رياضيات البوكر

مشتقات لعبة Five Card Stud

لقد سُئلتُ مرارًا كيف استنتجتُ احتمالات سحب كل يد بوكر، لذا أنشأتُ هذا القسم لشرح العملية الحسابية. يتطلب هذا مستوىً معينًا من الكفاءة الرياضية؛ أي شخص مُلِمٌّ برياضيات المدرسة الثانوية سيتمكن من فهم هذا الشرح. يمكن تطبيق المهارات المستخدمة هنا على مجموعة واسعة من مسائل الاحتمالات.

دالة العامل

إذا كنت تعرف دالة العامل، يمكنك الانتقال إلى الأسفل. إذا كنت تعتقد أن 5! تعني الصراخ بالرقم خمسة، فتابع القراءة.

من المرجح أن توصي تعليمات أريكة غرفة المعيشة الخاصة بك بإعادة ترتيب الوسائد بشكل منتظم. لنفترض أن أريكتك بها أربع وسائد. كم عدد التركيبات التي يمكنك ترتيبها فيها؟ الإجابة هي 4!، أو 24. من الواضح أن هناك 4 مواضع لوضع الوسادة الأولى، ثم سيتبقى 3 مواضع لوضع الثانية، وموضعان للثالثة، وموضع واحد فقط للأخيرة، أو 4*3*2*1 = 24. إذا كان لديك n وسادة، فسيكون هناك n*(n-1)*(n-2)* ... * 1 = n! طريقة لترتيبها. يجب أن تحتوي أي آلة حاسبة علمية على زر عاملي، وعادةً ما يُشار إليه بـ x!، وستعطي دالة fact(x) في Excel عاملي x. سيكون إجمالي عدد طرق ترتيب 52 بطاقة هو 52! = 8.065818 * 10 ⁶⁷ .

أعلى 6 مكافآت كازينو بوكر على الإنترنت عرض الكل

الدالة التركيبية

افترض أنك تريد تشكيل لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 10 أشخاص في مكتبك. كم عدد التركيبات المختلفة للأشخاص للاختيار من بينها؟ الإجابة هي 10!/(4!*(10-4)!) = 210. والحالة العامة هي أنه إذا كان عليك تشكيل لجنة من y شخصًا من مجموعة من x، فسيكون هناك تركيبات x!/(y!*(xy)!) للاختيار من بينها. لماذا؟ بالنسبة للمثال المقدم، سيكون هناك 10! = 3,628,800 طريقة لترتيب 10 أشخاص في مكتبك. يمكنك اعتبار الأربعة الأوائل هم اللجنة والستة الآخرين هم المحظوظون. ومع ذلك، ليس عليك تحديد ترتيب الأشخاص في اللجنة أو أولئك الذين ليسوا في اللجنة. يوجد 4! = 24 طريقة لترتيب الأشخاص في اللجنة و6! = 720 طريقة لترتيب الآخرين. بقسمة 10! على حاصل ضرب 4! و6! سوف تقوم بتقسيم ترتيب الأشخاص داخل وخارج اللجنة ويتبقى لك فقط عدد التركيبات، على وجه التحديد (1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*5*6)) = 210. ستخبرك دالة الجمع (x,y) في Excel بعدد الطرق التي يمكنك من خلالها ترتيب مجموعة من y من x.

الآن يمكننا تحديد عدد الأيدي الممكنة المكونة من خمس بطاقات من مجموعة أوراق لعب من 52 بطاقة. الإجابة هي combin(52,5)، أو 52!/(5!*47!) = 2,598,960. إذا كنت تقوم بذلك يدويًا لأن آلتك الحاسبة لا تحتوي على زر عاملي وليس لديك نسخة من برنامج إكسل، فستجد أن جميع عوامل 47! تُلغى تلك الموجودة في 52!، ويتبقى (52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5). احتمال تكوين أي يد هو عدد طرق ترتيبها مقسومًا على إجمالي عدد التركيبات وهو 2,598.960. فيما يلي عدد التركيبات لكل يد. ما عليك سوى القسمة على 2,598,960 للحصول على الاحتمال.

رياضيات البوكر

يوضح القسم التالي كيفية استنتاج عدد مجموعات كل يد بوكر في لعبة البوكر المكونة من خمس بطاقات.

دافق ملكي

هناك أربع طرق مختلفة لرسم الفلاش الملكي (طريقة واحدة لكل نوع).

فلاش مستقيم

أعلى بطاقة في الفلاش المتتالي يمكن أن تكون 5، 6، 7، 8، 9، 10، أو ولد، أو ملكة، أو ملك. وبالتالي، هناك 9 بطاقات عالية محتملة، و4 أنواع مختلفة، مما ينتج عنه 9 × 4 = 36 فلاش متتاليًا مختلفًا.

أربعة من نفس النوع

هناك ١٣ رتبة مختلفة ممكنة للبطاقات الأربع المتشابهة. يمكن أن تكون البطاقة الخامسة أيًا من البطاقات الـ ٤٨ المتبقية. وبالتالي، لدينا ١٣ × ٤٨ = ٦٢٤ بطاقة من نفس النوع.

منزل كامل

هناك ١٣ رتبة مختلفة ممكنة للبطاقات الثلاثية المتشابهة، و١٢ رتبة متبقية للبطاقات الثنائية المتشابهة. هناك ٤ طرق لترتيب ثلاث بطاقات من رتبة واحدة (مع حذف ٤ بطاقات مختلفة)، وcombin(٤، ٢) = ٦ طرق لترتيب بطاقتين من رتبة واحدة. وبالتالي، هناك ١٣ × ١٢ × ٤ × ٦ = ٣٧٤٤ طريقة لتكوين فول هاوس.

تدفق

هناك 4 مجموعات للاختيار من بينها، ومجموع (13،5) = 1287 طريقة لترتيب خمس بطاقات من نفس المجموعة. من 1287، اطرح 10 للبطاقات العشرة الأعلى التي يمكن أن تؤدي إلى سلسلة متتالية، لتحصل على سلسلة متتالية، ويتبقى 1277. ثم اضرب المجموعات الأربع في 4، لتحصل على 5108 طريقة لتكوين سلسلة متتالية.

مستقيم

أعلى بطاقة في السلسلة يمكن أن تكون ٥، ٦، ٧، ٨، ٩، ١٠، أو ولد، أو ملكة، أو ملك، أو آص. وبالتالي، هناك ١٠ بطاقات محتملة.يمكن أن تكون كل بطاقة من أربع مجموعات مختلفة. عدد طرق ترتيب خمس بطاقات من أربع مجموعات مختلفة هو 4 ^{× 5} = 1024. بعد ذلك، اطرح 4 من 1024 للحصول على أربع طرق لتكوين فلاش، مما ينتج عنه فلاش متتالي، ويتبقى 1020. العدد الإجمالي لطرق تكوين ستريت هو 10 × 1020 = 10200.

ثلاثة من نفس النوع

هناك ١٣ رتبة للاختيار من بينها للبطاقات الثلاثية المتشابهة، و٤ طرق لترتيب ٣ بطاقات من بين الأربع. هناك ٦٦ طريقة لترتيب الرتبتين الأخريين للاختيار من بينها. في كل رتبة، هناك أربع بطاقات للاختيار من بينها. وبالتالي، فإن عدد طرق ترتيب البطاقات الثلاثية المتشابهة هو ١٣ × ٤ × ٦٦ × ٤ ^٢ = ٥٤٩١٢.

زوجان

هناك (١٣:٢) = ٧٨ طريقة لترتيب الصفّين الممثلين. في كلا الصفّين، هناك (٤:٢) = ٦ طرق لترتيب بطاقتين. يتبقى ٤٤ بطاقة للبطاقة الخامسة. بالتالي، هناك ٧٨ × ٦ ^٢ × ٤٤ = ١٢٣٥٥٢ طريقة لترتيب زوجين.

زوج واحد

هناك ١٣ رتبة للاختيار من بينها للزوج، وcombin(٤،٢) = ٦ طرق لترتيب البطاقتين في الزوج. هناك combin(١٢،٣) = ٢٢٠ طريقة لترتيب الرتب الثلاث الأخرى للبطاقات المفردة، وأربع بطاقات للاختيار من بينها في كل رتبة. وبالتالي، هناك ١٣ * ٦ * ٢٢٠ * ٤ ^٣ = ١٠٩٨،٢٤٠ طريقة لترتيب الزوج.

لا شئ

أولاً، أوجد عدد طرق اختيار خمس رتب مختلفة من أصل ١٣، وهو combin(13,5) = ١٢٨٧. ثم اطرح ١٠ من قيمة ١٠ أوراق عالية مختلفة تُؤدي إلى سلسلة متتالية، ليصبح المجموع ١٢٧٧. يمكن لكل ورقة أن تكون من أحد أربعة أنواع من البطاقات، لذا هناك ^٤ = ١٠٢٤ طريقة مختلفة لترتيب الأنواع في كل مجموعة من مجموعات الـ ١٢٧٧. مع ذلك، يجب طرح ٤ من ١٠٢٤ طريقة لتكوين مجموعة متتالية، ليصبح المجموع ١٠٢٠. لذا، العدد النهائي لطرق ترتيب يد البطاقات العالية هو ١٢٧٧ × ١٠٢٠ = ١٣٠٢,٥٤٠.

بطاقة عالية محددة

على سبيل المثال، لنحسب احتمالية سحب ورقة "جاك-هاي". يجب أن يكون في اليد أربع أوراق مختلفة، جميعها أقل من ورقة "جاك"، منها 9 أوراق للاختيار من بينها. عدد طرق ترتيب 4 صفوف من أصل 9 هو combin(9,4) = 126. بعد ذلك، يجب طرح 1 من مجموع 10-9-8-7 الذي سيشكل سلسلة مستقيمة، ليتبقى 125. مما سبق، نعلم أن هناك 1020 طريقة لترتيب الأصناف. بضرب 125 في 1020، نحصل على 127,500، وهو عدد طرق تكوين يد "جاك-هاي". بالنسبة لأوراق "آس-هاي"، تذكر طرح 2 بدلاً من 1 من إجمالي عدد طرق ترتيب الصفوف، لأن AKQJ-10 و5-4-3-2-A كلاهما سلسلة مستقيمة صحيحة.
وهنا موقع جيد يشرح أيضًا كيفية حساب احتمالات البوكر .

الآس/الملك هاي

لمصلحة المهتمين بلعبة البوكر الكاريبية، سأحسب احتمال سحب آس عالي مع ثاني أعلى ورقة ملك. يجب أن تكون جميع الأوراق الثلاث الأخرى مختلفة، وتتراوح رتبتها بين الملكة والملكتين. عدد طرق ترتيب 3 من أصل 11 رتبة هو (11:3) = 165. بطرح واحد من QJ-10، الذي سيشكل سلسلة مستقيمة، يتبقى لديك 164 تركيبة. كما ذكرنا سابقًا، هناك 1020 طريقة لترتيب المجموعات وتجنب الفلاش. العدد النهائي لطرق ترتيب الآس/الملك هو 164 × 1020 = 167,280.

الروابط الداخلية

لمعرفة المزيد عن الاحتمالات الأخرى في لعبة البوكر، يرجى الاطلاع على قسمي حول الاحتمالات في لعبة البوكر .

كتبه: Michael Shackleford