متتالية فيبوناتشي - الجزء الثاني

هذا الأسبوع هو الجزء الثاني من سلسلة مكونة من ثلاثة أجزاء حول متتالية فيبوناتشي. ولكن قبل ذلك، أقدم لكم لغز المنطق الأسبوعي المعتاد.

لغز منطقي

أنت مع إلهين، أحدهما صادق دائمًا والآخر كاذب دائمًا. لكنهما يتحدثان لغة أجنبية، حيث كلمتا "نعم" و"لا" هما "جا" و"دا" على التوالي. يمكنك أن تسأل أحدهما سؤالًا واحدًا إجابته "نعم" أو "لا"، ويجب أن تكون إجابته واضحة (أي لا مجال للتناقض). مهمتك هي تحديد أيّ الإلهين هو أيّهما. ما السؤال الذي يجب أن تطرحه؟

متتالية فيبوناتشي - الجزء الثاني

نواصل هذا الأسبوع استعراضنا لمتتالية فيبوناتشي. قبل المضي قدمًا، دعوني أوضح ما يلي:

F _n = العدد ^رقم n في متتالية فيبوناتشي.

كما هو موضح في النشرة الإخبارية للأسبوع الماضي:

F ₁ = 1

F ₂ = 2

F _n = F _n-1 + F _n-2 ، لـ n>2

إذن، الأرقام العشرة الأولى في متتالية فيبوناتشي هي 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55.

السؤال الذي أطرحه هو: عندما يقترب n من ∞، ما هو Fn Fn-1 ؟

لنستخدم الرمز Φ لتمثيل هذه النسبة Fn Fn-1 عندما يقترب n من ∞.

Fn-2 Fn-1 نسبة حد في متتالية فيبوناتشي إلى الحد الذي يسبقه.عندما يقترب n من اللانهاية، سيكون هذا هو نفسه Fn-1 Fn = Φ

إذن، لدينا:

بما أن متتالية فيبوناتشي متزايدة، فإن الحل المعقول الوحيد هو 1 + √5 / 2 = 1.61803398874989 تقريبًا

يُعرف هذا باسم النسبة الذهبية ويظهر في الرياضيات في كل مكان.

أحد الأمثلة على ذلك هو إذا كان للمستطيل أضلاع a و b بحيث يكون a/b = (a+b)/b، فإن a/b = Φ.

يُمكن رؤية النسبة الذهبية أيضاً في النجمة الخماسية. في الصورة أعلاه، تتساوى نسب الأحمر إلى الأخضر، والأخضر إلى الأزرق، والأزرق إلى الوردي مع النسبة الذهبية.

سأبني في الأسبوع القادم على هذا الدرس لعرض صيغة أي حد معين في متتالية فيبوناتشي.

حل لغز المنطق

هل كلمة "ja" تعني "نعم"؟ إذا كانت الإجابة "ja"، فقد سألت الشخص الصادق. أما إذا كانت الإجابة "da"، فقد سألت الشخص الكاذب.

هذا هو جوابي المختصر والبسيط. من المحتمل وجود إجابات أخرى.

حل لغز المنطق

دعونا نفحص التركيبات الأربعة الممكنة، مع التقاطع الذي تسأله وكلمة "نعم".

السؤال = شخص صادق، نعم = ja: بما أن ja تعني نعم، فسوف يجيب بصدق وإيجابية بـ "ja".

السؤال = شخص صادق، نعم = دا: بما أن جا تعني لا، فسوف يجيب بصدق وسلبية باستخدام "جا"."

السؤال = شخص كاذب، نعم = جا: بما أن جا تعني نعم، فإن الإجابة الصحيحة هي "نعم" أو "جا". ومع ذلك، فأنت تسأل الشخص الكاذب، لذا سيعكس الإجابة ويقول "دا".

السؤال = شخص كاذب، نعم = دا: بما أن جا تعني لا، فإن الإجابة الصحيحة هي "لا" أو "جا". ومع ذلك، فأنت تسأل الشخص الكاذب، لذا سيعكس الإجابة ويقول "دا".

لاحظ أنك ستحصل على إجابة "نعم" إذا سألت الشخص الصادق، بغض النظر عن الكلمة التي تعني "نعم". وبالمثل، ستحصل على إجابة "لا" إذا سألت الشخص الكاذب بغض النظر عن الكلمة التي تعني "نعم".