احتمال - أرقام عشوائية

لنحاول إعادة صياغة السؤال. بافتراض أن اليانصيب يحتوي على 10 ملايين تركيبة، وأن جميع اللاعبين يختارون أرقامهم عشوائيًا (مع مراعاة الأرقام المكررة)، فكم عدد التذاكر التي يحتاج اليانصيب لبيعها بحيث يكون احتمال فوز شخص واحد على الأقل 90%؟ لنفترض أن p هو احتمال الفوز وn هو عدد التذاكر المباعة. احتمال خسارة شخص واحد هو 1-p. احتمال خسارة جميع n من الأشخاص هو (1-p) ⁿ . احتمال فوز شخص واحد على الأقل هو 1 - (1-p) ⁿ . لذا، علينا أن نساوي هذا بـ 0.9 ونحل المسألة لإيجاد قيمة n.

.9 = 1 - (1-ص) ^ن
.1 = (1-ص) ^ن
ln(.1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(.1) = n*ln(1-p)
ن = ln(.1)/ln(1-p)
ن = ln(.1)/ln(.9999999)
ن = 23,025,850.

لذا، يجب أن يبيع اليانصيب 23,025,850 تذكرة ليكون احتمال فوز واحد على الأقل 90%. في حال كنت تتساءل، إذا باع اليانصيب عشرة ملايين تذكرة بالضبط، فسيكون احتمال فوز واحد على الأقل 63.2%، وهو ما يُقارب 1-(1/e).

أحد العوامل المؤثرة في الإجابة هو إجمالي عدد التذاكر المباعة للاعبين الآخرين. في حال فوز أكثر من لاعب بالجائزة الكبرى، يجب تقاسمها. لنُسمِّ عدد التركيبات الممكنة n، وإجمالي عدد التذاكر الأخرى المباعة t، ومعدل العائد على الجوائز الصغيرة r (في حالة اللعبة الكبرى r=0.179612)، وj هو حجم الجائزة الكبرى. لكي تكون هذه اللعبة متعادلة، يجب أن يكون j*n/(n+t) + r*n - n=0. هذا يساوي j=(1-r)*(n+t).

عند استخدام Visual C++، من الواضح أن البذرة تبقى هي نفسها دائمًا. إذا أعطيتُ البرنامج نفس المدخلات، فسيكون الناتج هو نفسه دائمًا بعد محاكاة عشوائية. أفهم أن هذا ما قصدته مايكروسوفت، بحيث يمكن تكرار التجارب بدقة. من الواضح أن Visual J++ يختلف بناءً على ألعابي، وإلا لظهرت الأيدي نفسها بنفس الترتيب في كل مرة.

ملاحظة أخيرة : منذ كتابة هذه السطور، أصبحتُ أبطأ، لكن طريقة استدعاء الأرقام العشوائية أفضل بكثير. انقر هنا لمزيد من المعلومات.

احتمال اختلاف أعياد ميلاد ٢٠ شخصًا (مع تجاهل يوم الكبيسة) هو (٣٦٤/٣٦٥)*(٣٦٣/٣٦٥)*(٣٦٢/٣٦٥)*...*(٣٤٦/٣٦٥) = ٥٨.٨٥٦٢٪. لذا، فإن احتمال تطابق عيد ميلاد واحد على الأقل هو ٤١.١٤٣٨٪. كما أن ٢٣ هو أقل عدد ممكن من الأشخاص ليكون احتمال التطابق أكبر من ٥٠٪.

احتمال الحصول على 6 من 94 إجابة صحيحة هو 1 في combin(94,6) = 1 في 814,216,767.

شكرًا على الثناء. يجب على أي كتاب تمهيدي في الاحتمالات والإحصاء أن يُعنى جيدًا بالتوزيع الثنائي. باختصار، التوزيع الثنائي هو احتمال وقوع أي عدد مُحدد من الأحداث بافتراض احتمال مُحدد لكل حدث وعدد مُحدد من المحاولات. على وجه التحديد، إذا كان احتمال كل نجاح هو p، وعدد النجاحات هو s، وعدد المحاولات هو n، فإن احتمال نجاح s هو p ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s). تم شرح دالة combin في مسرد المصطلحات الخاص بي. على سبيل المثال، افترض أنك تريد معرفة احتمال أن يكون عدد الكرات الحمراء 60 بالضبط في 100 دورة لعجلة الروليت. وفقًا للتوزيع الثنائي، فإن الاحتمال هو (18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0.003291.

يحتوي إكسل أيضًا على دالة للتوزيع الثنائي. وهي =BINOMDIST(x,n,p,0)، حيث:

x = عدد التجارب الإيجابية. n = العدد الإجمالي للتجارب. p = احتمال النجاح في أي تجربة معينة.

استخدم 0 في الموضع الرابع من الدالة لمعرفة احتمال فوز x بالضبط. أما إذا كان احتمال فوز x أو أقل، فاستخدم 1.

في مثال الروليت أعلاه، ستكون الدالة =BINOMDIST(60,100,18/38,0)

أعتقد أن ما تشير إليه يُسمى في الواقع "قانون الأعداد الكبيرة". ينص هذا القانون على أنه في حالة عينة عشوائية من n متغير عشوائي بمتوسط x، فإن متوسط العينة x _n يتقارب مع x كلما اقترب حجم العينة من اللانهاية. يمكننا اعتبار نتيجة الرهان متغيرًا عشوائيًا. ينص هذا القانون على أنه كلما زاد عدد الرهانات، اقترب متوسط النتيجة من هامش ربح الكازينو.

لا أحبذ استخدام الاحتمالات بهذا الشكل، ولكنها تُستخدم عادةً بهذا الشكل: "احتمالات عدم الحصول على رويال فلش هي 649,739 إلى 1". هذا يعني أن هناك 649,739 احتمالًا لا يمكنك من خلالها الحصول على رويال فلش، وطريقة واحدة فقط يمكنك من خلالها. في أمثلتك، احتمال 12 إلى 1 هو 1/13، أو 7.69%، واحتمال 3 إلى 2 هو 2/5، أو 40.00%، لذا فإن احتمال 3 إلى 2 هو الأفضل للفوز.

احتمال الحصول على قيمة x صحيحة تمامًا في مثالنا هو combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x) . للحصول على الإجابة الدقيقة، عليك حساب هذه النسبة لجميع قيم x من 0 إلى 24، ثم جمعها، ثم طرح الفرق من 1. الإجابة هي 13.14%.

كان يجب أن تسألني هذا السؤال عندما كنت لا أزال خبيرًا إكتواريًا في إدارة الضمان الاجتماعي. كان بإمكاني بسهولة إجراء استعلام على مستوى البلاد حول سجلات الوفيات. أود أن أقول إن الإجابة قريبة من 1 من 365. ربما تكون أقل قليلاً لأن معدلات وفيات الرضع مرتفعة بشكل غير متناسب بعد الولادة. بالنسبة للولادات في عام 2000، فإن احتمال الوفاة خلال السنة الأولى هو 0.71٪ للرضع الذكور و 0.59٪ للرضع الإناث. بعبارة أخرى، من غير المرجح أن تحدث وفيات الرضع هذه في عيد الميلاد لأنه بمجرد وصول عيد الميلاد الأول يكون الطفل خارج فترة الخطر. أيضًا، ولا أعرف أن هذا حقيقة، ولكن في حذاء "ستة أقدام تحت الأرض" قالوا إن أعمال مديري الجنازات تنتعش في يناير، من الواضح أن الناس يحاولون التمسك بعطلة عيد ميلاد واحدة أخرى ثم يتخلون عنها. قد ينطبق نفس المنطق على الوصول إلى عيد ميلاد. خذ جورج بيرنز على سبيل المثال، فقد توفي بعد 48 يومًا من عيد ميلاده المائة.

احتمالية ظهور رقمك x مرة بالضبط هي combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x . يوضح الجدول التالي احتمالية ظهور جميع النتائج من 0 إلى 6، بالإضافة إلى الإجمالي.

لذا فإن الإجابة هي 0.00000177564555، أو 1 في 563175. أتمنى ألا يحدث هذا في كازينو الإنترنت.

قد تتساءل لماذا لم أستخدم التقريب الاعتيادي كما فعلتُ في مسألة رمي العملة أعلاه؟ لأنه لا يعمل جيدًا مع الاحتمالات العالية جدًا والمنخفضة جدًا.

ستكون إجابتك صحيحة إذا أزلت الأكواب بعد اختيار خاطئ. بما أنك تركت الأكواب على الطاولة، فإن كل اختيار له احتمال صواب بنسبة 1/322، أو خطأ بنسبة 321/322. احتمال أن تكون 75 اختيارًا خاطئًا هو (321/322) ⁷⁵ = 79.193%. لذا، فإن احتمال الحصول على اختيار صحيح واحد على الأقل من 75 اختيارًا هو 100% - 79.193% = 20.807%.

سيكون هذا الجمع (34،18) *.19 ^ 18 * (1-.19) ^ (34-18) = 0.000007880052468.

من البديهي أن احتمالية (أ) هي ٢٥٪. واحتمالية عدم تسجيل أي هدف من أصل خمس أهداف هي ٠٫٩٥ = ^٥ = ٧٧٫٣٧٨٪. لذا، فإن احتمالية تسجيل هدف واحد على الأقل من أصل خمس أهداف هي ١٠٠٪ - ٧٧٫٣٧٨٪ = ٢٢٫٦٢٢٪. لذا، فإن (أ) لديها الاحتمالية الأعلى.

لا يهم عدد الدورات السابقة. احتمال ظهور الرقم ٢٣ الأحمر ثلاث مرات متتالية هو (١/٣٨) ^٣ = ١ من ١ من ٥٤٨٧٢.

إذن، لدينا 30 رقمًا أسود، و30 رقمًا أحمر، و4 أرقام خضراء. هذا يعني أن احتمالية اللون الأسود هي 30/64، والأحمر 30/64، والأخضر 4/64. إذا كان احتمال وقوع حدث ما هو p، فإن الاحتمالات العادلة هي (1-p)/p إلى 1. لذا، فإن الاحتمالات العادلة لأي لون أحمر هي (34/64)/(30/64) = 34 إلى 30 = 17 إلى 15. وينطبق الأمر نفسه على اللون الأسود. والاحتمالات العادلة للون الأخضر هي (60/64)/(4/64) = 60 إلى 4 = 15 إلى 1. وبالنسبة لرقم محدد، فإن الاحتمالات العادلة هي (63/64)/(1/64) إلى 63 إلى 1.

أقترح دفع 1 إلى 1 على الأحمر والأسود، و14 إلى 1 على الأخضر، و60 إلى 1 على أي رقم فردي. إحدى صيغ نسبة ربح الكازينو هي (ta)/(t+1)، حيث t هي الاحتمالات الحقيقية، وa هي الاحتمالات الفعلية. في هذه الحالة، تكون نسبة ربح الكازينو على رهان الأحمر أو الأسود (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%. أما على رهان الأخضر، فتبلغ نسبة ربح الكازينو (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6.25%. أما على الأرقام الفردية، فتبلغ نسبة ربح الكازينو (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4.69%.

احتمال الحصول على 6 إجابات صحيحة بالضبط هو combin(10,6)×0.2 ⁶ ×0.8 ⁴ = 0.00550502.

احتمال الحصول على 7 إجابات صحيحة بالضبط هو combin (10,7)×0.2 ⁷ ×0.8 ³ = 0.00078643.

احتمال الحصول على 8 إجابات صحيحة بالضبط هو combin(10,8)×0.2 ⁸ ×0.8 ² = 0.00007373.

احتمال الحصول على 9 إجابات صحيحة بالضبط هو combin(10,9)×0.2 ⁹ ×0.8 ¹ = 0.00000410.

احتمال أن يكون العدد 10 صحيحًا تمامًا هو 0.2 ^{· 10} = 0.00000010.

بإضافة احتمالات 6 إلى 10 إجابات صحيحة، فإن احتمال ستة إجابات صحيحة على الأقل هو 0.00636938.

إذا كان احتمال الفوز ١/ن، ولعبتَ ن مرة، ومع اقتراب ن من اللانهاية، فإن احتمال الفوز مرة واحدة على الأقل يقترب من ١-(١/هـ)، حيث هـ = ٢٫٧١٨٢٨١٨...، أو حوالي ٦٣٫٢١٪. يمكن التعبير عن الإجابة الدقيقة بالصيغة ١-(٩٩٩٫٩٩٩/١٫٠٠٠٫٠٠٠) ^١٫٠٠٠٫ ٠ = ٠٫٦٣٢١٢٠٧٤. تقديري هو ١-(١/هـ) = ٠٫٦٣٢١٢٠٥٦، وهو ما يُقارب ستة منازل عشرية.

بافتراض عدم تخطي أي أرقام، فإن الاحتمالية تعتمد بشكل طفيف جدًا على عدد المشاركين، طالما أن هذا العدد كبير نسبيًا. كلما زاد عدد المشاركين، اقترب احتمال حدوث تطابق واحد على الأقل من 1-(1/e) = 63.21%.

العدد المتوقع لظهور أي رقم n مرة بالضبط في ١٢ لعبة هو الجمع (١٢، ن) × (٦/٤٥) ^ن × (٣٩/٤٥) ^{ن - ١٢.} يوضح الجدول التالي العدد المتوقع لتكرارات من ٠ إلى ١٢.

للإجابة على سؤالك، سترى الرقم نفسه ست مرات بالضبط، أي حوالي 0.099 مرة لكل مجموعة بطاقات، أي مرة واحدة كل 10.1 مرة تقريبًا. أما ظهور الرقم نفسه سبع مرات بالضبط، فسيتكرر 0.0131 مرة لكل مجموعة بطاقات، أي مرة واحدة كل 76.6 مرة.

أنت محق. احتمال ظهور نفس التسلسل في ليلتين متتاليتين هو ١ من ١٠٠٠. السؤال الذي كان الكاتب يجيب عليه هو: ما هو احتمال ظهور الرقم ١-٩-٦ مرتين في صف واحد؟ وهو واحد من مليون. مع ذلك، كما لاحظت، السؤال المهم هو: ما هو احتمال تكرار أي تسلسل؟ الإجابة هي (١/١٠) ^٣ = ١ من ١٠٠٠.

بالنسبة لسؤال سهل الطرح، فإن الحل معقد بعض الشيء. بالطريقة التي اتبعتها، ستحتاج إلى معرفة هذا التكامل .

وهنا الجواب والحلي (PDF) .