تكساس هولدم - الاحتمال - الأزواج

إذا افترضنا أنك تسحب خمس بطاقات، وتحسب كل الأيدي التي تحتوي على ورقتين فقط، فإن الاحتمال سيكون combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3.99%.

بالنسبة لأسئلة الاحتمالات، أفضل قسمة عدد التركيبات التي يمكن أن يحدث بها الحدث الذي يهمك على العدد الإجمالي للتركيبات. راجع أولًا دالة التجميع في قسم الاحتمالات في البوكر . عدد طرق الحصول على أربعة متماثلة هو ببساطة عدد البطاقات المفردة في المجموعة، أو 48. عدد طرق الحصول على ثلاثة متماثلة (باستثناء الفل هاوس) هو حاصل ضرب عدد طرق الحصول على البطاقة الثالثة، 2، في عدد طرق الحصول على ورقتين مفردتين أخريين، 2*combin(12,2)*4 ² = 2,112. إجمالي عدد طرق ظهور البطاقات في الفلوب هو combin(50,3) = 19,600. لذا، فإن احتمال ظهور أربعة متماثلة هو 48/19600 = 0.0024، واحتمال ظهور ثلاثة متماثلة هو 2,112/19,600 = 0.1078.

هناك ٥٢ × ٥½ = ١٣٢٦ طريقة لترتيب ورقتين من أصل ٥٢. وهناك ٤ × ٣/٢ = ٦ طرق لترتيب ورقتين آص من أصل ٤. إذن، الإجابة هي ٦/١٣٢٦ = ١/٢٢١. احتمال حدوث ذلك مرتين متتاليتين هو (١/٢٢١) ^٢ = ١ من ٤٨٨٤١.

أولًا، هناك 10 × 9/2 = 45 طريقة لاختيار لاعبين من أصل 10. احتمال حصول لاعبين محددين على أربعة آسات هو 1/مجموعة (52، 4) = 1/270725. لذا، فإن احتمال حصول أي لاعبين على زوج من الآسات هو 45/270725 = 0.0001662.

لمن لا يعرف المصطلحات، يحصل كل لاعب على بطاقتين لنفسه، وتُوزّع بطاقات الفلوب الثلاث بين جميع اللاعبين. هذا يشبه السؤال: إذا وزّعتَ ثلاث بطاقات مشتركة، جميعها برتب مختلفة، وعشر أيادٍ من بطاقتين، فما احتمال أن تكون ثلاث من هذه الأيدي المكونة من بطاقتين أزواجًا تتطابق مع إحدى بطاقات المجتمع الثلاث؟

احتمال امتلاك اللاعب 1 لمجموعة هو 3* combin (3,2)/combin(49,2). واحتمال امتلاك اللاعب 2 لمجموعة هو 2*combin(3,2)/combin(47,2). واحتمال امتلاك اللاعب 3 لمجموعة هو combin(3,2)/combin(45,2). مع ذلك، يمكن لأي ثلاثة لاعبين الحصول على المجموعات الثلاث، وليس بالضرورة على المجموعات الثلاث الأولى. هناك طرق combin(10,3) لاختيار 3 لاعبين من أصل 10 لديهم مجموعات. إذن، الإجابة هي combin(10,3)*(3*combin(3,2)/combin(49,2))*(2*combin(3,2)/combin(47,2))*(combin(3,2)/combin(45,2)) = 0.00000154464 = 1 من 64,740.

لأي شخص، احتمال الحصول على AA هو combin (4,2)/combin(50,2) = 6/1,225 = 0.0049، لأن هناك 6 طرق لاختيار آصين من أصل 4، و1225 طريقة لاختيار أي ورقتين من أصل 50 ورقة متبقية في المجموعة. الاحتمال هو نفسه لزوج من الملوك. بالنسبة لـ AK، الاحتمال هو 4*4/1,225 = 0.0131، لأن هناك 4 طرق للحصول على آص و4 طرق للحصول على ملك. بالنسبة لـ AQ، الاحتمال هو 4*2/1225 = 0.0065، لأن هناك 4 آص وملكتين فقط متبقيتين في المجموعة. لذا، فإن احتمال حصول أي لاعب على إحدى هاتين اليدين هو (6+6+16+8)/1225 = 0.0294. من الواضح أن الخطوة التالية ليست مثالية، فإذا لم يمتلك أحد اللاعبين إحدى هذه الأوراق، فإن احتمالية امتلاك اللاعب التالي لها تكون أعلى قليلاً. وبتجاهل هذا للتبسيط، فإن احتمال عدم امتلاك أي لاعب لإحدى هذه الأوراق هو (1-0.0294) ⁸ = 78.77%. لذا، فإن احتمال امتلاك لاعب واحد على الأقل لإحدى هذه الأوراق هو 21.23%.

لنفترض أن لديك زوجًا من الآسات. قبل الأخذ في الاعتبار أن اللاعب الآخر لديه زوج آخر، فإن احتمال ظهور ثلاثة متشابهة في الفلوب هو [nc(آس واحد)*nc(رتبتان من ١٢)*nc(نوع واحد من ٤) ^٢ + nc(أي ثلاثة متشابهة أخرى)]/nc(أي ثلاث بطاقات)، حيث nc(x) = عدد مجموعات x. هذا يساوي [٢* مجموعة (١٢،٢)*٤ ^٢ + ١٢*مجموعة(٤،٣)]/مجموعة(٥٠،٣) = (٢١١٢+٤٨)/١٩٦٠٠ = ١١.٠٢٠٪. الآن لنفترض أن اللاعب الآخر لديه زوج آخر، ولكنه ليس زوجك. عندها يصبح الاحتمال [٢*(مجموعة(١١،٢)*٤ ^٢ + ١١*٢*٤ + ١١*مجموعة(٤،٣)]/مجموعة(٤٨،٣) = ١١.٤٤٧٧٪.

احتمالية أي يد هي ( combin (4,2)/combin(52,2))*(1/combin(50,2)) = 1/270725. لذا، احتمالية حدوث ذلك مرتين متتاليتين هي 1 من 270,725 ² = 1 من 73,292,025,625.

13*12* كومبين (4,2)*4/كومبين(52,3) = 3744/22100 = 16.941%.

يوضح الجدول التالي تقديرات احتمالات فوز زوج على زوج أعلى منه على الأقل، وذلك وفقًا لعدد اللاعبين (بمن فيهم أنت). هذه الاحتمالات ليست دقيقة لأن الأيدي غير مستقلة. مع ذلك، قد يكون إيجاد الاحتمالات الدقيقة معقدًا، وأعتقد أن هذه الاحتمالات متقاربة جدًا. صيغتي هي 1-(1-r* combin (4,2)/combin(50,2)) ^(n-1) ، حيث r = عدد الرتب الأعلى من زوجك، وn = إجمالي عدد اللاعبين. يوضح الجدول أن احتمالية حصول لاعب آخر على زوج من الآسات، عندما يكون لديك زوج من الملوك، في لعبة مكونة من 10 لاعبين، هي 4.323%.

لنسمِّ اللاعبين أ، ب، وج. احتمال حصول أ على زوج من الآسات هو كومبين (4،2)/كومبين (52،2) = 6/1326. احتمال حصول ب على زوج من الملوك هو كومبين (4،2)/كومبين (50،2) = 6/1225. احتمال حصول ج على زوج من الملكات هو كومبين (4،2)/كومبين (48،2) = 6/1128. مع ذلك، هناك 3 طرق لترتيب ثلاثة أزواج بين ثلاثة لاعبين. إذن، الإجابة هي 6*(6/1326)*(6/1225)*(6/1128) = 0.000000707321.

شكراً على كلماتك الطيبة. احتمال حصولك على آسات جيب في أي يد هو 6/1326، أو مرة واحدة كل 221 يد. وفقاً لقسم تكساس هولدم لعشرة لاعبين (/games/texas-hold-em/10players.html)، فإن احتمال الفوز بآسات جيب هو 31.36%، بافتراض بقاء جميع اللاعبين في اللعبة حتى النهاية. مع ذلك، هذا احتمال مستبعد. إذا اضطررت للتخمين، فسأقدر احتمال الفوز بآسات في لعبة حقيقية لعشرة لاعبين بحوالي 70%. لذا، فإن احتمال الحصول على آسات جيب ثم الخسارة هو 0.3*(1/221) = 0.1357%. لذا، عند 100 دولار لكل حالة، فإن هذا يساوي 13.57 سنتاً لكل يد. إذا كان هناك أكثر من عشرة لاعبين، فإن هذا يكلف غرفة البوكر 1.36 دولاراً لكل يد في المتوسط، مما يقلل بشكل كبير من العمولة. أنا أميل إلى الموافقة على استراتيجيتك في الاتصال، والتي من شأنها أن تبقي عددًا أكبر من اللاعبين في اليد، وتزيد من فرصتك في الخسارة.

احتمال حصول لاعب معين على الآسات هو الجمع (4،2)/الجمع (52،2) = 6/1326. واحتمال حصول اللاعب التالي على زوج من الملوك هو الجمع (4،2)/الجمع (50،2) = 6/1225. مع ذلك، في لعبة بعشرة لاعبين، هناك 10 لاعبين محتملين للحصول على الآسات، و9 لاعبين محتملين للحصول على الملوك. لذا، فإن التقريب الأمثل هو 10*9*(6/1326)*(6/1225) = 0.001995، أو 1 من 501. هذه الإجابة مرتفعة بعض الشيء، لأنها تحسب مرتين في حالة وجود آسات، أو ملوك، أو كليهما.

تصبح حسابات هذا الأمر معقدة للغاية نظرًا لاحتمالية وجود أكثر من لاعب يمتلك زوجًا أعلى، بما في ذلك نفس نوع الزوج. على سبيل المثال، إذا كان لديك ملوك في جيبك، فقد يمتلك لاعبان آسات في جيبك. مع ذلك، من السهل تحديد العدد المتوقع للاعبين الذين سيهزمونك. سيكون هذا العدد n*r*(6/1225)، حيث n هو عدد الخصوم، وr هو عدد الرتب الأعلى. يوضح الجدول التالي متوسط عدد اللاعبين الذين يمتلكون زوجًا أعلى في جيبك، وفقًا لزوجك في جيبك (العمود الأيسر) وعدد الخصوم (الصف العلوي).

للحصول على احتمال فوز لاعب واحد على الأقل عليك، سأفترض -وهو افتراض غير صحيح تمامًا- أن عدد اللاعبين الذين لديهم زوج جيب أعلى هو متغير عشوائي بواسون بمتوسط في الجدول أعلاه. بناءً على هذا الافتراض، فإن احتمال فوز لاعب واحد على الأقل عليك هو 1-e ^-µ ، حيث µ هو المتوسط. على سبيل المثال، إذا كان لديك ملكات جيب وكان هناك 9 لاعبين آخرين، فإن العدد المتوقع للاعبين الذين لديهم زوج جيب أعلى هو 0.0882، وبالتالي فإن احتمال حصول لاعب واحد على الأقل على زوج جيب أعلى هو 1-e ^-0.0882 = 8.44%. يوضح الجدول أدناه هذه الاحتمالات.

لذا فإن تقريبي لاحتمال وجود زوج جيب أعلى واحد على الأقل هو 1-e ^{-n*r*(6/1225)} .

ملاحظة: بعد نشر هذا المقال، كتب أحد معجبيّ، لاري ب.، برنامجًا تركيبيًا قائمًا على القوة الغاشمة لحل هذه المسائل. إليكم نتائجه.

لاحقًا، اقترح ستيفن ز. تقريبًا بسيطًا. خذ عدد الأزواج الأعلى، واضربه في عدد اللاعبين الآخرين، ثم اقسمه على 2. هذه هي النسبة المئوية لاحتمال وجود زوج أعلى واحد على الأقل. على سبيل المثال، مع زوج من الولد في لعبة بعشرة لاعبين، يكون احتمال وجود زوج جيب أعلى هو 3 × 9/2 = 13.5%. باستخدام هذه الصيغة، تحصل على ما يلي لجميع الحالات.

لمن لا يعرف مصطلحات لعبة "هولد إم"، فأنت تسأل عن احتمال الحصول على زوج واحد على الأقل من كل ست بطاقات، نظرًا لأن أول بطاقتين (الورقتان المخفيتان) من رتب مختلفة. أرجو أن تسامحوني إذا اكتفيت بحساب احتمال الحصول على زوج واحد فقط، بما في ذلك الأيدي التي تُشكل أيضًا سلسلة أو فلش.

عدد طرق إقران إحدى بطاقاتك المخفية هو ست طرق (بطاقتان مخبأتان × 3 أنواع متبقية). يجب أن تكون جميع البطاقات الثلاث الأخرى من رتب مختلفة عن الـ 11 المتبقية. هناك 165 طريقة لاختيار 3 رتب من أصل 11. لكل منها أربع أنواع للاختيار من بينها. إذن، عدد طرق إقران إحدى بطاقاتك المخفية هو 6 × 165 × 4 = ³ = 63,360.

لنلقِ نظرة الآن على عدد طرق الحصول على زوج من البطاقات غير المكتملة. هناك ١١ رتبة للاختيار من بينها. بعد اختيار الزوج، يكون هناك 6 طرق لاختيار مجموعتين من أصل ٤. أما بالنسبة للورقتين الأخريين، فهناك 45 طريقة لاختيار مجموعتين من أصل ١٠ مجموعات كاملة متبقية. لكلا المجموعتين، هناك ٤ مجموعات ممكنة. لذا، فإن مجموع مجموعات الزوج، باستثناء البطاقات المكتملة، هو 11 × 6 × 45 × 4 = ² = 47,520.

العدد الإجمالي لطرق اختيار 4 بطاقات من أصل 50 بطاقة متبقية في المجموعة هو combin(50,4)=230,300. لذا، فإن احتمال الحصول على زوج واحد فقط من ست بطاقات هو (63,360 + 47,520) / 230,300 = 48.15%.

احتمال وجود ثلاث رتب مختلفة في الفلوب هو combin (13,3)×4 ³ / combin(52,3) = 0.828235. هناك combin(10,3)=120 طريقة لاختيار ثلاثة لاعبين من أصل عشرة. من بين هذه الخيارات الثلاثة، احتمال حصول اللاعب الأول على مجموعة هو 3×combin(3,2)/combin(49,2) = 0.007653061. احتمال حصول اللاعب الثاني على مجموعة هو 2×combin(3,2)/combin(47,2) = 0.005550416. احتمال حصول اللاعب الثالث على مجموعة هو combin(3,2)/combin(45,2) = 0.003030303. خذ حاصل كل هذا والاحتمال هو 0.828235 × 120 × 0.007653061 × 0.005550416 × 0.003030303 = 0.00001279، أو 1 في 78166.

للقراء الذين قد لا يعرفون، "المجموعة" هي مجموعة من ثلاثة أوراق متشابهة بعد الفلوب، بما في ذلك زوج من الأوراق المتشابهة. احتمال عدم تكوين مجموعة هو (48 + مجموعة (48،3)) / مجموعة (50،3) = 17،344 / 19600 = 88.49%. لذا، فإن احتمال تكوين مجموعة هو 11.51%. في 2787 زوجًا، كان من المفترض أن تكون قد كوّنت مجموعة 320.8 مرة. لذا، فإن مجموعتك أقل من التوقعات بمقدار 47.8 مجموعة. التباين هو n × p × (1-p)، حيث n = عدد الأيدي، وp = احتمال تكوين المجموعة. في هذه الحالة، التباين هو 2787 × 0.1176 × 0.8824 = 283.86. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لذلك، أو 16.85. لذا، فإن مجموعتك هي 47.8 / 16.85 = 2.84 انحراف معياري أقل من التوقعات. يمكن العثور على احتمال الحظ السيئ أو الأسوأ في أي جدول قياسي طبيعي، أو في Excel على النحو التالي norsdist(-2.84) = 0.002256، أو 1 في 443.

احتمال الخسارة في لعبة KK مقابل AA هو ( combin (4,2)/combin(52,2)) × (combin(4,2)/combin(50,2)) = 0.000022162، لكل خصم على الطاولة. أي مرة واحدة كل 45,121 يدًا، لذا فإن حساباتك صحيحة. العدد المتوقع لتكرار ذلك في 400 يد هو 400 × 0.000022162 = 0.008865084، لكل خصم. يوضح الجدول التالي احتمالية 3 أو أكثر من ربح لعبة KK مقابل AA في 400 يد، حسب عدد الخصوم.

حسنًا، نعم، أعتقد أن هذا يبدو مُريبًا. كلما قلّ عدد اللاعبين، زاد الأمر سوءًا. أودّ معرفة مكان هذه اللعبة.

شكراً. تبقى ٥٠ ورقة في المجموعة، ٤٢ منها ليست آساً أو ملكاً. احتمال عدم وجود آس أو ملك في خمس أوراق مشتركة هو: الجمع (٤٢،٥) / الجمع (٥٠،٥) = ٨٥٠،٦٦٨ / ٢،١١٨،٧٦٠ = ٤٠.١٥٪. إذن، احتمال وجود آس أو ملك واحد على الأقل هو ١٠٠٪ - ٤٠.١٥٪ = ٥٩.٨٥٪.

احتمال حصول لاعب آخر على آسات جيب، إذا كنتَ تملكها، هو (2/50) × (1/49) = 1 من 1225. وإذا كان لديك 9 لاعبين آخرين، فإن الاحتمال هو 9 أضعاف ذلك، أو 1 من 136. قد يبدو هذا إساءةً لتقدير مجموع الاحتمالات. مع ذلك، لا بأس إذا استطاع لاعب واحد فقط الحصول على الآسين. للإجابة على سؤالك، احتمال حصول لاعب آخر على آسات جيب ثلاث مرات من أصل ثلاث مرات حصلتَ فيها على آسات جيب هو (9 × (2/50) × (1/49)) ³ = 1 من 2,521,626.