات الأوراق، مع ثبات جميع القواعد الأخرى. ومع ذلك، يصعب تفسير السبب. أولًا، صحيح أن احتمالية الحصول على بطاقة صغيرة وأخرى كبيرة في مجموعة أوراق واحدة أكبر من احتمالية الحصول على بطاقة كبيرة في مجموعة أوراق متعددة. على سبيل المثال، إذا عرّفنا البطاقة الصغيرة بأنها من 2 إلى 6، والبطاقة الكبيرة بأنها أي بطاقة من 10 نقاط أو آس، فإن احتمالية الحصول على واحدة من كل منهما في مجموعة أوراق واحدة هي 2*(20/52)*(20/51) = 30.17%. والاحتمالية في مجموعة أوراق مكونة من 8 مجموعات أوراق هي 2*(160/416)*(160/415) = 29.66%. على الرغم من أن البطاقات الصلبة يمكن أن تفوز في كلا الاتجاهين، إلا أن للاعب حرية اختيار عدم المشاركة، ويجب على الموزع دائمًا أن يراهن بها.

وفيما يلي الاحتمالات:

اللاعب 1 0.048265
اللاعب 2 0.036735
اللاعب 3 0.024823
التاجر 0.012560

الحاصل هو 1 من 1,808,986.

شكراً على الإطراء. للأسف، لا أعرف أي مصدر، حتى أنا، يُظهر شيفرةً لتحليل اللعبة. استغرق الأمر مني سنواتٍ حتى يعمل مُحرك البلاك جاك الخاص بي بكفاءة (كان تقسيم الأوراق عند ظهور ١٠ أو آس لدى الموزع صعباً للغاية). أسهل طريقة للحصول على أفضلية الكازينو في البلاك جاك هي كتابة مُحاكاة عشوائية. في أحد الأيام، أود كتابة كتاب عن كيفية تحليلي للألعاب، لكنني أخشى أنكم ستشترونه فقط.

2*(4/13)*(4ن/(52ن-1))

الاحتمال هو (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 1 في 3,248,700.

شكرا على الثناء.

بافتراض أن اللعبة تتكون من ستة مجموعات من الأوراق، حيث يقف الموزع على 17 ناعمة، ويلعب اللاعب استراتيجية أساسية، فإليك النتائج التقريبية بناءً على محاكاة 100 مليون يد.

إذا لعبتَ لعبةً بدون هامش ربح للكازينو، فإن احتمال ربح 200 دولار مع 5000 دولار للمخاطرة بها، باستخدام أي نظام، سيكون 5000/(5000 + 200) = 96.15%. الصيغة العامة للفوز بـ w برصيد b هي b/(b + w). لذا، كلما زاد الرصيد، زادت فرصك. ستقلل هامش الربح للكازينو من احتمالية النجاح بمقدار يصعب قياسه. في لعبة ذات هامش ربح للكازينو منخفض مثل البلاك جاك، يكون الانخفاض في احتمالية النجاح ضئيلاً. سيتطلب الأمر محاكاة عشوائية للتأكد. عذراً إن لم أُعر ذلك اهتماماً. أجرى VegasClick محاكاةً صغيرةً لاحتمالية النجاح باستخدام مارتينجال .

هذا غير صحيح. يجب أن تُظهر المجموعة المتبقية درجةً من الالتواء أكثر من درجة معينة حتى ترجح كفة اللاعب. لنفترض أن أي زوج من نفس النوع في لعبة ذات مجموعة واحدة يدفع 3 إلى 1. احتمال الفوز في أعلى المجموعة هو 4* ( مجموعة 13،2)/(مجموعة 52،2) = 23.53%. مع ذلك، إذا أحرقت بطاقتين من نوعين مختلفين، فإن احتمال الفوز ينخفض إلى 2*(مجموعة 13،2)+(مجموعة 12،2))/(مجموعة 50،2) = 23.51%. أما إذا أحرقت بطاقتين من نفس النوع، فإن احتمال الفوز يزداد إلى (3*(مجموعة 13،2)+(مجموعة 11،2))/(مجموعة 52،2) = 23.59%. إذا أُزيلت بطاقة واحدة من كل رتبة، سينخفض احتمال الفوز إلى 4*comb(12,2)/comb(48,2) = 23.40%. يُظهر كل هذا أنه إذا أُزيلت البطاقات بتوزيع موحد، فإن احتمالات الفوز تنخفض، بينما تزداد مع توزيع غير متوازن. مع انخفاض عدد البطاقات، تتحسن احتمالات الفوز أحيانًا، وأحيانًا تتراجع، ولكن على المدى الطويل، تستقر عند متوسط 23.53%.

وفقًا لقواعد فيغاس النموذجية (6 مجموعات أوراق، والموزع يحصل على ورقة 17 ناعمة)، تبلغ نسبة ربح الكازينو بالبقاء دائمًا 15.7%. على المدى القصير، لا يزال بإمكانك التغلب على هذه النسبة، ولكن على المدى البعيد ستخسر خسارة فادحة.

في كريبتولوجيك، يستخدمون 8 رزم أوراق، ويعتمد الموزع على ورقة 17 ناعمة. وفقًا لملحق البلاك جاك رقم 2 ، فإن احتمال خسارة الموزع مع وجود 6 أوراق إضافية هو 0.422922. لذا، فإن احتمال عدم خسارة الموزع هو 1 - 0.422922 = 0.577078. واحتمال عدم خسارة الموزع 7 مرات من أصل 7 هو (0.577078) ⁷ = 2.13%.

يا إلهي! احتمالية حدوث ذلك هي (combin(24,6)/combin(312,6)) * (24/306) * (combin(18,5)/combin(305,5)) = 1 من 287,209,346,813,617.

سيكون هذا الاحتمال 52/ مجموعة (260,5) = 5/9525431552 = 1 في 1,905,086,310.

بافتراض قواعد لاس فيغاس ستريب الليبرالية (ستة رزم أوراق، الموزع يعتمد على ١٧ ناعمة، المضاعفة بعد التقسيم مسموحة، الاستسلام المتأخر مسموح، إعادة تقسيم الآسات مسموحة)، فيما يلي احتمالات كل نتيجة ممكنة عند المضاعفة على البطاقتين الأوليين. هذا لا يشمل المضاعفة بعد التقسيم.

من الملحق رقم 4 الخاص بلعبة البلاك جاك نرى الاحتمالات التالية لكل يد أولية.

• فوز بنسبة 42.43%
• خسارة 49.09%
• ارسم 8.48%

لذا، فإن احتمال الخسارة 19 مرة متتالية هو 0.4909^19*(1-0.4909) = 1 من 1,459,921. وللمقارنة، فإن احتمال الحصول على فلاش ملكي في لعبة الفيديو بوكر هو 1 من 649,740، أي 2.25 مرة أكثر. من المعروف أن لاعبي الفيديو بوكر المتحمسين يحصلون على عدة أوراق رويال، لذا إذا لعبتَ الكثير من البلاك جاك، فمن المرجح أن تُصاب بسلسلة خسائر متتالية في النهاية.

سبب تغير الاستراتيجية، وفقًا لعدد البطاقات في يدك، كما هو موضح في الملحق 18، هو أن كل بطاقة تخرج من المجموعة تُغير احتمالات كل بطاقة متبقية للعب. مثال جيد على ذلك هو الاستراتيجية الأساسية للمجموعة الواحدة التي تنص على الاستسلام عند 7 أو 7 مقابل 10؛ ولكن لأي 14 بطاقة أخرى، يجب عليك السحب. سبب وجوب الاستسلام هو أن نصف البطاقات السبعة قد أُزيلت بالفعل من المجموعة. تحتاج إلى 7 بطاقات أخرى لتكوين 21، وهي اليد الوحيدة التي ستتغلب على يد الموزع عند 20. لذا، فإن نقص البطاقات السبعة يُخفض القيمة المتوقعة للسحب إلى أقل من نصف الرهان، مما يجعل الاستسلام هو الخيار الأفضل.

في لعبة ورق من ثماني مجموعات، يوجد 416 بطاقة. قد يبدو هذا كثيرًا، لكن 16 بطاقة مقابل 10 بطاقات تُعتبر يدًا متقاربة جدًا، لذا فإن إزالة بطاقة واحدة فقط قد يجعل خيار "التوقف" أفضل. القاعدة هي أنه في ثماني مجموعات أو أقل، إذا كانت مجموعتك من 16 بطاقة مكونة من ثلاث بطاقات أو أكثر، وكان لدى الموزع 10 بطاقات، فيجب عليك التوقف. في لعبة ورق من بطاقتين، يكون متوسط النقاط لكل بطاقة 8، وفي لعبة ورق من 3 بطاقات، يكون المتوسط 5.33. مع وجود المزيد من البطاقات الصغيرة من المجموعة في يد من 3 بطاقات، تصبح المجموعة المتبقية غنية بالبطاقات الكبيرة، مما يجعل الفوز أكثر خطورة، ويؤثر على احتمالات التوقف.

أُبيّن أن هذه القاعدة تُعطي اللاعب ٠٫٠٢٦٪. على الرغم من وجود حافز للفوز بـ ٧ أو ٧ مقابل موزع ٢ أو ٧، يجب على اللاعب اتباع الاستراتيجية الأساسية والتقسيم.

يوضح ملحق البلاك جاك رقم 14 أنه إذا كانت بطاقتك الأولى رقم 6، فإن القيمة المتوقعة لك تبلغ حوالي -21%. على سبيل المثال، إذا راهن بمبلغ 100 دولار، فسيكون السعر العادل لبيع أوراقه والرهان حوالي 79 دولارًا. ربما يمكنك استغلال تذمره بعرض شراء أوراقه بسعر أقل من السعر العادل وهو 79 سنتًا. أقترح 75 سنتًا، لمنحك أفضلية، دون المبالغة في الاستفادة.

ولصالح القراء الآخرين، فإن المجموعة الكاملة من القواعد هي:

• طابق واحد.
• يقف الموزع على 17 ناعمة.
• الفوز في لعبة البلاك جاك يدفع مبلغًا متساويًا من المال.
• يحق للاعب مضاعفة أي بطاقتين أوليتين.
• لا يوجد ضعف بعد الانقسام.
• يمكن للاعب تقسيم أوراقه إلى أربع أيدي، بما في ذلك الآسات.
• لا يوجد تعادل لتقسيم الآسات.
• لا للاستسلام.
• تشارلي بستة بطاقات (اللاعب الذي لا يملك ست بطاقات يفوز تلقائيًا).
• يتم خلط البطاقات بعد كل يد.
• إذا نفدت البطاقات من اللعبة، فإن جميع أيدي اللاعبين غير المكسورة تفوز تلقائيًا.

تبلغ نسبة ربح الكازينو باستخدام الاستراتيجية الأساسية المعتمدة على المجموع الكلي 2.13%. أجريتُ محاكاةً لسبعة لاعبين باستخدام الاستراتيجية الأساسية المعتمدة على المجموع الكلي، وكان متوسط عدد البطاقات المستخدمة في الجولة 21.65، بانحراف معياري قدره 2.72. في ما يقرب من 190 مليون جولة لُعبت، كان أكبر عدد من البطاقات المستخدمة على الإطلاق 42 بطاقة، وقد حدث ذلك 7 مرات.

برأيي المُستنير، حتى مع استراتيجية حاسوبية مثالية تعتمد على التركيبة، لن يرى اللاعب الورقة الأخيرة عمليًا. يمكنك تقليل هامش الكازينو بشكل كبير باستخدام استراتيجية تعتمد على التركيبة، بناءً على عدد الأوراق التي تراها أثناء اللعب. مع ذلك، حتى مع تجاوز هامش الكازينو البالغ 2.13% في البداية، لن تقترب أبدًا من نقطة التعادل، مهما حاولت.

وفقًا لمقارنتي للعبة ، يلعب لاعبو البلاك جاك حوالي 70 يدًا في الساعة. احتمال الفوز في لعبة بستة رزم هو 24 × 96 / مجموع (312،2) = 4.75%. أفترض أن التعادل في البلاك جاك سيُحسم أيضًا. لذا، من المفترض أن يستغرق ملء البطاقة حوالي 30 / 0.0475 = 632 يدًا، أي 9.02 ساعة.

احتمال ملء البطاقة خلال ٤ ساعات، بافتراض ٢٨٠ يدًا، هو ١ من ٣٠٠٠٠ عند لعب يد واحدة في كل مرة. أظن أن أي لاعب يحقق هذا الهدف خلال أربع ساعات كان يلعب يدين على الأقل في كل مرة.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدى موقعي المرافق Wizard of Vegas .

احتمال حصول الموزع على 21 بطاقة من 9 بطاقات بالضبط بموجب هذه القواعد هو 1 من 32,178,035. هذا هو الاحتمال لعدد مختلف من مجموعات البطاقات، وما إذا كان الموزع سيفوز أو سيتوقف عند 17 ناعمة.

بالنسبة لإجابتي، سأفترض وجود ستة مجموعات من البطاقات.

إذا دفع الموزع 6 إلى 5 فقط في بلاك جاك فائز، فعادةً ما لا يُسمح بـ "المال المتساوي". مع ذلك، أثق تمامًا في أن هذه الميزة متوفرة في منتجعات وورلد.

في حالة فوز لاعب بلاك جاك بنتيجة 6 إلى 5، تُعادل قيمة رهانه ضد الآس 83% من مبلغ الرهان. لذا، فإن الحصول على 100% يُعدّ صفقة ممتازة. سيحدث هذا باحتمال 0.352%. بشكل عام، تُعادل قيمة الرهان 0.00352 × (1 - 0.83) = 0.0006 للاعب. بمعنى آخر، تُقلل هذه القيمة من هامش ربح الكازينو بنسبة 0.06%.

يجب أن أذكّر قرائي بأنه إذا كانت نتيجة البلاك جاك ٣ إلى ٢، فعلى اللاعب رفضها. في هذه الحالة، تكون قيمة البلاك جاك ضد الآس ١٫٠٣٧ ضعف مبلغ الرهان، لذا فإن قبول وحدة واحدة فقط سيكون قرارًا خاطئًا.