احتمالات البنغو: تحليل لعبة جامبو التقدمية في كازينوهات ستيشن

تحديث

منذ أن كتبتُ تقريري الأول، يبدو أن كازينوهات المحطة قد غيّرت توزيع البطاقات الفردية والزوجية مجددًا، ربما في أكتوبر. يوضح الجدول التالي توزيعًا حديثًا للبطاقات التي لعبتها أنا ولاعب آخر سأسميه "L".

على الرغم من بقاء نطاق الاحتمالات بين 9 و14 كما هو، إلا أن الاحتمالية الآن تميل بشكل كبير نحو 14، بدلاً من توزيع أكثر توازناً سابقاً. كلما زادت الاحتمالات، زادت صعوبة الفوز بالجائزة الكبرى التراكمية. بناءً على هذه العينة، أنصح الآن بالانتظار حتى تصل الكرة العملاقة إلى 54 إذا كنت ترغب في قيمة متوقعة إيجابية.

يقوم الجدول التالي بمقارنة العينة الإجمالية الخاصة بي مع الإجماليات المتوقعة نظرًا لنفس حجم العينة واحتمال كل إجمالي بافتراض نفس طريقة سحب البطاقات التي شرحها لي سابقًا ستيفن إل. كافالارو (نائب الرئيس التنفيذي والمدير التنفيذي للعمليات في Station Casinos).

من الواضح أن نتائجي لا تتوافق مع التوقعات. يُظهر اختبار إحصائي لانحراف هذا التوزيع مقارنةً بالتوقعات قيمة إحصائية مربع كاي تساوي 330.71 مع 5 درجات حرية. احتمالية نتائج منحرفة بهذا الشكل أو أكثر هي 1 من 402,433,741,048,496,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000. ولتوضيح ذلك، فإن احتمالية الفوز باليانصيب ثماني مرات متتالية أكبر.

لمزيد من التوضيح بشأن حدوث تغيير في طريقة سحب البطاقات، يوضح الجدول التالي نتائج عينتي قبل وبعد التغيير المزعوم. أُخذت العينة الأولى في أغسطس، والعينة الثانية في 30 أكتوبر و1 نوفمبر.

يقوم الرسم البياني التالي بمقارنة عمودي الاحتمالات في الجدول أعلاه بالنسبة للاحتمالات المتوقعة.

يُظهر هذا أنه على الرغم من أن العينة ١ لم تُطابق التوقعات جيدًا، إلا أنه من المُحتمل أن يكون الانحراف ناتجًا عن عينة مُنحرفة (احتمال ذلك هو ١ من ٤٨٤٤). مع ذلك، فإن العينة الجديدة لا تُطابق التوقعات ولا العينة القديمة، بلا شك.

تقدمتُ باستفسارٍ حول كيفية سحب البطاقات الجديدة إلى إدارة كازينوهات ستيشن، وقيل لي إنه لم يطرأ أي تغيير على طريقة سحب البطاقات. لم يُدلَ بأي تعليقٍ بشأن دليلي على عكس ذلك، وبسبب "تقاريري السلبية"، رُفض أي تعاونٍ إضافي.

ملاحظات: جُمعت "عينة مايك" في جلسة الساعة الثالثة، بتاريخ 1 نوفمبر، في محطة سانست. جُمعت "عينة ل" في جلستي الساعة التاسعة والحادية عشرة صباحًا، بتاريخ 30 أكتوبر، في محطة بولدر.

فيما يلي دراستي الأولية، والتي أصبحت الآن قديمة.

---

فيما يلي دليلي على أن بطاقات البينغو التقدمية التي تباع في كازينوهات لاس فيغاس التالية لم يتم إنشاؤها بشكل عشوائي تمامًا.

• محطة القصر
• محطة سانتا في
• محطة تكساس
• محطة بولدر
• محطة الغروب
• فييستا رانشو
• فييستا هندرسون
• مدينة سام

تُدير كازينوهات ستيشن في لاس فيغاس لعبة بنغو تقدمية مرتبطة تُسمى جامبو بنغو. يبدأ عداد الجوائز التقدمية من 100,000 دولار. للفوز، يجب على اللاعب تغطية جميع الأرقام الـ 24 على البطاقة خلال 47 جولة. في حال لم يُحقق أيٌّ من صالات البنغو الخمسة الفوز في الأسبوع الأول، يرتفع عدد الجولات للفوز بالجائزة التقدمية (تُسمى كرة جامبو) بمقدار جولة واحدة ليصل إلى 48 جولة. وبالمثل، تزداد قيمة كرة جامبو بمقدار جولة واحدة كل أسبوع حتى يفوز أحد اللاعبين.

من الواضح أنه لتوفير الوقت، فإن أول 37 رقمًا يتم استدعاؤها هي أرقام زوجية بين 2 و74. بطاقات جامبو بينغو مُعَلّمة مسبقًا لجميع الأرقام الزوجية. عند بدء اللعبة، يسأل المُنادي إن كان أي لاعب قد فاز بناءً على بطاقة تحتوي جميعها على أرقام زوجية. ثم بعد عدم حصول أي لاعب على بطاقة رابحة، يسحب المُنادي الكرات عشوائيًا، متجاهلًا الكرات الزوجية. إذا لم يحصل أي لاعب على غطاء كامل عند استدعاء كرة جامبو، تُمنح جائزة ترضية قدرها 5000 دولار أمريكي لمن يحصل على غطاء كامل خلال 52 استدعاء. إذا لم يُطالب أي لاعب بذلك، تُمنح جائزة قدرها 1199 دولارًا أمريكيًا لأول لاعب يحصل على غطاء كامل بغض النظر عن عدد مرات الاستدعاء. وكما هو الحال دائمًا في لعبة البنغو، تُقسّم أي جائزة إذا فاز أكثر من لاعب في نفس الوقت.

تقدم كازينوهات فييستا لعبة مشابهة جدًا، ولكن على نطاق أصغر. تبدأ الجائزة الكبرى التقدمية من 25,000 دولار أمريكي، وجوائز الترضية أقل. وتتشابه اللعبة، حيث تُعلن جميع الأرقام الزوجية مُسبقًا. أما في سامز تاون، فتُعكس اللعبة، حيث تُعلن الأرقام الفردية مُسبقًا.

يعرض الجدول التالي توزيع الاحتمالات وفقًا لإجمالي الأرقام الفردية على البطاقة لبطاقة عادلة. تعريفي للبطاقة العادلة هو أن يتم اختيار أرقام "B" الخمسة عشوائيًا من 1 إلى 15، ويتم اختيار أرقام "I" الخمسة عشوائيًا من 16 إلى 30، وهكذا. طريقة أخرى لتحقيق نفس النتيجة هي سحب أرقام من 1 إلى 75 لملء البطاقة عند اختيار الأرقام، وتجاهل الأرقام إذا كان العمود المقابل ممتلئًا بالفعل.

من الواضح أن بطاقة ذات احتمالات ضئيلة جدًا ستكون بداية جيدة وفرصة فوز أفضل بكثير من بطاقة ذات أرقام فردية في الغالب. في عدد يوليو 2002 من مجلة "لاس فيغاس أدفايزر"، كتبتُ مقالًا عن لعبة "جامبو بينغو"، استنادًا إلى افتراض أن البطاقات تُصنّف عشوائيًا. أخبرني أحد قراء ذلك المقال أنه يعتقد أن البطاقات لم تُصنّف عشوائيًا، والدليل على ذلك أنه اشترى 1500 بطاقة، وكان مجموع احتمالاتها يتراوح بين 9 و14.

لتأكيد صحة الادعاء القائل بأن جميع البطاقات تحمل احتمالات تتراوح بين 9 و14، جمع مساعدي روب فيلدهايم 259 بطاقة جامبو بينغو من محطة القصر. ثم أحصينا عدد الاحتمالات على كل بطاقة، وكما توقعت، كان إجمالي الاحتمالات دائمًا بين 9 و14. يوضح الجدول التالي إجمالي كل عدد من الاحتمالات والإجمالي المتوقع في لعبة عادلة.

احتمال أن يكون إجمالي الاحتمالات بين 9 و14 هو 0.834524756. من بين العينة المكونة من 42.858088، كان من المفترض أن تقع الاحتمالات خارج نطاق 9 إلى 14، ولكن لم تقع أي منها. احتمال حدوث ذلك في لعبة عادلة هو 0.834524756 ^{، 259} = 4.4953 × 10 ^-21 ، أو 1 من 222,454,364,282,805,000,000.

وفيما يلي نتائج نفس النوع من الاختبار الذي تم إجراؤه على بطاقات البينغو الكبرى التي تم الحصول عليها بعد جلسة الساعة 11:00 صباحًا في 22 أغسطس 2002، في فييستا رانشو.

العدد المتوقع أن يقع خارج نطاق 9 إلى 14 هو 14.396346، ولكن لم يقع أي منها بالفعل. احتمال ذلك هو 1.46289 × 10 ^-7 ، أو 1 من 6,835,771.

فيما يلي نتائج عينة البطاقات التقدمية الخاصة بي من Sams Town.

توقعتُ في سامز تاون أن يكون نطاق الاحتمالات من ١٠ إلى ١٥، أو من ٩ إلى ١٤ زوجًا، بناءً على محادثة مع ستيفن ل. كافالارو من كازينوهات ستيشن. مع ذلك، حصلتُ على بطاقة واحدة بـ ٨ أرقام زوجية، وأخرى فقط بـ ٩. احتمال أن يكون لأي بطاقة من ٨ إلى ١٤ زوجًا هو ٠.٨٨١٧٠٣. واحتمال أن يكون ١٠٢ ضمن هذا النطاق هو ٢.٦٤٧٧٨٦ × ١٠ ^-٦ ، أو ١ من ٣٧٧٦٧٤.

علاوةً على ذلك، أجريتُ اختبارًا مشابهًا على بطاقات بنغو عادية من صن كوست. أظهرت عينة من 129 بطاقة النتائج الفعلية والمتوقعة التالية.

من بين ١٢٩ بطاقة، كان الرقم ٢١ خارج نطاق ٩ إلى ١٤، بينما كان الرقم المتوقع ٢١٫٣٤٦٣٠٦٥٤. اجتازت هذه البطاقات اختبار الأرقام الفردية/الزوجية بسهولة. كان من المفترض أن تجتازه، إذ لم تكن هناك لعبة تُعلن فيها الأرقام الفردية أو الزوجية مسبقًا.

يوضح الجدول التالي احتمالية الفوز في لعبة عادلة بشرط أن يقوم اللاعب بتغطية جميع الأرقام ضمن 50 رقمًا.

الصورة السفلية (على اليمين) تُظهر أن احتمال الفوز الإجمالي هو 0.000006053319، أو 1 من 165199. إذا كان هناك فوز في لعبة عادلة، فلاحظ أنه من المرجح أن يحدث ذلك على بطاقة ذات احتمالات 6. واحتمال فوز بطاقة ذات احتمالات أقل من 9 في لعبة عادلة هو 94.15%.

عندما عُرف أنني أخطط للكتابة عن تحقيقي، طُلب مني مقابلة ستيفن إل. كافالارو (نائب الرئيس التنفيذي والمدير التنفيذي للعمليات في كازينوهات ستيشن) وجوناثان سوين (نائب الرئيس والمدير العام لقصر ستيشن). أقرّ ستيفن صراحةً بأن البطاقات قد اختيرت مسبقًا بحيث تحتوي كل منها على احتمالات تتراوح بين 9 و14. وقال إن ذلك كان بهدف تحقيق تكافؤ الفرص ومنح كل بطاقة وعميل أملًا بالفوز. وأضاف أن نطاق الاحتمالات كان أوسع بكثير في البداية، وأن الفائز الأول كان لديه 3 احتمالات فقط على البطاقة في البداية. علاوة على ذلك، قال إن كازينوهات سامز تاون وفييستا تقومان بالشيء نفسه، وأن لعبة ستيشن معتمدة بالكامل من قبل مجلس مراقبة الألعاب في نيفادا.

في مكالمة هاتفية لاحقة، أخبرني ستيفن كافالارو أن طريقة إنشاء البطاقات هي أن يختار الحاسوب عشوائيًا مجموعة من الأرقام الصحيحة. إذا كان مجموع الاحتمالات بين 9 و14، فسيطبع البطاقة، وإلا فسيتجاهل مجموعة الأرقام هذه وينتقل إلى المجموعة التالية. يوضح الجدول التالي الاحتمالية المعدلة لكل عدد من الاحتمالات باستخدام هذه الطريقة لإنشاء البطاقات.

بشكل عام، نتيجة استبعاد أفضل البطاقات من المجموعة هي انخفاض احتمالية فوز أي بطاقة بالجائزة الكبرى التقدمية بشكل ملحوظ. أما استبعاد أسوأ البطاقات فلا يُعوّض ذلك. تؤدي سياسة الاختيار المسبق للبطاقات إلى زيادة حجم الجوائز الكبرى. في الوقت نفسه، تضطر الكازينوهات إلى إعادة توزيع العداد بشكل أقل. والنتيجة النهائية هي انخفاض عدد الفائزين بالجوائز التقدمية وانخفاض إجمالي قيمة الجوائز. يوضح الجدول التالي الاحتمالية المتوقعة لفوز كلٍّ من البطاقة العادلة وبطاقة المحطات، وذلك وفقًا لعدد الكرات المُستدعاة للفوز بالجائزة الكبرى.

يوضح عمود النسبة مدى صعوبة الفوز باستخدام بطاقة كازينو ستيشن مقارنةً ببطاقة عادلة. على سبيل المثال، يكون الفوز أصعب بـ 14.28 مرة إذا كان الفوز بالجائزة الكبرى يتطلب 50 كرة أو أقل.

برأيي، يجب إنشاء جميع بطاقات البنغو عشوائيًا تمامًا بالطريقة المذكورة أعلاه. إلا أنه في حال عدم إنشاء البطاقة عشوائيًا، أعتقد أنه يجب الإفصاح عن قواعد إنشائها وتأثيرها على اللاعب. في جميع أشكال المقامرة، أؤيد بشدة مبدأي الإنصاف والإفصاح. لا أجد أيًا منهما ينطبق على البنغو في ولاية نيفادا. لذا، فليحذر لاعب البنغو.

وأود أن أشكر ستيفن كافالارو وجوناثان سوايم على اجتماعهما معي وعلى انفتاحهما بشأن هذه المسألة.

---

العودة إلى الاحتمالات في لعبة البنغو

مايكل شاكلفورد، ASA

صفحات البنغو الأخرى

• صفحتي العامة للبينغو
• جوائز لعبة Palace Station Cash Ball الكبرى لعام 2007 .
• جوائز بولدر ستيشن النقدية لعام ٢٠٠٧
• جوائز فييستا هندرسون النقدية لعام ٢٠٠٧
• جوائز تكساس ستيشن كاش بول الكبرى لعام 2007
• جوائز سانست ستيشن النقدية لعام 2007
• جوائز سانتا في كاش بول الكبرى لعام 2007
• جوائز ريد روك كاش بول لعام 2007
• جوائز كازينوهات الساحل النقدية لعام 2007

كتبه: Michael Shackleford