مفارقة المظروفين - ١٩/٩/٢٠١٩

أحب المفارقات الجيدة، ومفارقة الظرف من مفضلاتي. هناك طرق مختلفة لصياغتها. أحب برامج الألعاب، لذا أفضل صياغتها بهذا الشكل. مع ذلك، إليكم المفارقة:

أنت في برنامج مسابقات، حيث يُقدّم لك المُقدّم ظرفين مُغلقين ويطلب منك اختيار أحدهما، فتختاره. دون أن يفتحه، يُوضّح لك المُقدّم أن أحد الظرفين يحتوي على ضعف المبلغ المُتاح في الآخر. ثم يُتيح لك خيار التبديل إلى الظرف الآخر.

عند التفكير في قرار تغيير قيمة الظرف، تستنتج أن الظرف الآخر يحتوي على نصف أو ضعف قيمة الظرف الذي اخترته. هناك احتمال بنسبة ٥٠٪ أن تكون قد اخترت الظرف الأقل أو الأعلى. ليكن x هو المبلغ الموجود في الظرف الذي اخترته. تحسب أن القيمة المتوقعة للظرف الآخر هي متوسط نصف x وضعف x. بتعبير رياضي، القيمة المتوقعة للظرف الآخر تساوي (١/٢)*٢x + (١/٢)*(x/٢) = x + x/٤ = ١٫٢٥ x.

يبدو أن هذا يجعل التبديل يبدو رهانًا جيدًا. ومع ذلك، يمكنك تطبيق نفس المنطق للعودة، إذا أتيحت لك الفرصة. إذا سُمح بالتبديل غير المحدود، فستستمر في التبديل ذهابًا وإيابًا بلا حدود. من الواضح أنك لن تربح شيئًا في هذه العملية. إذًا، السؤال هو: أين يكمن الخلل في حجة أن القيمة المتوقعة للظرف الآخر هي 1.25 ضعف القيمة التي اخترتها؟

لا توجد إجابة بسيطة على هذا السؤال. كُتبت مقالات مطولة في مجلات رياضية متقدمة عنه. ناقشتُ شخصيًا مع علماء رياضيات آخرين على مستوى الأقران لساعات حوله. يتفق الجميع على أن حجج 1.25x خاطئة، ولكن ليس في كيفية تفسيرها، خاصةً بلغة بسيطة وواضحة.

برأيي، أسهل طريقة لتفسير الخلل في وسيطة القيمة المتوقعة هي تطبيق مضاعفات 2 و0.5 على نفس قيمة x في الظرف الأول. أولًا، يشير هذا إلى أن القيمة في الظرف الآخر إما 2x أو 0.5x . نسبة 2x إلى 0.5x هي 4. تنص المسألة نفسها على أن القيمة الأكبر هي ضعف القيمة الأصغر، وليس أربعة أضعاف. لذا، لا يمكن أن يكون هذا صحيحًا.

مع ذلك، هذه الحجة لا تُقنعني. قد تُدحض حجة القيمة المتوقعة، ولكن أين يكمن الخلل في حجة القيمة المتوقعة؟ أفضل شرحها بأن صيغة القيمة المتوقعة لا تعمل لأنها تفترض أن x قيمة ثابتة. إنها ليست كذلك، بل عشوائية. المضاعف مرتبط بنسبة 100% بقيمة x. هذا يُؤدي إلى فشل حجة القيمة المتوقعة.

هناك طريقة أكثر منطقية للتفكير في المشكلة، وهي مراعاة مقدار الكسب أو الخسارة عند التبديل. هذا المقدار هو الفرق بين الظرفين. على سبيل المثال، إذا كان الظرفان يحتويان على y و2y، فإن التبديل سيؤدي إلى زيادة أو نقصان في y. بمعنى آخر، الكسب الناتج عن التبديل هو *y + 0.5*-y = 0 .

مع ذلك، لستُ راضيًا تمامًا عن هذا التفسير. أستطيع النوم ليلًا وأنا أقرأه، لكنني لا أعتقد أن شخصًا عاديًا سيفهم حجتي. على الأرجح لن يفهمها.

أعتذر إن لم تكن هذه النشرة الإخبارية رائعة. إذا كان الموضوع يهمك، فهو يُطرح من حين لآخر في منتدى Wizard of Vegas . إليكم الموضوعان الرئيسيان حوله:

com/forum/questions-and-answers/math/21457-two-envelopes-problem-at-mathproblems-info/" style="color:#a5341f;">مشكلة المظروفين في MATHPROBLEMS.INFO

قديم ولكن جيد ... تنويعة على مونتي هول ...

كتبه: Michael Shackleford