برهان مجموع أول n عدد صحيح

هذا الأسبوع سأقدم أحد أسهل البراهين، وهو أن 1+2+3+…+n = n(n+1)/2. سأوضح ذلك بطريقتين بديهيتين للغاية. إنه أسهل برهان قدمته حتى الآن. ولكن قبل ذلك، سأعرض لغز المنطق الأسبوعي المعتاد.

لغز منطقي

أدلت أليس وبوب وكول بالتصريحات التالية:

1. • أليس: بوب كاذب.
2. • بوب: كول كاذب.
3. • كول: أليس وبوب كاذبان.

جميعهم إما يقولون الحقيقة دائمًا أو يكذبون دائمًا. كلٌّ منهم يعلم صدق الآخر. فمن يقول الحقيقة؟

راجع نهاية النشرة الإخبارية للاطلاع على الإجابة والحل.

برهان مجموع أول n عدد صحيح

ينبغي أن يعلم الجميع أن مجموع أول n عدد صحيح يساوي n(n+1)/2. بعبارة أخرى، 1+2+3+…+n = n(n+1)/2. سأقدم برهانين بسيطين لإثبات صحة ذلك.

الطريقة الأولى

من السهل ملاحظة أن متوسط العدد في المتتالية هو (ن+١)/٢. عدد حدود المتسلسلة هو ن. المجموع يساوي حاصل ضرب عدد الحدود في متوسط الحد = ن × (ن+١)/٢ = ن(ن+١)/٢.

يمكن استخدام هذه الطريقة نفسها لإيجاد المجموع مع أي نقطة بداية ونهاية. لنفترض أن عدد البداية هو a وعدد النهاية هو b. سيكون المتوسط (a+b)/2. سيكون عدد الحدود (a-b+1).إذن سيكون مجموع جميع الأرقام في المتسلسلة (أ-ب+1) × (أ+ب)/2.

الطريقة الثانية

أما الطريقة التالية، فيسهل شرحها بصرياً. انظر إلى الرسم التوضيحي التالي حيث تمثل المربعات الزرقاء الأعداد الصحيحة من 1 إلى 5.

بعد ذلك، قم بتكرارها وضعها بجانب القطعة الأصلية كما يلي، لتشكيل مستطيل.

لاحظ أن أبعاد المستطيل أعلاه هي 5 × 6. في الحالة العامة، عند جمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى n، تكون الأبعاد n × (n+1). ثم نقسم هذه المساحة على 2 لأننا نبحث عن مساحة أحد الجزأين فقط. وبالتالي، فإن مساحة الجزء الواحد هي n(n+1)/2.

حل لغز المنطق

لكل شخص من الأشخاص الثلاثة حالتان محتملتان: الصدق أو الكذب. وهذا يجعل لدينا 8 احتمالات (2 × ³⁾ . أدرج جميع هذه الاحتمالات في الجدول أدناه.

سيناريو	1	2	3	4	5	6	7	8
أليس	تي	تي	تي	تي	F	F	F	F
بوب	تي	تي	F	F	تي	تي	F	F
كول	تي	F	تي	F	تي	F	تي	F

لاحظ أن بوب وكول يتهمان بعضهما بالكذب. والطريقة الوحيدة الممكنة لذلك هي أن يكون أحدهما صادقًا والآخر كاذبًا. لذا، يمكننا استبعاد الحالات الأربع التي يكون فيها بوب وكول صادقين بنفس القدر. وهذا يترك لنا السيناريوهات 2 و3 و6 و7. فلندرسها واحدًا تلو الآخر.

في السيناريو الثاني، يُفترض أن أليس صادقة. قولها الصادق يجعل بوب كاذباً. مع ذلك، بوب صادق أيضاً في هذا السيناريو، مما يؤدي إلى تناقض. لذا، يُستبعد السيناريو الثاني.

في السيناريو الثالث، يُفترض أن أليس صادقة. تقول إن بوب كاذب، وهذا صحيح وفقًا لافتراضات السيناريو الثالث. مع ذلك، يُذكر أن كول صادق، ويقول إن أليس تكذب. لا يمكن لأليس أن تكون صادقة وكاذبة في الوقت نفسه، لذا يُستبعد السيناريو الثالث.

في السيناريو السابع، يُفترض أن أليس تكذب. تقول إن بوب كاذب، وهذا صحيح. لكن هذا يجعل أليس صادقة. لا يمكن لأليس أن تكون صادقة وكاذبة في الوقت نفسه، لذا يُستبعد السيناريو السابع.

لم يتبقَّ سوى السيناريو السادس. لنتأكد من صحته. إذا كانت أليس كاذبة، فهذا يعني أن بوب صادق. وإذا كان بوب صادقًا، فإن أليس أو بوب أو كلاهما سيكون صادقًا. وبما أن بوب صادق، فإن هذا يجعل كلام كول خاطئًا. إذن، هذا السيناريو منطقي. بوب هو الشخص الصادق الوحيد.