WOO logo

يوصي المعالج

إثبات أن الجذر التربيعي لـ 2 غير نسبي

هذا الأسبوع سنثبت أن الجذر التربيعي للعدد ٢ عدد غير نسبي. لكن قبل ذلك، أقدم لكم لغز المنطق الأسبوعي.

لغز المنطق

شيخ عربي يطلب من ولديه أن يتسابقا بجماليهما إلى مدينة بعيدة ليريا من يرث ثروته. يفوز من كان جمله أبطأ. بعد تيههما أيامًا بلا هدف، طلب الأخوان النصيحة من رجل حكيم. بعد تلقيهما النصيحة، قفزا على جماليهما وانطلقا إلى المدينة بأقصى سرعة. ماذا قال لهما الحكيم؟

الجواب موجود في أسفل النشرة الإخبارية.

إثبات أن الجذر التربيعي لـ 2 غير نسبي

سنستخدم أسلوب التناقض لإثباتنا. هذا يعني أنني سأُدحض فكرة أن الجذر التربيعي لـ ٢ عدد نسبي، تاركًا البديل بأنه عدد غير نسبي.

تعريف العدد النسبي هو أنه يمكن التعبير عنه كنسبة بين عددين صحيحين. لنسمِّهما p وq. هذا يعني أنه لا يمكن التعبير عن العدد غير النسبي بهذه الطريقة. لأغراض إثباتنا بالتناقض، لنفترض الآن أنه يمكن التعبير عن الجذر التربيعي لـ p q ، حيث يُختزل الكسر إلى أصغر حدوده. إذن لدينا:

√2 = ص س

2 = ص 2 س 2 (تربيع كلا الجانبين)

6؛ عائلة الخطوط: 'Open Sans'، sans-serif؛ اللون: #313131 !important؛ ">2q 2 = p 2

في هذه المرحلة، يجب أن يكون p زوجيًا، لأنه إذا كان مربع عدد زوجيًا، فإن العدد نفسه يكون زوجيًا. وبالمثل، مربع عدد فردي يكون فرديًا أيضًا. وبالتالي، يمكننا القول إن p=2k، حيث k عدد صحيح.

2q 2 = (2k) 2

2q2 = 4k2

س 2 = 2ك 2

بنفس المنطق، يجب أن يكون q زوجيًا أيضًا. لذا، فإن كلاً من p وq زوجي. مع ذلك، افترضنا في البداية أن p وq قد اختُزلا إلى أدنى صورة لهما. ومع ذلك، إذا كانا زوجيين، فيمكن قسمتهما على 2.

وبالتالي، ثَبُتَ خطأ الافتراض الأصلي القائل بأن √2 = p q . وبالتالي، يجب أن يكون البديل صحيحًا، وهو أن √2 عدد غير نسبي.

حل لغز المنطق

قال الحكيم: "بدّل جمالك وانطلق إلى المدينة البعيدة".