اذهب أولا النرد

عند لعب ألعاب الطاولة، من الشائع رمي النرد لتحديد من يبدأ أولاً. على سبيل المثال، قد يُقترح أن تبدأ أعلى رمية، ثم تدور في اتجاه عقارب الساعة حول الطاولة. مع ذلك، هناك مشكلتان في هذا. أولاً، قد يحدث تعادل، وفي هذه الحالة يُهدر الوقت في رمي النرد مرة أخرى. ثانياً، لا تُوزّع المواضع الأخرى عشوائياً.

كان هدفي إنشاء مجموعة نرد تُرتّب ترتيب اللاعبين من ٢ إلى ٤ لاعبين فأكثر عشوائيًا، بحيث يكون احتمال الفوز متساويًا. فضّلتُ استخدام الأشكال الصلبة الخمسة، لكنني كنتُ مرنًا في ذلك. لم يكن التعادل مسموحًا به بتاتًا. رمية واحدة فقط!

مع لاعبين اثنين، الأمر سهل جدًا. إذا كان العدد الأقل هو الأول، وسُمح بالعملات المعدنية، يُمكن بسهولة تصنيف العملات المعدنية كما يلي:

العملة 1: 1,4

العملة 2: 2,3

يعتمد الأمر في النهاية على الرقم ١، سواءً كان أعلى أو أقل من الرقمين المتتاليين على العملة ٢. ولتطبيق قاعدة الأشكال الأفلاطونية، يمكننا ببساطة تكرار الوجوه. على سبيل المثال، مع المكعبات، يمكننا الحصول على:

المكعب 1: 1،1،1،3،3،3

المكعب 2: 2،2،2،2،2،2

إذا كان لا بد من أن يكون لدينا جميع الأرقام المختلفة، وهو ما أحبه، فيمكننا القيام بما يلي:

6؛ عائلة الخطوط: 'Open Sans'، sans-serif؛ اللون: #313131 !important; ">المكعب 1: 1،2،3،10،11،12

المكعب 2: 4،5،6،7،8،9

يبدأ الأمر بالصعوبة مع ثلاثة لاعبين. أعترف أنني حاولتُ استخدام مزيج من الجبر والتجربة والخطأ في برنامج إكسل، لكنني فشلت. لذا، لجأتُ إلى بعض الغش وكتبتُ محاكاةً لترقيم جوانب ثلاثة نرد من 1 إلى 18 عشوائيًا حتى وجدتُ حلًا. عثر البرنامج على حلٍّ خلال دقائق قليلة كما يلي:

المكعب 1: 3،4،9،10،13،18

المكعب 2: 2،5،7،12،15،16

المكعب 3: 1،6،8،11،14،17

هناك ٦ ٣/٣ = ٢١٦ طريقة لرمي النرد الثلاثة. هناك ستة ترتيبات محتملة للاعبين الثلاثة. صدقني، من بين ٢١٦ نتيجة محتملة، تكرر كل ترتيب ٢١٦/٦ = ٣٦ مرة.

بما أنني كتبتُ مُحاكيًا لهذه المهمة، فقد وسّعتُ نطاقه ليشمل حالة اللاعبين الأربعة. استمرّ المُحاكي لساعات طويلة، مُجرّبًا تريليونات التركيبات، لكن دون جدوى. لذا، عدتُ إلى حل المسألة رياضيًا. كانت فكرتي توسيع نطاق حل النرد الثلاثة بما يلي:

المكعب 1	4	5	10	15	18	23
المكعب 2	3	6	8	17	20	21
المكعب 3	2	7	9	16	19	22
المكعب 4	1	11	12	13	14	24

كنتُ أعتقد أن اللاعب الذي يحمل المكعب ٤ يجب أن تكون لديه فرصة ¼ للفوز أولاً أو آخرًا. لنأخذ احتمال الفوز أولاً. إذا رمى ١، فسيفوز أولاً بغض النظر عن النردات الثلاثة الأخرى، لأن ١ هو الرقم الأقل. هذا الاحتمال هو ١/٦ بالطبع. إذا كان المكعب ٤ من ١١ إلى ١٤، فعلى اللاعبين الثلاثة الآخرين الحصول على ١٥ أو أكثر ليكون المكعب ٤ هو الأقل. كل منهم لديه ٣ أرقام أكبر من ١٤. لذا، فإن احتمال فوز المكعب ٤ هو الأقل هو (١/٤) + (٤/٦) * (٣/٦) ^ ٣ = ١/٦. هذا أوصلني إلى فكرة أن لكل لاعب فرصة ¼ للفوز أولاً.

مع ذلك، إذا كان المكعب 4 هو الأقل قيمة، فإن احتمالية ترتيب اللاعبين الثلاثة الآخرين ليست متساوية. على سبيل المثال، إذا كانت المكعبات من 1 إلى 3 جميعها 15 أو أكثر، فإن احتمالية أن يكون المكعب 1 هو الأقل قيمة يجب أن تكون 1/3، ولكنها في الواقع هي: احتمال (المكعب 1 = 15) + احتمال (المكعب 1 = 18) * احتمال (المكعب 2 = 20 أو 21) * احتمال (المكعب 3 = 19 أو 22) = 1/3 + (1/3) * (2/3) * (2/3) = 13/27.

لذا، كانت لدي فكرة تحويل المكعبات من 1 إلى 3 إلى اثني عشر وجهًا (نرد ذو 12 وجهًا)، ومضاعفة الجوانب الستة الأصلية على الجوانب الستة الأخرى، ولكن بإضافة 24، على النحو التالي:

المكعب 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
المكعب 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
المكعب 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45

بالنسبة للمكعب ٤، وضعتُ أقل رقمين وأعلى رقمين: ١، ٢، ٤٧، و٤٨. ثم وضعتُ الأرقام الثمانية في الفجوة بين ٢٠ و٢٩. هذا سيحافظ على احتمالية أن يكون المكعب ٤ هو الأول أو الأخير عند (٢/١٢) + (٨/١٢)*(٦/١٢)^٣ = ¼ . إذا رمى المكعب ٤ النتيجة من ١٠ إلى ٣٩، فسيعود إلى حل النرد الثلاثي، والذي أثبت نجاحه. وبالتالي، يكون حل النرد الرباعي هو:

يموت 1	5	6	11	12	15	20	31	32	37	38	41	46
يموت 2	4	7	9	14	17	18	30	33	35	40	43	44
يموت 3	3	8	10	13	16	19	29	34	36	39	42	45
يموت 4	1	2	21	22	23	24	25	26	27	28	47	48

سيتعين عليك أن تثق بي بأن من بين 12 ^ 4 = 1296 طريقة ممكنة لرمي النرد الأربعة و 4! = 24 ترتيبًا ممكنًا، فإن كل ترتيب يحتوي على 1296/24 = 54 تركيبة.

لم أستطع التوقف عند هذا الحد، بل انتقلتُ إلى حالة اللاعبين الخمسة. وباستخدام نفس المنطق في حالة اللاعبين الأربعة، كان أفضل ما استطعتُ فعله هو استخدام نرد ذي 840 وجهًا. بدلًا من إضافة حوالي خمس صفحات إلى هذه النشرة الإخبارية بسلسلة طويلة من الأرقام، نشرتُ وجوه النرد الدقيقة في منتداي على موقع Wizard of Vegas ضمن موضوع "ابدأ النرد أولاً" . هناك 3,485,099,520,000 طريقة لرمي خمسة نرد ذي 840 وجهًا، لذلك تحققتُ من النتائج عن طريق محاكاة عشوائية، وكنتُ راضيًا عن تحقيق النرد للهدف المنشود.

الفيديو الذي دفعني للخوض في هذا المأزق هو Go First Dice، على قناة Numberphile (إحدى قنواتي المفضلة!). لا بد لي من الاعتراف بأن جيمس غرايم وصل إلى حالة النرد الأربعة بنفس الطريقة التي وصلتُ بها. مع ذلك، آمل أن أضيف شيئًا للنقاش.

تم إنشاء جميع الصور التي تظهر في هذه النشرة الإخبارية باستخدام Copilot .