دليل على عدم وجود أكبر عدد أولي

نواصل هذا الأسبوع رحلتنا في البراهين الرياضية. اليوم سنُجري برهانًا شائعًا، وهو إثبات عدم وجود أكبر عدد أولي. كالعادة، أهدف إلى شرحها بأبسط لغة إنجليزية ممكنة، وتجنب التدوين الرياضي الصعب. لكن قبل ذلك، أقدم لكم لغز المنطق الأسبوعي المعتاد.

لغز المنطق

أنت في مبنى مكون من ١٠٦ طوابق. الطوابق مرقمة من ٠ إلى ١٠٥ (كما هو الحال في معظم دول العالم باستثناء الولايات المتحدة). تريد اختبار أعلى طابق يُمكنك إسقاط بيضة منه بأمان في صندوق ريش كبير على الأرض. أنت تعلم أن البيضة التي تسقط من السطح ستكسر، بينما ستنجو البيضة التي تسقط من الطابق ٠. لديك بيضتان للتجربة. ما أقل عدد من القطرات ستحتاجه في أسوأ السيناريوهات؟

تظهر الإجابة والحل في نهاية العمود.

دليل على عدم وجود أكبر عدد أولي

سأثبت عدم وجود أكبر عدد أولي بالتناقض. بمعنى آخر، سأدحض العكس - أي وجود أكبر عدد أولي.

دعونا نطلق على أكبر عدد أولي p _n ، أي أنه العدد الأولي رقم n، دعونا نطلق على جميع الأعداد الأولية بالترتيب على النحو التالي:

ص ₁ = 2، ص ₂ = 3، ص ₃ = 5، ص ₄ = 7، … ص _ن =؟

خذ بعين الاعتبار الرقم N على النحو التالي:

ن = ص ₁ × ص ₂ × ص ₃ × ص ₄ × … × ص _ن +1.

إذا كان N عددًا أوليًا، فلا يجب أن يُقسّم أي عدد أولي أصغر منه بالتساوي. أما إذا قسّمنا أي عدد أولي حتى p _n إليه، فسيكون الباقي 1.لا يمكن تفسير ذلك إلا بطريقتين محتملتين:

1. N بحد ذاته عدد أولي، والذي يجب أن يكون أكبر من p _n .
2. هناك عدد أولي أكبر من p _n ينقسم بالتساوي إلى N.

على أية حال، لقد أظهرنا أن هناك عددًا أوليًا أكبر من p _n .

لننظر إلى عدد أولي صغير كمثال. سأرى ماذا سيحدث إذا افترضنا أن 31 هو أكبر عدد أولي. في هذه الحالة:

ن = 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29×31 + 1 = 1,805,044,411,171

باستخدام حاسبة العوامل الأولية، نجد أن 1,805,044,411,171 = 1,061,729 × 1,700,099. وبالتالي، وجدنا عددين أوليين أكبر من 31: 1,061,729 و1,700,099.

لنضرب مثالاً آخر، لنفترض أن 7 هو أكبر عدد أولي. عندها، N = 2×3×5×7 + 1 = 211. بإجراء اختبار تحليل العوامل الأولية على 211، نجد أن 211 عدد أولي. وبالتالي، وجدنا عددًا أوليًا أكبر من 7.

بغض النظر عن العدد الأولي الذي نفترض أنه الأكبر، فإن هذه الطريقة سوف تجد عددًا أكبر.

إجابة لغز المنطق

14

إليك كيفية تحقيق اكتشاف أعلى طابق آمن بما لا يزيد عن 14 قطرة.

1. أسقط البيضة الأولى من الطابق الرابع عشر. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من ١ إلى ١٣ واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو ١٤ (١ مع البيضة الأولى و١٣ مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة ٢.
2. اصعد ١٣ طابقًا، وأسقط أول بيضة من الطابق ٢٧. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من ١٥ إلى ٢٦ واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو ١٤ (٢ مع البيضة الأولى، وحتى ١٢ مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة ٣.
3. اصعد ١٢ طابقًا، وأسقط أول بيضة من الطابق ٣٩. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من ٢٨ إلى ٣٨ واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو ١٤ (٣ مع البيضة الأولى، وحتى ١١ مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة ٤.
4. اصعد ١١ طابقًا، وأسقط أول بيضة من الطابق الخمسين. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من ٤٠ إلى ٤٩ واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو ١٤ (٤ مع البيضة الأولى، و١٠ مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة ٥.
5. اصعد عشرة طوابق، وأسقط أول بيضة من الطابق الستين. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 51 إلى 59 واحدة تلو الأخرى.الحد الأقصى للقطرات المطلوبة في حال الكسر = ١٤ (٥ مع البيضة الأولى، وحتى ٩ مع الثانية). وإلا، انتقل إلى الخطوة ٦.
6. اصعد 9 طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق 69. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 61 إلى 68 واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو 14 (6 مع البيضة الأولى، و8 مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة 7.
7. اصعد ثمانية طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق 77. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 70 إلى 76 واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو 14 (7 مع البيضة الأولى، وحتى 7 مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة 8.
8. اصعد سبعة طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق 84. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 78 إلى 83 واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو 14 (8 مع البيضة الأولى، و6 مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة 9.
9. اصعد ستة طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق التسعين. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 85 إلى 89 واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو 14 (9 مع البيضة الأولى، و5 مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة 10.
10. اصعد خمسة طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق 95. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 91 إلى 94 واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو 14 (10 مع البيضة الأولى، و4 مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة 11.
11. اصعد أربعة طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق 99. إذا انكسرت، اختبر الطوابق من 96 إلى 98 واحدة تلو الأخرى. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو 14 (11 مع البيضة الأولى، و3 مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة 12.
12. اصعد ثلاثة طوابق، وأسقط البيضة الأولى من الطابق ١٠٢. إذا انكسرت، اختبر الطابقين ١٠٠ و١٠١ واحدًا تلو الآخر. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر هو ١٤ (١٢ مع البيضة الأولى، وما يصل إلى ٢ مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة ١٣.
13. اصعد طابقين، وأسقط البيضة الأولى من الطابق ١٠٤. إذا انكسرت، اختبر الطابق ١٠٣. الحد الأقصى للإسقاطات المطلوبة في حال الكسر = ١٤ (١٣ مع البيضة الأولى و١ مع الثانية). وإلا، فانتقل إلى الخطوة ١٤.
14. اصعد طابقًا واحدًا، وأسقط أول بيضة من الطابق ١٠٥. إذا انكسرت، يكون أعلى طابق آمن هو ١٠٤. إذا نجا، يكون أعلى طابق آمن هو ١٠٥.

الاستراتيجية العامة لمبنى مكون من طابق واحد هي إيجاد الطابق الأمثل لإجراء الهبوط الأول. إذا نجح الاختبار الأول، اصعد من هناك نفس عدد الطوابق ناقصًا طابقًا واحدًا. إذا نجح الاختبار الثاني، اصعد مرة أخرى طابقًا أقل من الطابق السابق. استمر في تكرار ذلك، مع صعود طابق واحد أقل من الزيادة السابقة بين الاختبارات. إذا فشل اختبار باستخدام البيضة الأولى، فاستخدم البيضة الثانية لاختبار كل طابق بين الاختبارين الأخيرين بشكل منهجي، بدءًا من أدنى طابق في ذلك النطاق.

لاحظ أن الزيادة في عدد الطوابق هي n، n-1، n-2، ... 1. مجموع هذه القفزات هو n(n+1)/2. يكمن السر في إيجاد أقل قيمة صحيحة ممكنة لـ n، حيث يكون مجموع السلسلة مساويًا أو أكبر من عدد طوابق المبنى.

على سبيل المثال، دعنا ننظر إلى مبنى مكون من 500 طابق (باستثناء الطابق الأرضي الآمن)، أوجد الحل:

ن(ن+1)/2 = 500

ن(ن+1) = 1000

ن ² + ن -1000 = 0

6؛ عائلة الخطوط: 'Open Sans'، sans-serif؛ اللون: #313131 !important; ">باستخدام صيغة فيثاغورس:

ن = (-1 +/- √4001 )/2 =~ 31.13

مع ذلك، للطوابق قيم صحيحة. لذا، نُقرّب العدد إلى n=32. لذا، في حالة مبنى من 500 طابق (أو 501 إذا احتسبنا الطابق الأرضي الآمن)، نُجري الاختبار الأول من الطابق 32.