إثبات صيغة فيثاغورس

هذا الأسبوع، سأثبت صيغة فيثاغورس الكلاسيكية، التي تنص على أن مجموع مربعي أطوال أضلاع المثلث القائم يساوي مربع طول الوتر. وأشهر مثال على ذلك هو المثلث القائم الذي أطوال أضلاعه 3 و4 و5. لاحظ أن 3 ² + 4 ² = 5 ^2. ولكن قبل أن نصل إلى ذلك، أقدم لكم لغز المنطق الأسبوعي المعتاد.

لغز المنطق

نسي فيلسوفٌ قديمٌ شارد الذهن أن يضبط ساعته الكبيرة المعلقة على جدار منزله. لم يكن لديه راديو، ولا تلفزيون، ولا هاتف، ولا إنترنت، ولا أي وسيلة أخرى لمعرفة الوقت. فسافر سيرًا على الأقدام إلى منزل صديقه على بُعد أميال قليلة على الطريق الصحراوي المستقيم. مكث في منزل صديقه طوال الليل، وعندما عاد، كان يعرف كيف يضبط ساعته. كيف عرف؟

الجواب في نهاية النشرة الإخبارية.

إثبات صيغة فيثاغورس

انظر إلى الرسم التخطيطي التالي، الذي يتكون من مربع كبير مقسم إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية ومربع أصغر في المنتصف. سيكون هناك مربع في المنتصف لأن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة. وقد أثبتُّ ذلك في نشرة 13 نوفمبر/تشرين الثاني 2025 .

مساحة المربع الكبير هي (a+b) ^2. مساحة كل مثلث هي ab 2. مساحة المربع الأصفر في المنتصف هي c ^2. بمعادلة مساحة المربع الكبير بمجموع أجزائه الداخلية، نحصل على:

6؛ عائلة الخطوط: 'Open Sans'، sans-serif؛ اللون: #313131 !important;">(a+b) ² = 4 ab 2 + c ²

أ ² + 2أب + ب ² = 2أب + ج ²

بطرح 2ab من كلا الجانبين نحصل على:

أ ² + ب ² = ج ²

حل لغز المنطق

1. قام الأستاذ بلف الساعة وضبطها على وقت عشوائي.
2. عندما يصل إلى بيت صديقه، يسجل وقت الوصول.
3. عندما يغادر، يسجل وقت مغادرته، ويحسب الوقت الذي قضاه في منزل الصديق عن طريق طرح وقت وصوله من وقت مغادرته.
4. يحرص على المشي بنفس السرعة التي مشى بها عند عودته إلى منزل صديقه.
5. عند عودته إلى منزله، ستكون ساعته قد تقدمت بالوقت الذي قضاه في منزل صديقه مضافًا إليه وقت المشي. يمكنه حساب وقت المشي بطرح الوقت الذي قضاه في منزل صديقه من الوقت الإجمالي. ثم يمكنه حساب وقت الذهاب فقط بقسمة إجمالي وقت المشي على 2.
6. ويمكنه بعد ذلك ضبط ساعته على الوقت الذي غادر فيه منزل صديقه بالإضافة إلى وقت المشي في اتجاه واحد.

دعونا ننظر إلى مثال.

تم ضبط الساعة الخاطئة على ١٢:٠٠. في الوقت الفعلي، أي ٨:٠٠، وصل إلى منزل صديقه. في الواحدة، غادر، مسجلاً زيارة استغرقت خمس ساعات. عند عودته، وجد أن ساعته تشير إلى الثامنة. بطرح زيارة الخمس ساعات، يعني ذلك أنه قضى ثلاث ساعات مشياً، أي ساعة ونصف ذهاباً وإياباً. إذا غادر في الواحدة وسار لمدة ساعة ونصف، فيجب أن تكون الساعة الآن ٢:٣٠، ثم ضبط ساعته عليها.