مفارقة الصداقة (الجزء الثاني)

في الأسبوع الماضي، قدمت مفارقة الصداقة وقمت بقياسها باستخدام أدلة من محاكاة عشوائية أثبتت أنها صحيحة بالفعل.

للتذكير، تنص مفارقة الصداقة على أن لأصدقائنا، في المتوسط، عددًا من الأصدقاء مساويًا لنا أو أكبر. هذا صحيح! لا تناقض في ذلك، إذ يمكن إثباته رياضيًا. مع ذلك، أتفق على أنه يبدو مخالفًا للمنطق السليم.

فقط في حالة تساوي عدد الأصدقاء لدى الجميع، يكون متوسط عدد الأصدقاء لكل شخص مساويًا لمتوسط عدد أصدقاء أصدقائه. وإلا، مهما كانت طريقة قياسنا، سيبدو أن أصدقاءنا لديهم أصدقاء أكثر منا.

دعونا ننظر إلى مثال بسيط لثلاثة أشخاص.

أليس صديقة لتشارلي.
بوب صديق لتشارلي.
تشارلي صديق لأليس وبوب.

يوضح الجدول التالي عدد الأصدقاء لكل شخص، بالإضافة إلى متوسط عدد أصدقاء أصدقائه. على سبيل المثال، لدى أليس صديق واحد (تشارلي). لدى بوب أيضًا صديق واحد (تشارلي). لدى تشارلي صديقان (أليس وبوب). يُظهر الصف السفلي أن متوسط عدد الأصدقاء، 1.33، أقل من متوسط عدد أصدقاء الأصدقاء، 1.67.

شخص	أصدقاء	متوسط أصدقاء الأصدقاء
أليس	1	2
بوب	1	2
تشارلي	2	1
متوسط	1.33	1.67

على فيسبوك، يمتلك الشخص العادي ٢٤٩ صديقًا. في المقابل، يبلغ متوسط عدد أصدقاء أصدقائه ٣٥٩ صديقًا (المصدر: زاك ستار).

مع أنني ما زلتُ متمسكًا بالرأي السائد بأن أصدقاءنا أكثر شعبية منا، في المتوسط، إلا أن الرقم ١٫٦٧ في أسفل يمين الجدول ربما لا يكون ما يجب أن ننظر إليه. إحصائيًا، ليس من المقبول أخذ متوسط المتوسطات.

ماذا لو حسبنا عدد أصدقاء كل صديق وأخذنا متوسطه؟ في هذه الحالة، ستقول أليس إن صديقها تشارلي لديه صديقان، مما يمنح تشارلي نقطتين. سيقول بوب الشيء نفسه، مما يمنح تشارلي نقطتين إضافيتين. سيقول تشارلي إن أليس لديها صديق واحد وبوب لديه صديق واحد. بجمع النقاط، يكون لدى تشارلي 4، وأليس لديها صديق واحد، وبوب لديه صديق واحد. أي ما مجموعه 6 نقاط. بين طرفي صداقتين، يوجد 4 أصدقاء إجماليين. متوسط النقاط لكل صديق هو 6/4 = 1.5. وهذا لا يزال أكبر من متوسط عدد الأصدقاء لكل شخص وهو 1.33.

لماذا هذا صحيحٌ عمومًا؟ أحد التفسيرات هو أن معظم الناس يميلون أكثر إلى طلب الصداقة من الأشخاص ذوي الشخصية الجذابة مقارنةً بالأشخاص ذوي الطباع الاجتماعية الخجولة. من المتوقع أن يعرف معظم الناس الكثير من الأشخاص الاجتماعيين، وليس الكثير من الانطوائيين.

بمعنى آخر، أقلية من الأشخاص ذوي الكاريزما تُضخّم متوسط عدد أصدقاء أصدقائنا. من المُرجّح أن نكون أصدقاءً لهم، وهذا يُضخّم متوسط عدد أصدقاء أصدقائنا، مما يُشعرنا بالحرج الاجتماعي والتهميش.

هناك الكثير من الأوراق البحثية في مجال الرياضيات حول هذا الموضوع، ولكنني أعتقد أن الأمر يتلخص في التفسير البسيط المذكور أعلاه.