تكساس هولدم - الاحتمال - عام

احتمال ظهور أربعة أوراق متشابهة في سبع بطاقات هو 0.00168067، واحتمال ظهور سلسلة متتالية هو 0.00027851. إذا كان x هو احتمال ظهور أربعة أوراق متشابهة وy هو احتمال ظهور سلسلة متتالية، فإن الاحتمال المطلوب هو combin(50,2)*48*x ² *y*(1-xy) ^47. والإجابة هي 0.0000421845، أو 1 من 23,705.

يمكنك مراجعة قسمي حول احتمالات البوكر لمعرفة أن الاحتمال هو ٣٫٠٣٪. الاحتمالات متساوية في كلٍّ من تكساس هولدم وستاد السبع بطاقات.

لمن لا يعرف، تُعدّ ورقة النهر خامس وآخر ورقة مشتركة في لعبة تكساس هولدم. يجب على اللاعب تكوين أفضل يد بوكر بين ورقتيه والأوراق المشتركة الخمس. ما هو احتمال أن يُكوّن اللاعب رويال فلش من سبع أوراق، وأن تكون الورقة السابعة الموزعة جزءًا من رويال فلش؟ احتمال تكوين رويال فلش من خمس أوراق من سبع أوراق، قبل حساب الورقة، هو 4 × المجموعة (47،2) / المجموعة (52،7) = 4324 / 133784560، أو 1 من 30940. احتمال أن تكون الورقة السابعة جزءًا من رويال فلش هو 5/7. لذا، الاحتمال النهائي هو 21620 / 936491920، أو 1 من 43316.

لمصلحة قرائي، يسأل هذا السؤال عن احتمال ملء فراغ واحد أو اثنين داخل السلسلة ببطاقتين إضافيتين، مع بقاء 47 ورقة في المجموعة. في حالة وجود فراغ واحد، يكون الاحتمال 1-مجموعة (43،2) / مجموعة (47،2) = 0.164662. في حالة وجود فراغين، يكون الاحتمال ^4/2 / مجموعة (47،2) = 0.0148.

تبقى ١٠ بطاقات من نفس النوع، و٤٩ في المجموعة. لذا، الاحتمال هو combin(٩,٢)/combin(٤٩,٢) = ٣٦/١١٧٦ = ٠٫٠٣٠٦.

نعم، الاحتمالات متساوية. سبع بطاقات عشوائية من أصل ٥٢ لها نفس الاحتمالات بغض النظر عن كيفية إخراجها من المجموعة أو من تشاركها معه.

احتمال الحصول على آس/ملك هو (8/52)*(4/51) = 0.012066. احتمال الحصول على أي زوج هو (3/51) = 0.058824. لذا، فإن احتمال الحصول على زوج أو أفضل هو 0.07089. احتمال الحصول على سبع أيادي آس/ملك أو أفضل هو combin(35,7)*(.07089)^7*(1-.07089)^28 = 0.00772. لحساب احتمال الحصول على 7 أيادي أو أكثر، علينا استخدام 7 إلى 35 يدًا واحدةً تلو الأخرى. هذا المجموع يساوي 0.010366551.

احتمال الحصول على ورقتين إضافيتين من نفس النوع هو 39*combin(11,2)/combin(50,3) = 0.109439. احتمال الحصول على 3 ورقات إضافية من نفس النوع هو combin(11,3)/combin(50,3) = 0.008418. لذا، فإن احتمال الحصول على ورقتين إضافيتين على الأقل من نفس النوع هو 0.117857.

شكراً جزيلاً لك على كلماتك الطيبة. لمن لا يعرف لعبة البوكر، هذا السؤال أشبه بسؤال: إذا وزّع للاعب آس وملك بالإضافة إلى خمس أوراق عشوائية من الخمسين ورقة المتبقية، فما احتمال أن يجمع اللاعب بين الملك و/أو الآس؟ من بين الخمسين ورقة الأخرى، ٤٤ ورقة ليست ملكاً ولا آساً. عدد طرق سحب أي خمس أوراق من أصل ٤٤ هو combin(44,5) = ١,٠٨٦,٠٨٨. عدد طرق سحب أي خمس أوراق من أصل الخمسين هو combin(50,5) = ٢,١١٨,٧٦٠. لذا، فإن احتمال عدم جمع الآس و/أو الملك هو ١٠٨٦٠٨٨/٢١١٨٧٦٠ = ٥١.٢٦٪. وبالتالي، فإن احتمال جمعك هو ١-٥١.٢٦٪ = ٤٨.٧٤٪. هذا قريب جداً من ١ إلى ٢.

لدى كل لاعب 9 بطاقات. يجب أن تتكون هذه البطاقات من مجموعتين من أربعة أنواع وبطاقة واحدة من نوع واحد. عدد التركيبات لهذه المجموعة هو combin(13,2)*44 = 3432. العدد الإجمالي لطرق اختيار 9 بطاقات من أصل 52 هو combin(52,9) = 3,679,075,400. لذا، فإن احتمال حصولك على البطاقات الصحيحة، ولكن ليس بالضرورة بالترتيب الصحيح، هو 3432/3,679,075,400 = 1 في 1,071,992.

مع ذلك، لمجرد أن البطاقات من نوع AAAABBBBC، لا يعني ذلك أن كلا اللاعبين سيحصلان على أربعة أنواع مختلفة. عدد طرق ترتيبها في يد من خمس بطاقات ويدين من بطاقتين هو 9!/(5!*2!*2!) = 756. فيما يلي طرق سقوط هذه البطاقات التسع.

من بين هذه المجموعات، المجموعة الأولى والخامسة فقط ينتج عن كل لاعب أربعة بطاقات مختلفة من نوع واحد. لذا، فإن احتمال أن تنتج مجموعة بطاقات AAAABBBBC مجموعتين مختلفتين من أربعة بطاقات من نوع واحد هو ١٦٨/٧٥٦ = ٢٢.٢٢٪.

إذن، إجابة سؤالك هي (3432/3,679,075,400)*(168/756) = 1 من 4,823,963. ومن منظور عملي، تُقدّم لعبة Party Poker جائزة كبرى لخسارة يد من أربع ثمانيات. بما أن هناك ورقتين من نوع واحد، فإن احتمال أن تكون كلتاهما ثمانيات أو أكثر هو combin(7,2)/combin(13,2) = 21/78 = 26.92%. لذا، فإن احتمال فوز أي يد من لاعبين بهذه الجائزة الكبرى هو 1 من 17,917,577.

عدد طرق اختيار 3 بطاقات من أصل 40 بطاقة بدون وجه هو (40*39*38)/(1*2*3) = 9880. عدد طرق اختيار 3 بطاقات من أصل 52 هو (52*51*50)/(1*2*3) = 22100. لذا، فإن احتمال عدم الحصول على بطاقة وجه هو 9880/22100 = 44.71%. وبالتالي، فإن احتمال الحصول على وجه هو 55.29%. وكان ربح جانبه من الرهان 10.58%.

قبل أن تفكر في بطاقاتك الخاصة، فإن الاحتمال هو 4 × مجموعة (13،3) / مجموعة (52،3) = 5.1764706٪.

طريقة أخرى للنظر إلى الأمر هي أن احتمال تطابق الورقة الثانية في الفلوب مع الورقة الأولى من نفس النوع هو (١٢/٥١). واحتمال تطابق الورقة الثالثة في الفلوب مع الورقة الأولى هو (١١/٥٠). (١٢/٥١)×(١١/٥٠)=٥٫١٧٦٤٧٠٦٪.

تتغير الاحتمالات قليلاً إذا نظرت إلى أوراقك. إذا كانت لديك ورقتان من نفس النوع، فإن احتمال ظهور ورقة من نفس النوع في الفلوب هو pr (فلوش من نفس النوع) + pr (فلوش من نوع مختلف) = combin(11,3) / combin(50,3) + 3 × combin(13,3) / combin(50,3) = 5.2193878%.

إذا كان لديك بطاقتين من نوع مختلف، فإن احتمال ظهور بطاقة متماثلة في الفلوب هو pr(مجموع بطاقات من نفس النوع بشكل مشترك) + pr(مجموع بطاقات من نوع مختلف) = 2×combin(12,3)/combin(50,3) + 2×combin(13,3)/combin(50,3) = 5.1632653%.

شكراً على كلماتك الطيبة، لكنني لستُ ذكياً. قبل عامين، خضعتُ لامتحان القبول في منسا ، ولم أحقق الـ ٢٪ المطلوبة. ما زلتُ مستاءً لأنهم رفضوا إخباري بمستوى أدائي. في ١٣ يناير، ستُقام تجارب أداء برنامج "جيوباردي" في لاس فيغاس، ولديّ موعدٌ مُحددٌ له، وأنا متأكدٌ من أنني سأفشل أيضاً. على أي حال، للإجابة على سؤالك، إليكَ:

مع البطاقات المخفية المناسبة:

التدفق بعد الفلوب: combin (11,3)/combin(50,3) = 165/19600 = 0.842%.
التنظيف بعد الدور: (combin(11,2)*39/combin(50,3))*(9/47) = 2.096%.
تدفق بعد النهر: (combin(11,2)*combin(39,2)/combin(50,4))*(9/46) = 3.462%.

مع بطاقات مخفية غير متناسبة:

التدفق بعد الفلوب: 0%
التنظيف بعد الدور: 2*combin(12,4)/combin(50,4) = 0.430%.
التنظيف بعد النهر: (2*combin(12,3)*39/combin(50,4))*(9/46) = 1.458%.

وهنا الاحتمالات التجميعية.

مع البطاقات المخفية المناسبة:

فلاش بعد الفلوب: 0.842%.
التنظيف حسب الدور: 2.937%.
التدفق عن طريق النهر: 6.400٪.

مع بطاقات مخفية غير متناسبة:

التدفق بالفلوب: 0.000%
التنظيف حسب الدور: 0.430%.
التدفق عن طريق النهر: 1.888%.

يمكنك إكمال الفول هاوس بآس وK أو Q أو 9. يتبقى آسان وثلاثة من K أو Q أو 9. إذن، لدينا 2 × 3 × 3 = 18 من هذه التركيبات. الطريقة الأخرى الوحيدة هي زوج K أو Q أو 9. لدينا 3 × مجموعة (3، 2) = 9 من هذه التركيبات. عدد جميع التركيبات هو 47 × 46 / 2 = 1081. لذا، الاحتمال هو (18 + 9) / 1081 = 2.50%.

شكراً على كلماتك الطيبة. احتمال حصولك على آسات جيب في أي يد هو 6/1326، أو مرة واحدة كل 221 يد. وفقاً لقسم تكساس هولدم لعشرة لاعبين (/games/texas-hold-em/10players.html)، فإن احتمال الفوز بآسات جيب هو 31.36%، بافتراض بقاء جميع اللاعبين في اللعبة حتى النهاية. مع ذلك، هذا احتمال مستبعد. إذا اضطررت للتخمين، فسأقدر احتمال الفوز بآسات في لعبة حقيقية لعشرة لاعبين بحوالي 70%. لذا، فإن احتمال الحصول على آسات جيب ثم الخسارة هو 0.3*(1/221) = 0.1357%. لذا، عند 100 دولار لكل حالة، فإن هذا يساوي 13.57 سنتاً لكل يد. إذا كان هناك أكثر من عشرة لاعبين، فإن هذا يكلف غرفة البوكر 1.36 دولاراً لكل يد في المتوسط، مما يقلل بشكل كبير من العمولة. أنا أميل إلى الموافقة على استراتيجيتك في الاتصال، والتي من شأنها أن تبقي عددًا أكبر من اللاعبين في اليد، وتزيد من فرصتك في الخسارة.

أهلاً بك. لديك أربعة أوراق متتالية، مع وجود ورقتين على الطاولة بعد الفلوب. احتمال الحصول على ورقة واحدة فقط من النوع المطلوب هو 9 × 38 / كومبين (47،2) = 342 / 1081 = 31.64%.

يوضح الجدول التالي احتمالية الحصول على رتبة أعلى من 1 إلى 8، ووجود لاعبين من 2 إلى 10 لاعبين، بمن فيهم أنت. في مثالنا عن 4 رتب أعلى و9 لاعبين إجمالاً، تكون نسبة الاحتمالية 16.45%. افترضت طريقة حسابي لهذه الاحتمالات استقلالية الأيدي، وهو افتراض غير صحيح، ولكن النتائج تُرجّح أن تكون تقديرًا دقيقًا.

شكراً. بافتراض أن الورقة الملكية تتكون من أحد الآسين، فإن عدد طرق الحصول على ورقة ملكية عند النهر هو ٢ × ٤٦ = ٩٢. هذا يعني وجود ورقتي الآسين في جيبك، بالإضافة إلى ٤٦ احتمالاً للورقة الإضافية. هناك مجموع (٥٠، ٥) = ٢,١١٨,٧٦٠ طريقة لتوزيع ٥ أوراق من أصل ٥٠. لذا، فإن الاحتمال هو ٩٢/٢,١١٨,٧٦٠ = ١ من ٢٣٠٣٠.

احتمال حصول أي لاعب على فلوش هو كومبين (11،2)/كومبين (49،2) = 55/1176 = 4.68%. بافتراض استقلالية الأيدي، وهو ليس كذلك، فإن احتمال عدم حصول 9 لاعبين على فلوش هو (1 − 0.0468%) ⁹ = 64.98%. لذا، فإن احتمال حصول لاعب واحد على الأقل على فلوش هو 1 − 0.6498 = 35.02%. هذا مجرد تقدير سريع. لو أجريتُ محاكاة عشوائية، أعتقد أن الاحتمال سيكون أعلى قليلاً، نظرًا لترابط الأيدي.

احتمالية الحصول على فلوش، بثلاث بطاقات بالضبط من نفس نوع أوراقك المخفية، هي: كومبين (11،3) × كومبين (39،2) / كومبين (50،5) = 122265/2598960 = 0.057706. احتمالية الحصول على فلوش، بأربع بطاقات إضافية من نفس نوع أوراقك المخفية، هي: كومبين (11،4) × كومبين (39،1) / كومبين (50،5) = 2145/2118760 = 0.001012. احتمالية الحصول على فلوش، بخمس بطاقات إضافية من نفس نوع أوراقك المخفية، هي: كومبين (11،5) / كومبين (50،5) = 462/2118760 = 0.000218. احتمال الحصول على فلوش على اللوحة بنوع آخر هو 3×combin(13,5)/combin(50,5) = 3861/2118760 = 0.001822. بجمع هذا الناتج، نحصل على 0.057706 + 0.001012 + 0.000218 + 0.001822 = 0.060759.

عدد مجموعات الرتب الخمس المختلفة الموجودة على اللوحة هو combin (13,5)*4 ⁵ = 1287 × 1024 = 1,317,888.

احتمال أن تُمثل هذه الرتب الخمس ثلاث مجموعات، مجموعتان من مجموعتين، وواحدة من مجموعة واحدة، هو combin(4,2)*2*combin(5,2)*combin(3,2)=360. Combin(4,2) هو عدد طرق اختيار مجموعتين من أصل أربع مجموعات للمجموعات الممثلة مرتين. 2 هو عدد طرق اختيار المجموعة الممثلة مرة واحدة. Combin(5,2) هو عدد طرق اختيار مجموعتين من أصل خمس مجموعات للمجموع الأول من بطاقتين. ⁴ هو عدد طرق اختيار مجموعتين من أصل ثلاث مجموعات متبقية للمجموع الآخر من مجموعتين.

احتمال أن تمثل هذه الرتب الخمس أربع مجموعات، واحدة من مجموعتين، وثلاث مجموعات من مجموعة واحدة، هو 4*combin(5,2)*3*2=240. 4 هو عدد طرق اختيار مجموعة واحدة من أربع مجموعات للمجموعات الممثلة مرتين. Combin(5,2) هو عدد طرق اختيار مجموعتين من خمس مجموعات لتلك المجموعة المكونة من ورقتين. 3 هو عدد طرق اختيار مجموعة واحدة من المجموعات الثلاث المتبقية للمجموعة الأولى من مجموعة واحدة. 2 هو عدد طرق اختيار مجموعة واحدة من مجموعتين للمجموعة الثانية من مجموعة واحدة.

هناك 4 ⁵ = 1024 طريقة لترتيب أربع مجموعات على خمس مراتب مختلفة.

لذا فإن احتمال عدم وجود أكثر من اثنين من نفس النوع هو (360 + 240) / 1024 = 600 / 1024 = 58.59٪.

هناك طريقة لترتيب 5 صفوف من أصل 13 باستخدام combin(13,5)=1287. عدد هذه التركيبات التي لا تقع فيها ثلاث صفوف ضمن نطاق 5 هو 79. لا توجد صيغة سهلة لهذه الطريقة. اضطررتُ إلى تكرار كل تركيبة. لذا، فإن احتمالية وجود تباعد كافٍ بين الصفوف هي 79/1287 = 6.14%.

وبالتالي، فإن احتمال كسر اللوحة هو (1317888/2596960)*(600/1024)*(79/1287) = 1.825211%.

لقد واجهتُ تحديًا بشأن عدد خطوطي المستقيمة المتقطعة. إليكم قائمة بجميع الخطوط الـ 79 الممكنة.

يُظهر قسم Bad Beat Jackpot الجديد احتمالية هذا النوع من الفوز السيئ في لعبة مكونة من 10 لاعبين بواقع 0.0000108، أو حوالي 1 في 93000.

وفقًا لاحتمالات لعبة Texas Hold 'Em للاعبين اثنين ، فإن النتائج المحتملة التالية هي مع K/2 المتناسبة:

فوز بنسبة 51.24%
خسارة 44.82%
التعادل 3.94%

يُظهر جدولي في لعبة Ultimate Texas Hold 'Em أن اللاعب يتمتع بأفضلية في رهان اللعب، ولكنه يتمتع بعيب في رهانات Ante وBlind. في هذه الحالة، يواجه اللاعب احتمالات ضعيفة في رهاني Ante وBlind. مع ذلك، تكون احتمالاته جيدة في Play. لذا، بزيادة الحد الأقصى للرهان، يحصل على أقصى قيمة من فرص فوزه التي تزيد عن 50%. أما الاحتمالات الضعيفة في الرهانين الآخرين، فتخفض القيمة الإجمالية إلى أقل من 50%. وستكون هذه القيمة أقل مع زيادة أقل.

أنا أيضًا لا أتفق مع نسبة 1 من 2.7 مليار. كما ذكرتَ، يبدو أنهم حسبوا الاحتمالات بشكل مستقل لكل لاعب، فقط في حالة استخدام كلا اللاعبين للورقتين المخفيتين، وضربهما. باستخدام هذه الطريقة، أحصل على احتمال 0.000000000341101، أو حوالي 1 من 2.9 مليار. ربما تتضمن نسبة 1 من 2.7 مليار أيضًا خطأً في التقريب على احتمالات كلا اللاعبين. من الواضح أنهم نسوا أيضًا ضرب الاحتمال في 2، لأسباب سأشرحها لاحقًا.

هناك ثلاث طرق يمكن أن يخسر بها أربعة آسات أمام الفلاش الملكي، على النحو التالي.

الحالة 1: يمتلك أحد اللاعبين بطاقتين من الفلاش الملكي، ويمتلك اللاعب الآخر بطاقتين من الآسات، وتحتوي اللوحة على بطاقتي الآسات الأخريين، والبطاقة الأخرى من الفلاش الملكي، وأي بطاقة أخرى.

مثال:

اللاعب 1:
اللاعب 2:
سبورة:

في معظم غرف البوكر، للتأهل لجائزة "الضربة القاضية"، يجب على كلٍّ من اللاعب الفائز والخاسر استخدام البطاقتين المخفيتين. كان هذا أيضًا نوع "الضربة القاضية" في الفيديو؛ في الواقع، كانت هاتان البطاقتان بالضبط.

الحالة 2: يمتلك أحد اللاعبين بطاقتين من الفلاش الملكي (TK)، بينما يمتلك اللاعب الآخر بطاقة آص واحدة وبطاقة "فارغة"، وتحتوي اللوحة على ثلاث بطاقات آص أخرى وبطاقتين أخريين من الفلاش الملكي.

مثال:

اللاعب 1:
اللاعب 2:
سبورة:

الحالة 3: يمتلك أحد اللاعبين بطاقة واحدة من الفلاش الملكي (TK) وبطاقة فارغة، بينما يمتلك اللاعب الآخر اثنين من الآسات، وتحتوي اللوحة على اثنين من الآسات والثلاث بطاقات الأخرى من الفلاش الملكي.

مثال:

اللاعب 1:
اللاعب 2:
سبورة:

يوضح الجدول التالي عدد التركيبات لكل حالة لكل من اللاعبين واللوحة. تُظهر الخلية اليمنى السفلية العدد الإجمالي للتركيبات وهو ١٦٨٩٦.

مع ذلك، قد نخسر بطاقتي اللاعبين، ونخسر مرة أخرى. لذا، نضرب عدد التركيبات في ٢. بعد تعديل ذلك، يصبح إجمالي التركيبات المؤهلة ٢ × ٨٤٤٨ = ١٦٨٩٦.

العدد الإجمالي لجميع التركيبات في لعبة تكساس هولدم للاعبين اثنين هو كومبين (52,2) × كومبين (50,2) × كومبين (48,5) = 2,781,381,002,400. لذا، فإن احتمال خسارة أربعة آسات أمام رويال فلاش هو 8,448/2,781,381,002,400 = 0.0000000060747، أو حوالي 1 من 165 مليون. واحتمال الخسارة مرة واحدة فقط هو 1 من 439 مليون. والسبب البسيط لعدم طول الاحتمالات كما هو مذكور في هذا الفيديو هو تداخل اليدين، مع الآس المشترك. بمعنى آخر، هناك ارتباط إيجابي بين الحدثين.

1. تم تصميم طاولة اللاعبين باستخدام برنامج محاكاة عشوائية، حيث تم تكرار جميع بطاقات الخصم المحتملة (1225 بطاقة)، بالإضافة إلى 1,712,304 بطاقات مجتمعية محتملة. بالنسبة لثلاثة إلى ثمانية لاعبين، كان تكرار البطاقات سيستغرق وقتًا طويلاً جدًا، لذلك أجريتُ محاكاة عشوائية.
2. أكتب معظم برامجي بلغة C++، بما في ذلك البرنامجين اللذين ذكرتهما. أما الباقي فأكتبه بلغة Java أو PERL. غالبًا ما كنت أنسخ وألصق أكوادًا من برامج أخرى تعتمد على البوكر. يستغرق كتابة الكود الجديد حوالي يوم واحد فقط.
3. نعم، بدأتُ موقعي كهواية في يونيو/حزيران ١٩٩٧. لم أقبل بالإعلانات إلا في يناير/كانون الثاني ٢٠٠٠، وحاولتُ تحويله إلى مشروع تجاري. مرّ الموقع بثلاثة نطاقات مختلفة على مر السنين. هكذا كان يبدو في مايو/أيار ١٩٩٩. ظلّ هدف الموقع كما هو دائمًا، وهو توفير مصدر لاستراتيجيات المقامرة القائمة على الرياضيات. على مرّ السنين، كنتُ أُضيف المزيد من الألعاب والمواد. إحدى التجارب كانت تقديم اختياراتي لدوري كرة القدم الأمريكية (NFL) لموسم ٢٠٠٥ ، والتي باءت بالفشل الذريع.

هناك مجموع (50،5) = 2,118,760 مجموعة من خمس بطاقات من أصل 50 بطاقة متبقية في المجموعة. 42 بطاقة منها من النوع 2-Q. عدد مجموعات البطاقات الخمس من أصل 42 هو مجموع (42،5) = 850,668. لذا، فإن احتمال عدم الحصول على ملك أو آص هو 850,668 / 2,118,760 = 40.15%. وبالتالي، فإن احتمال الحصول على آص أو ملك واحد على الأقل هو 1-40.15% = 59.85%.

الحساب البديل هو 1 - pr (البطاقة الأولى في الفلوب ليست آسًا أو ملكًا) × pr (البطاقة الثانية في الفلوب ليست آسًا أو ملكًا) × pr (البطاقة الثالثة في الفلوب ليست آسًا أو ملكًا) × pr (البطاقة الرابعة في الفلوب ليست آسًا أو ملكًا) × pr (البطاقة الخامسة في الفلوب ليست آسًا أو ملكًا) = 1 - (42/50) × (41/49) × (40/48) × (39/47) × (38/46) = 59.85%.

هناك 55 طريقة للحصول على بطاقتين إضافيتين من نفس النوع ( combin (11,2))، و39 طريقة للحصول على بطاقة غير متماثلة. هناك 19,600 طريقة ممكنة للحصول على بطاقات على الفلوب (combin (50,3)). لذا، فإن احتمال الحصول على أربع بطاقات بالضبط (فلاش) بعد الفلوب هو 55 × 39/19,600 = 10.94%.

عادةً ما أتعب من أسئلة الخسارة الفادحة، لكن هذا السؤال كان مؤلمًا جدًا لدرجة يصعب تجاهلها. قبل توزيع الورقة الأولى، يكون احتمال هزيمة أربعة ملوك بأربعة آسات، في لعبة ثنائية اللاعبين، مع وجود أزواج جيب لكلا اللاعبين، هو 2* combin (4,2)*comb(4,2)*44/(comb(52,2)*comb(50,2)*comb(48,5)) = 2*6*6*44/(1326*1225*1712304) = 1 من 877,961,175. هذه لعبة لستة لاعبين، لذا يوجد combin(6,2) = 15 زوجًا مختلفًا من اللاعبين. في لعبة بستة لاعبين، يكون الاحتمال أعلى بـ 15 مرة، أو 1 من 58,530,745. بعد توزيع البطاقات المخفية المشار إليها، وقبل الفلوب، فإن احتمالية انتهاء اليد بنفس النتيجة هي 1 من 38,916.

لنفترض أن أول فلوش لديك كان من نوع البستوني. بمعدل ٣٥ يدًا في الساعة، يمكنك لعب ١٧٥ يدًا خلال خمس ساعات. بعد ذلك، لديك ١٧٥ يدًا لتشكيل فلوش من أنواع القلوب والماس والنوادي. سأفترض أن اللاعب لن يطوي يده التي يُحتمل أن يحصل فيها على فلوش في أحد الأنواع التي يحتاجها.

احتمال الحصول على فلاش من نوع معين، ولنقل قلوب، باستخدام كلتا البطاقتين المخفيتين هو combin(13,2)×[combin(11,3)×combin(39,2) + combin(11,4)×39 + combin(11,5)]/(combin(52,2)×combin(50,5)) = 10576566/2809475760=0.003764605. في الجولات الـ 175 التالية، يكون احتمال عدم الحصول على فلاش قلوب (1-0.003764605) ¹⁷⁵ = 0.51682599.

من غير الصحيح القول إن احتمال عدم الحصول على الأصناف الثلاثة الأخرى هو pr (بدون بطاقة قلب) + pr (بدون بطاقة ألماس) + pr (بدون بطاقة نادي)، لأنك ستحسب احتمال الفشل مرتين للحصول على اثنتين منها. لذا، يجب عليك إضافة pr (بدون بطاقة قلب أو بطاقة نادي) + pr (بدون بطاقة نادي أو بطاقة نادي). ومع ذلك، سيؤدي ذلك إلى طرح زائد غير صحيح لاحتمال عدم الحصول على الأصناف الثلاثة. لذا، يجب عليك إضافة pr (بدون بطاقة نادي أو بطاقة ألماس أو بطاقة نادي).

احتمال لعب 175 يدًا وعدم الحصول على أي من البدلتين المحددتين هو (1-2×0.003764605) ¹⁷⁵ = 0.266442448.

احتمال لعب 175 يدًا وعدم الحصول على أي من البذلات الثلاث المتبقية هو (1-3×0.003764605) ¹⁷⁵ = 0.137015266.

إذن الإجابة هي 1-3×0.51682599 + 3×0.266442448 - 0.137015266 = 0.111834108.

أود أن أشكر دويتلي على مساعدته في حل هذه المشكلة. تمت مناقشتها على لوحة إعلاناتي في موقع Wizard of Vegas .

إذا كانت لديك بطاقتان مختلفتان في الرتبة، فإن احتمالية الحصول على فول هاوس هي ١ من ١٢١.٦. واحتمالية الحصول على ريفر هي ١ من ٢٠٧.

احتمالات الحصول على مثل هذه اليد على النهر مرتين من أصل مرتين هي 1 إلى 43006.

احتمالات حدوث ذلك مع نفس البطاقتين الأوليين، في المرتبة فقط، هي 1 من 3,564,161.

احتمالات حدوث ذلك مع 10 إلى 2 بالضبط في المرتين هي 1 من 295،379،826.

الإجابة والحل تظهر في علامة المفسد التالية.

هناك أربع حالات محتملة يمكنك أن تكون فيها في أي وقت:

• الحالة 1: اليد الأولى أو أي يد حيث لم تكن اليد الأخيرة زوجًا من البطاقات.
• الحالة الثانية: كانت اليد الأخيرة عبارة عن زوج من البطاقات.
• الحالة 3: كانت اليدين الأخيرتين من نفس زوج الجيب.
• الحالة 4: تم بالفعل تحقيق ثلاثة أزواج من نفس الجيب على التوالي.

إذا كنتَ في الحالة ١، يمكنكَ الانتقال إلى الحالة ٢ باحتمال ٣/٥١. وإلا، فستبقى في الحالة ١.

إذا كنت في الحالة ٢، يمكنك الانتقال إلى الحالة ٣ باحتمالية (٤/٥٢)×(٣/٥١). وإلا، ستعود إلى الحالة ١.

إذا كنت في الحالة ٣، يمكنك الانتقال إلى الحالة ٤ باحتمالية (٤/٥٢)×(٣/٥١). وإلا، ستعود إلى الحالة ١.

إذا كنت في الولاية 4، عليك البقاء هناك.

وبناءً على ذلك، يمكنك إنشاء مصفوفة الانتقال الخاصة بك، T، على النحو التالي:

يبلغ إجمالي عدد الأيدي التي تم لعبها 120 يدًا، لذا ابحث عن T^120.

تُظهر لنا الخلية العلوية اليمنى احتمالية أن البدء بالحالة 1 سيقودنا إلى الحالة 4 بعد 120 يد بداية في تسلسل ثلاثي الأيدي، وهو 0.000141471.

خذ معكوس هذا العدد، الاحتمال هو 1 في 7068.605131.

تم طرح هذا السؤال ومناقشته في منتدياتي في Wizard of Vegas .

اضطررتُ لإجراء محاكاة لهذه اللعبة. في محاكاتي، أفترضُ أن لا أحد ينسحب أبدًا. خلال ما يقارب 2.2 مليار جولة، حدث هذا 312 مرة. هذا يعادل احتمالًا واحدًا تقريبًا من سبعة ملايين.